摘要

本篇文章主要描述在设计固定时间控制器时，所采用的一些引理。

主要结果

稳定性定义

考虑如下非线性自治系统
x˙=f(x),x(0)=x0\dot{x}=f(x),\quad x(0)=x_0x˙=f(x),x(0)=x0其中x∈Rnx\in\mathbb{R}^nx∈Rn表示状态；f:D→Rnf:\mathbb{D}\to\mathbb{R}^nf:D→Rn表示在原点的开邻域D\mathbb{D}D内的上半连续映射。∀x∈D\forall x\in\mathbb{D}∀x∈D, f(x)f(x)f(x)非空，并且∀t>0\forall t>0∀t>0, f(0)=0f(0)=0f(0)=0.
定义1：对于非线性系统在原点的均衡点有以下几类情况。

李雅普诺夫稳定：如果∀ε>0\forall \varepsilon>0∀ε>0, ∃δ=δ(ε)>0\exist \delta=\delta(\varepsilon)>0∃δ=δ(ε)>0使得当∀∥x0∥<0\forall \|x_0\|<0∀∥x0∥<0, 则∥x(t,x0)∥<ε\|x(t,x_0)\|<\varepsilon∥x(t,x0)∥<ε, ∀t>0\forall t>0∀t>0.
局部渐近稳定：如果它是稳定的，并且∃δ\exist \delta∃δ使得∀∥x0∥<δ\forall \|x_0\|<\delta∀∥x0∥<δ, 则lim⁡t→+∞∥x(t)∥=0\lim_{t\to +\infty}\|x(t)\|=0limt→+∞∥x(t)∥=0.
全局渐近稳定：如果它是稳定的，并且∀x0∈R\forall x_0\in\mathbb{R}∀x0∈R, lim⁡t→+∞∥x0∥=0\lim_{t\to+\infty}\|x_0\|=0limt→+∞∥x0∥=0.
不稳定：非稳定的。

定义2：对于上述非线性系统，当且仅当原点是一个李雅普诺夫意义下稳定的，并且存在一个关于原点的开邻域S⊂D\mathbb{S}\subset\mathbb{D}S⊂D和一个正函数T(x0)=sup⁡x(t,x0)inf⁡{T≥0;x(t,x0)=0,∀t≥T,x0∈S}T(x_0)=\sup_{x(t,x_0)}\inf\{T\geq 0;x(t,x_0)=0,\forall t\geq T, x_0\in\mathbb{S}\}T(x0)=supx(t,x0)inf{T≥0;x(t,x0)=0,∀t≥T,x0∈S}（被称为稳定时间函数）使得∀x(0)∈S\{0}\forall x(0)\in\mathbb{S}\backslash \{0\}∀x(0)∈S\{0}, T(x0)<+∞T(x_0)<+\inftyT(x0)<+∞, 则该点称为有限时间稳定均衡点。进一步，当S=R\mathbb{S}=\mathbb{R}S=R, 则该点是全局有限时间稳定的。
注：有限时间稳定也是渐近稳定。

定义3：对于上述非线性系统，如果原点是全局有限时间稳定的，并且T(x0)T(x_0)T(x0)是有界的，即存在一个实数Tmax⁡>0T_{\max}>0Tmax>0使得T(x0)≤Tmax⁡T(x_0)\leq T_{\max}T(x0)≤Tmax, ∀x0∈R\forall x_0\in\mathbb{R}∀x0∈R.

