等额本息PMT和PPMT推导计算公式

一、等额本息每期还款总金额计算公式
假设贷款总金额为A，月利率为β，贷款期数为k，每期需还款总金额（本金+利息）为x，则：
第一期还款后，欠款总金额 Q1 = A * (1 + β) - x
第二期还款后，欠款总金额 Q2 = Q1 * (1 + β) - x = [A * (1 + β) - x] * (1 + β) - x
= A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x
第三期还款后，欠款总金额 Q3 = Q2 * (1 + β) - x
= {A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x} * (1 + β) - x
= A * (1 + β) ^ 3 - [(1 + β) ^ 2 + (1 + β) + 1] * x
由此可得出
第k期还款后，欠款总金额 Qk = Qk-1 * (1 + β) - x = …
= A * (1 + β) ^ k - [(1 + β) ^ (k-1) + (1 + β) ^ (k-2) + … + 1] * x。
我们发现[ ]内是等比数列，等比数列求和公式是不是又忘记了？
我们一起来推导下。设y=1 + β，
则Sk = 1 + y + y ^2 + … + y ^ (k-1)，y * Sk = y + y ^2 + … + y ^ (k-1) + y ^ k，
两公式相差得 y * Sk - Sk = y ^ k - 1，从而得出Sk = (y ^ k - 1) / (y -1)。
由此继续 Qk = A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x，
第k期还款后贷款结束，因此Qk = 0，即 A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x = 0，
得出等额本息每期还款本息总额 x = A * β * (1 + β) ^ k / [(1 + β) ^ k - 1]，
这便是每期需要还款的总金额。
二、等额本息每期还款本金计算公式等额本息每期还款总金额
x公式已经有了，那么每期还款的本金是多少呢？假设第n期还款本金为Pn，
则：第一期需还本金 P1 = x - A * β
第二期需还本金 P2 = x - (A - P1) * β
= x - {A - [x - A * β]} * β
= x - A * β + (x - A * β) * β
= P1 + P1 * β = P1 * (1 + β)
第三期需还本金 P3 = x - (A - P1 - P2) * β
= x - {A - P1 - P1 * (1 + β)} * β
= x - A * β + P1 * β + P1 * (1 + β) * β
= P1 * (1 + β) ^ 2
则可以猜测第n期需还本金 Pn = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)
下面我们来论证这个公式，假设公式成立，
则 P(n + 1) = x - [A - P1 - P2 - … -Pn] * β
= x - {A - P1 * [1 + (1 + β) + … + (1 + β) ^ (n - 1)]} * β
= x - {A - P1 * [(1 + β) ^ n - 1] / β} * β
= x - A * β + P1 * [(1 + β) ^ n - 1] = p1 * (1 + β) ^ n
由此可以得出，等额本息还款中每期还款本金 Pn = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)

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