泊松分布和指数分布，包你学会

当你学习指数分布的时候，经常会看到泊松分布的身影，网上的大部分教程讲的非常复杂，看完之后还是一头雾水。

本文本着通俗易懂的原则，使用生活中的例子，说明泊松分布和指数分布的关系。一下子学会了两种分布，有没有很有成就感？

泊松分布

在日常生活中，许多事件是有一定的频率的，比如下面的例子。

某公司平均每一小时接到三个用户电话。
某超市平均每五小时卖掉一个玩具。
一个网站平均每一分钟有二次访问。

你有没有发现上面事件的一些共同点？细心的你会发现，上面的事件，只能估计事件发生的总数，但是不能知道具体发生的时间。如果我问你，上面的第一个例子，平均每一小时接到一个用户电话，下一小时接到几个电话？我们并不能准确知道。

泊松分布便是描述某段时间内，事件发生的次数的概率。

泊松分布的概率密度函数公式如下，

P(N(t)=n)=(λt)ne−λtn!P(N(t)=n)=\frac{(\lambda t)^ne^{-\lambda t}}{n!}P(N(t)=n)=n!(λt)ne−λt
上面的式子中，PPP表示概率，NNN表示某种函数关系，ttt表示时间段，nnn表示事件发生的次数。一小时内接到一个用户电话的概率表示为P(N(1)=3)P(N(1)=3)P(N(1)=3)。λ\lambdaλ表示事件的频率。

为了理解的更深入，咱们再多举一些例子。

接下来两个小时，一个用户电话也没有的概率是0.025%，发生概率约等于零，计算方法如下所示，
P(N(2)=0)=(3×2)0e−3×20!≈0.0025P(N(2)=0)=\frac{(3\times2)^0e^{-3\times2}}{0!}\approx 0.0025P(N(2)=0)=0!(3×2)0e−3×2≈0.0025

接下来一个小时，至少有两个用户电话的概率是80%。计算方法如下所示，
P(N(1)≥2)=1−P(N(1)=0)−P(N(1)=1)=1−(3×1)0e−3×10!−(3×1)1e−3×11!=1−e−3−3e−3=1−4e−3≈0.8009\begin{aligned} P(N(1)\geq 2)&=1-P(N(1)=0)-P(N(1)=1) \\ &=1-\frac{(3\times1)^0e^{-3\times1}}{0!}-\frac{(3\times1)^1e^{-3\times1}}{1!} \\ &=1-e^{-3}-3e^{-3} \\ &=1-4e^{-3} \\ &\approx 0.8009 \end{aligned}P(N(1)≥2)=1−P(N(1)=0)−P(N(1)=1)=1−0!(3×1)0e−3×1−1!(3×1)1e−3×1=1−e−3−3e−3=1−4e−3≈0.8009

通过上面的例子，相信大家对泊松分布的理解又上了一层楼。

泊松分布的概率密度图大概长下面的样子，

在频率附近，事件的发生的概率最大。两边对称下降，意思是事件发生次数越大和越小概率越来越小。每小时接到三个用户的电话的概率是最大的，接到更多和更少的电话次数的概率变得越来越小。

指数分布

下面这些例子全是指数分布。

来电的时间间隔。
玩具销售的时间间隔。
网站访问的时间间隔。

细心的你发现了，上面的例子的共同点，时间间隔。

指数分布描述事件发生的时间间隔的概率。

指数分布和泊松分布有什么关系呢？指数分布的概率密度函数能从泊松分布的概率密度函数推导出来。

为了通俗易懂，还是举例子来说明。

假如下一个用户电话的间隔时间是ttt，等价于ttt时间内没有任何用户打电话。用公式表示如下所示，

P(X>t)=P(N(t)=0)=(λt)0e−λt0!=e−λt\begin{aligned} P(X>t)&=P(N(t)=0) \\ &=\frac{(\lambda t)^0e^{-\lambda t}}{0!} \\ &=e^{-\lambda t} \end{aligned}P(X>t)=P(N(t)=0)=0!(λt)0e−λt=e−λt
有了上式，用户在ttt时间内打电话的概率是1减去上面的概率
P(X≤t)=1−P(X>t)=1−e−λt\begin{aligned} P(X\leq t)&=1-P(X>t) \\ &=1-e^{-\lambda t} \end{aligned}P(X≤t)=1−P(X>t)=1−e−λt

有了上面的公式，我们计算一下接下来15分钟内，有用户打电话的概率是
P(X≤0.25)=1−P(X>t)=1−e−3×0.25≈0.5276\begin{aligned} P(X\leq 0.25)&=1-P(X>t) \\ &=1-e^{-3\times 0.25} \\ &\approx0.5276 \end{aligned}P(X≤0.25)=1−P(X>t)=1−e−3×0.25≈0.5276
我们再计算一下，用户接下来在15到30分钟内打电话的概率是
P(0.25≤X≤0.5)=P(X≤0.5)−P(X≤0.25)=(1−e−3×0.5)−(1−e−3×0.25)=e−0.75−e−1.5≈0.2492\begin{aligned} P(0.25\leq X\leq 0.5)&=P(X\leq 0.5)-P(X\leq 0.25) \\ &=(1-e^{-3\times 0.5})-(1-e^{-3\times 0.25}) \\ &=e^{-0.75}-e^{-1.5} \\ &\approx 0.2492 \end{aligned}P(0.25≤X≤0.5)=P(X≤0.5)−P(X≤0.25)=(1−e−3×0.5)−(1−e−3×0.25)=e−0.75−e−1.5≈0.2492

理解了吗？指数分布描述的是时间发生的时间间隔的概率。

指数分布的概率密度函数长下面的样子。

因为概率密度函数图像呈现指数衰减的样子，所以起名叫指数分布。

从上图能知道，随着时间间隔变长，事件发生的概率急剧下降。是指数式衰减的。

还是上面的例子，每个小时内有三个用户打电话，下一个用户间隔2小时打电话的概率是0.25%，那么间隔3小时，4小时的概率，更加接近于0。

总结

一句话来说。

泊松分布是单位时间内独立事件发生次数的概率分布。

指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。