固定时间稳定定理

定理1：假设存在一个连续可微的正定函数V(x):D→RV(x):\mathbb{D}\to\mathcal{R}V(x):D→R，使得对于任意的正实数c>0c>0c>0以及α∈(0,1)\alpha\in(0,1)α∈(0,1)，如下不等式成立
V˙(x)+cVα(x)≤0,∀x∈S\{0}\dot{V}(x)+cV^{\alpha}(x)\leq 0,\quad \forall x\in\mathbb{S}\backslash\{0\} V˙(x)+cVα(x)≤0,∀x∈S\{0}则对于上述非线性系统来说，是有限时间稳定的。稳定时间函数为
T(x0)≤1c(1−α)V1−α(x0)T(x_0)\leq \frac{1}{c(1-\alpha)}V^{1-\alpha}(x_0) T(x0)≤c(1−α)1V1−α(x0)进一步，如果S=D=R\mathbb{S}=\mathbb{D}=\mathbb{R}S=D=R, VVV是径向无界的，并且V˙<0\dot{V}<0V˙<0, ∀x∈R\{0}\forall x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}∀x∈R\{0}, 则该点是全局有限时间稳定的。
证明：
由于dVdt≤−cVα\frac{dV}{dt}\leq -cV^\alphadtdV≤−cVα则dVVα≤−cdt\frac{dV}{V^\alpha}\leq -cdtVαdV≤−cdt两边同时积分，可得V1−α(x)1−α∣x00≤−cT(x0).\frac{V^{1-\alpha}(x)}{1-\alpha}|^{0}_{x_0}\leq -cT(x_0).1−αV1−α(x)∣x00≤−cT(x0).因此1c(1−α)V1−α(x0)≥T(x0).\frac{1}{c(1-\alpha)}V^{1-\alpha}(x_0)\geq T(x_0).c(1−α)1V1−α(x0)≥T(x0).得证♠\spadesuit♠

定理2:考虑如下非线性系统x˙(t)=−αx2−pq(t)−βxpq(t),x(0)=x0\dot{x}(t)=-\alpha x^{2-\frac{p}{q}}(t)-\beta x^{\frac{p}{q}}(t),\quad x(0)=x_0x˙(t)=−αx2−qp(t)−βxqp(t),x(0)=x0其中α,β>0\alpha,\beta>0α,β>0, p,qp,qp,q满足q>p>0q>p>0q>p>0是奇数。则该非线性系统是固定时间稳定的，并且稳定时间为
T(x0)≤Tmax⁡:=qπ2αβ(q−p).T(x_0)\leq T_{\max}:=\frac{q\pi}{2\sqrt{\alpha\beta}(q-p)}. T(x0)≤Tmax:=2αβ(q−p)qπ.证明：令李雅普诺夫函数为V(x)=x2≥0V(x)=x^2\geq 0V(x)=x2≥0. 对VVV关于时间求微分可得
V˙=2x(−αx2−pq−βxpq)=−2α(x2)3q−p2q−2β(x2)p+q2q=−2(αVq−pq+β)Vp+q2q\begin{aligned} \dot{V}=&2x(-\alpha x^{2-\frac{p}{q}}-\beta x^{\frac{p}{q}})\\ =&-2\alpha (x^2)^\frac{3q-p}{2q}-2\beta(x^2)^{\frac{p+q}{2q}}\\ =&-2(\alpha V^{\frac{q-p}{q}}+\beta)V^{\frac{p+q}{2q}} \end{aligned} V˙===2x(−αx2−qp−βxqp)−2α(x2)2q3q−p−2β(x2)2qp+q−2(αVqq−p+β)V2qp+q
由于αVq−pq>0\alpha V^{\frac{q-p}{q}}>0αVqq−p>0，则V˙≤−2βVp+q2q\dot{V}\leq -2\beta V^{\frac{p+q}{2q}}V˙≤−2βV2qp+q。另外，由于0<p+q2q<10<\frac{p+q}{2q}<10<2qp+q<1，则系统是有限时间稳定的。当V≠0V\neq 0V=0, 则
1Vp+q2qdVdt=−2(αVq−pq+β)\frac{1}{V^{\frac{p+q}{2q}}}\frac{dV}{dt}=-2(\alpha V^{\frac{q-p}{q}}+\beta) V2qp+q1dtdV=−2(αVqq−p+β)化简可得
qq−pdVq−p2qdt=−(αVq−pq+β)\frac{q}{q-p}\frac{dV^{\frac{q-p}{2q}}}{dt}=-(\alpha V^{\frac{q-p}{q}}+\beta) q−pqdtdV2qq−p=−(αVqq−p+β)令z=Vq−p2qz=V^{\frac{q-p}{2q}}z=V2qq−p，则
1αz2+βdz=−q−pqdt\frac{1}{\alpha z^2+\beta}dz=-\frac{q-p}{q}dt αz2+β1dz=−qq−pdt两边同时积分，可得
1αβarctan⁡(αβz(t))=1αβarctan⁡(αβz(0))−q−pqt\frac{1}{\sqrt{\alpha\beta}}\arctan(\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}z(t))=\frac{1}{\sqrt{\alpha\beta}}\arctan(\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}z(0))-\frac{q-p}{q}t αβ1arctan(βαz(t))=αβ1arctan(βαz(0))−qq−pt由于arctan⁡(z)=0\arctan(z)=0arctan(z)=0当且仅当z=0z=0z=0，即V=0V=0V=0。可得
lim⁡t→T(x0)V=0\lim_{t\to T(x_0)}V=0 t→T(x0)limV=0其中
T(x0)=qq−p1αβarctan⁡(αβz(0))=qq−p1αβarctan⁡(αβx0q−pq)\begin{aligned} T(x_0)=&\frac{q}{q-p}\frac{1}{\sqrt{\alpha\beta}}\arctan(\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}z(0))\\ =&\frac{q}{q-p}\frac{1}{\sqrt{\alpha\beta}}\arctan(\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}x_0^{\frac{q-p}{q}}) \end{aligned} T(x0)==q−pqαβ1arctan(βαz(0))q−pqαβ1arctan(βαx0qq−p)显而易见，T(x0)T(x_0)T(x0)是有界的。
lim⁡x0→+∞T(x0)=qπ2αβ(q−p)\lim_{x_0\to+\infty}T(x_0)=\frac{q\pi}{2\sqrt{\alpha\beta}(q-p)} x0→+∞limT(x0)=2αβ(q−p)qπ注意到V(x)=0V(x)=0V(x)=0则x=0x=0x=0。得证♠\spadesuit♠

定理3：考虑如下标量系统
x˙(t)=−αxmn(t)−βxpq(t)\dot{x}(t)=-\alpha x^{\frac{m}{n}}(t)-\beta x^{\frac{p}{q}}(t) x˙(t)=−αxnm(t)−βxqp(t)其中α\alphaα, β>0\beta>0β>0，m,n,p,qm,n,p,qm,n,p,q都是奇数满足m>n>0m>n>0m>n>0, q>p>0q>p>0q>p>0。则该系统是固定时间稳定的，稳定时间为
T(x0)<Tmax⁡:=1αnm−n+1βqq−pT(x_0)<T_{\max}:=\frac{1}{\alpha}\frac{n}{m-n}+\frac{1}{\beta}\frac{q}{q-p} T(x0)<Tmax:=α1m−nn+β1q−pq进一步，如果ε=q(m−n)n(q−p)≤1\varepsilon=\frac{q(m-n)}{n(q-p)}\leq 1ε=n(q−p)q(m−n)≤1，则稳定时间为
T(x0)<Tmax⁡:=qq−p(1αβarctan⁡αβ+1αε)T(x_0)<T_{\max}:=\frac{q}{q-p}(\frac{1}{\sqrt{\alpha\beta}}\arctan\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}+\frac{1}{\alpha\varepsilon}) T(x0)<Tmax:=q−pq(αβ1arctanβα+αε1)
证明：令李雅普诺夫函数为V=x2V=x^2V=x2。对李雅普诺夫函数进行微分，可得
V˙=2x(−αxmn−βxpq)=−2α(x2)m+n2n−2β(x2)p+q2q=−2(αVm+n2n−p+q2q+β)Vp+q2q\begin{aligned} \dot{V}=&2x(-\alpha x^{\frac{m}{n}}-\beta x^{\frac{p}{q}})\\ =&-2\alpha(x^2)^{\frac{m+n}{2n}}-2\beta(x^2)^{\frac{p+q}{2q}}\\ =&-2(\alpha V^{\frac{m+n}{2n}-\frac{p+q}{2q}}+\beta)V^{\frac{p+q}{2q}} \end{aligned} V˙===2x(−αxnm−βxqp)−2α(x2)2nm+n−2β(x2)2qp+q−2(αV2nm+n−2qp+q+β)V2qp+q由于αVm+n2n−p+q2q>0\alpha V^{\frac{m+n}{2n}-\frac{p+q}{2q}}>0αV2nm+n−2qp+q>0，则V˙≤−2βVp+q2q\dot{V}\leq -2\beta V^{\frac{p+q}{2q}}V˙≤−2βV2qp+q。显而易见，0<p+q2q<10<\frac{p+q}{2q}<10<2qp+q<1，因此，该系统是有限时间稳定的。假设V≠0V\neq 0V=0，则1Vp+q2qdVdt=−2(αVm+n2n−p+qq+β)\frac{1}{V^{\frac{p+q}{2q}}}\frac{dV}{dt}=-2(\alpha V^{\frac{m+n}{2n}-\frac{p+q}{q}}+\beta) V2qp+q1dtdV=−2(αV2nm+n−qp+q+β)可得qq−pdVq−p2qdt=−(αVm+n2n−p+qp+β)\frac{q}{q-p}\frac{dV^{\frac{q-p}{2q}}}{dt}=-(\alpha V^{\frac{m+n}{2n}-\frac{p+q}{p}}+\beta) q−pqdtdV2qq−p=−(αV2nm+n−pp+q+β)令z=Vq−p2qz=V^{\frac{q-p}{2q}}z=V2qq−p，则
1αz1+ε+βdz=−q−pqdt\frac{1}{\alpha z^{1+\varepsilon}+\beta}dz=-\frac{q-p}{q}dt αz1+ε+β1dz=−qq−pdt其中ε=q(m−n)n(q−p)\varepsilon=\frac{q(m-n)}{n(q-p)}ε=n(q−p)q(m−n)。令φ(z)=∫0z1αz1+ε+βdz\varphi(z)=\int_{0}^z\frac{1}{\alpha z^{1+\varepsilon}+\beta}dzφ(z)=∫0zαz1+ε+β1dz，两边同时进行积分，可得
φ(z(t))=φ(z(0))−q−pqt\varphi(z(t))=\varphi(z(0))-\frac{q-p}{q}t φ(z(t))=φ(z(0))−qq−pt由于φ(z)\varphi(z)φ(z)是单调递增的函数。另外，φ(z)=0\varphi(z)=0φ(z)=0当且仅当z=0z=0z=0，可得
lim⁡t→T(x0)V=0\lim_{t\to T(x_0)}V=0 t→T(x0)limV=0其中
T(x0)=qq−pφ(z(0))=qq−pφ(xq−pq(0)).T(x_0)=\frac{q}{q-p}\varphi(z(0))=\frac{q}{q-p}\varphi(x^{\frac{q-p}{q}}(0)). T(x0)=q−pqφ(z(0))=q−pqφ(xqq−p(0)).显而易见，T(x0)T(x_0)T(x0)是有界的。
lim⁡x0→+∞T(x0)=lim⁡z0→+∞qq−pφ(z(0))=qq−p(∫011αz1+ε+βdz+∫1+∞1αz1+ε+βdz)≤qq−p(∫011βdz+∫1+∞1αz1+εdz)=qq−p(1β+1αε)=1αnm−n+1βqq−p\begin{aligned} \lim_{x_0\to+\infty}T(x_0)=&\lim_{z_0\to+\infty}\frac{q}{q-p}\varphi(z(0))\\ =&\frac{q}{q-p}(\int_{0}^1\frac{1}{\alpha z^{1+\varepsilon}+\beta}dz+\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\alpha z^{1+\varepsilon}+\beta}dz)\\ \leq&\frac{q}{q-p}(\int_0^1\frac{1}{\beta}dz+\int_1^{+\infty}\frac{1}{\alpha z^{1+\varepsilon}}dz)\\ =&\frac{q}{q-p}(\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\alpha\varepsilon})\\ =&\frac{1}{\alpha}\frac{n}{m-n}+\frac{1}{\beta}\frac{q}{q-p} \end{aligned} x0→+∞limT(x0)==≤==z0→+∞limq−pqφ(z(0))q−pq(∫01αz1+ε+β1dz+∫1+∞αz1+ε+β1dz)q−pq(∫01β1dz+∫1+∞αz1+ε1dz)q−pq(β1+αε1)α1m−nn+β1q−pq注意到V(x(t))=0V(x(t))=0V(x(t))=0当且仅当x(t)=0x(t)=0x(t)=0.
另外，当0<ε<10<\varepsilon<10<ε<1时，可得
lim⁡x0→+∞T(x0)=qq−p(∫011αz1+ε+βdz+∫1+∞1αz1+ε+βdz)<qq−p(∫011αz2+βdz+∫1+∞1αz1+εdz)=qq−p(1αβarctan⁡αβ+1αε)\begin{aligned} \lim_{x_0\to+\infty}T(x_0)=&\frac{q}{q-p}(\int_{0}^1\frac{1}{\alpha z^{1+\varepsilon}+\beta}dz+\int_1^{+\infty}\frac{1}{\alpha z^{1+\varepsilon}+\beta}dz)\\ <&\frac{q}{q-p}(\int_0^1\frac{1}{\alpha z^2+\beta}dz+\int_1^{+\infty}\frac{1}{\alpha z^{1+\varepsilon}}dz)\\ =&\frac{q}{q-p}(\frac{1}{\sqrt{\alpha\beta}}\arctan\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}+\frac{1}{\alpha\varepsilon}) \end{aligned} x0→+∞limT(x0)=<=q−pq(∫01αz1+ε+β1dz+∫1+∞αz1+ε+β1dz)q−pq(∫01αz2+β1dz+∫1+∞αz1+ε1dz)q−pq(αβ1arctanβα+αε1)得证♠\spadesuit♠
定义李雅普诺夫函数ϖ(t)\varpi(t)ϖ(t)的右极限形式为
D∗ϖ(t)=lim⁡h→0+ϖ(t+h)−ϖ(t)tD^*\varpi(t)=\lim_{h\to0^{+}}\frac{\varpi(t+h)-\varpi(t)}{t} D∗ϖ(t)=h→0+limtϖ(t+h)−ϖ(t)考虑非线性自治系统
x˙=f(x),x(0)=x0\dot{x}=f(x),\quad x(0)=x_0x˙=f(x),x(0)=x0则有如下定理。
定理4：假设存在一个连续正定和径向无界函数V(x):R→R+∪{0}V(x):\mathbb{R}\to\mathcal{R}^+\cup\{0\}V(x):R→R+∪{0}使得
D∗V(x(t))≤−(αVp(x(t))+βVq(x(t)))kD^*V(x(t))\leq -(\alpha V^p(x(t))+\beta V^q(x(t)))^k D∗V(x(t))≤−(αVp(x(t))+βVq(x(t)))k对于α,β,p,q,k\alpha,\beta,p,q,kα,β,p,q,k满足pk<1pk<1pk<1以及qk>1qk>1qk>1，则非自治系统是固定时间稳定的，并且稳定时间为
T(x0)≤Tmax⁡:=1αk(1−pk)+1βk(qk−1)T(x_0)\leq T_{\max}:=\frac{1}{\alpha^k(1-pk)}+\frac{1}{\beta^k(qk-1)} T(x0)≤Tmax:=αk(1−pk)1+βk(qk−1)1
证明根据李雅普诺夫函数可得
D∗V(x(t))≤−αkVpk(x(t)),∀V(x(t))≤1D^*V(x(t))\leq-\alpha^kV^{pk}(x(t)),\quad \forall V(x(t))\leq 1 D∗V(x(t))≤−αkVpk(x(t)),∀V(x(t))≤1和D∗V(x(t))≤−βkVqk(x(t)),∀V(x(t))>1D^*V(x(t))\leq -\beta^kV^{qk}(x(t)),\quad \forall V(x(t))>1 D∗V(x(t))≤−βkVqk(x(t)),∀V(x(t))>1因此，对于V(x0)>1V(x_0)>1V(x0)>1的情况，第二个不等式保证了在t≥1βk(qk−1)t\geq\frac{1}{\beta^k(qk-1)}t≥βk(qk−1)1时间内使得V(x(t))≤1V(x(t))\leq 1V(x(t))≤1。对于V(x(t))<1V(x(t))<1V(x(t))<1的情况，第一个不等式保证在t≥t0+1αk(1−pk)t\geq t_0+\frac{1}{\alpha^k(1-pk)}t≥t0+αk(1−pk)1的时间内，系统收敛到原点。
因此，对于V(x0)V(x_0)V(x0)的任意自变量x0x_0x0，当
t≥Tmax⁡=1αk(1−pk)+1βk(qk−1)t\geq T_{\max}=\frac{1}{\alpha^k(1-pk)}+\frac{1}{\beta^k(qk-1)} t≥Tmax=αk(1−pk)1+βk(qk−1)1系统收敛至原点。证毕♠\spadesuit♠
定理5假设存在连续正的并且径向无界的李雅普诺夫函数V(x):R→R∪{0}V(x):\mathbb{R}\to\mathcal{R}\cup\{0\}V(x):R→R∪{0}使得
D∗V(x(t))≤−αVp(x(t))−βVq(x(t))D^*V(x(t))\leq-\alpha V^p(x(t))-\beta V^q(x(t)) D∗V(x(t))≤−αVp(x(t))−βVq(x(t))其中α,β>0\alpha,\beta>0α,β>0, p=1−1μp=1-\frac{1}{\mu}p=1−μ1, q=1+1μq=1+\frac{1}{\mu}q=1+μ1, μ>1\mu>1μ>1。则非线性系统是固定时间收敛的，收敛时间为
T(x0)≤Tmax⁡:=πμ2αβT(x_0)\leq T_{\max}:=\frac{\pi\mu}{2\sqrt{\alpha\beta}} T(x0)≤Tmax:=2αβπμ
证明：构造如下的辅助微分方程
y˙=−αy1−1μ−βy1+1μ,y0=y(0)≥0\dot{y}=-\alpha y^{1-\frac{1}{\mu}}-\beta y^{1+\frac{1}{\mu}},\quad y_0=y(0)\geq 0 y˙=−αy1−μ1−βy1+μ1,y0=y(0)≥0其中α,β>0\alpha,\beta>0α,β>0, μ>1\mu>1μ>1. 显而易见，y=0y=0y=0是上述辅助方程的平衡点。因此，
t=−∫y0y1αy1−1μ+βy1+1μdyt=-\int_{y_0}^y\frac{1}{\alpha y^{1-\frac{1}{\mu}}+\beta y^{1+\frac{1}{\mu}}}dy t=−∫y0yαy1−μ1+βy1+μ11dy令z=y1μz=y^{\frac{1}{\mu}}z=yμ1，可得
t=−μ∫z0zzμ−1αzμ−1+βzμ+1dz=−μ∫z0z1α+βz2dz\begin{aligned} t=&-\mu\int_{z_0}^z\frac{z^{\mu-1}}{\alpha z^{\mu-1}+\beta z^{\mu+1}}dz\\ =&-\mu\int_{z_0}^z\frac{1}{\alpha+\beta z^2}dz \end{aligned} t==−μ∫z0zαzμ−1+βzμ+1zμ−1dz−μ∫z0zα+βz21dz因此
μαβarctan⁡(αβy1μ(t))=−t+μαβarctan⁡(αβy01μ)\frac{\mu}{\sqrt{\alpha\beta}}\arctan(\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}y^{\frac{1}{\mu}}(t))=-t+\frac{\mu}{\sqrt{\alpha\beta}}\arctan(\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}y_0^{\frac{1}{\mu}}) αβμarctan(βαyμ1(t))=−t+αβμarctan(βαy0μ1)综上所述，当t≥T(y0):=μαβarctan⁡(αβy01μ)t\geq T(y_0):=\frac{\mu}{\sqrt{\alpha\beta}}\arctan(\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}y_0^{\frac{1}{\mu}})t≥T(y0):=αβμarctan(βαy0μ1)，则y(t)=0y(t)=0y(t)=0。因此Tmax⁡=πμ2αβT_{\max}=\frac{\pi\mu}{2\sqrt{\alpha\beta}}Tmax=2αβπμ。证毕♠\spadesuit♠

结论

接下来，将给出一些控制器的设计，使系统实现有限时间收敛。

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固定时间收敛的控制器设计（基础知识）

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