题目

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思路

首先第一步就把我难倒了：建树。我连树都建不出来，还要我在树上求解问题？吔屎啦你！

当然仔细想想，二叉搜索树实际上是 用树中已存在的节点的值，将值域分割了。对吧？每个点作为分界线，大于它和小于它的，一定不在同一个子树内。反之，若两个点不在同一个子树内，那么存在一个点作为分界线。

那么更进一步，某个叶节点的父节点一定是它的前驱，或者后继。这也是毫无疑问的，从求前驱后继的过程就能得知了。

于是我们有一种简单但是实用的建树方式：用 s e t \rm set set 维护目前所有点的值，加入一个点的时候，查询它的前驱后继，谁没有对应的儿子，当前点就可以当儿子。

建树讲完了。接下来的工作反而简单。 i n s e r t \rm insert insert 顺序可以任意调整，听上去很恐怖吗？只需要考察相邻的两个数交换。显然如果二者不是父亲儿子关系，就没有任何影响。如果是父子关系，二者就会进行一个平衡树中的 r o t a t e \rm rotate rotate 操作。

很容易推广：对于特殊点（在区间 [ L , R ] [L,R] [L,R] 内的数）构成的连通块，可以任意 r o t a t e \rm rotate rotate 。直观地想，也挺容易理解的。当然两个连通块之间不存在祖先关系。

仍然用到上面对于 B S T \tt BST BST 的思考。特殊点无论怎么转，总是割出 s i z e + 1 size+1 size+1 个区间，并且每个区间内包含的数字是固定的。任意两个相邻区间可以是兄弟节点。所以问题变成了一个 H u f f m a n \it{Huffman} Huffman 编码的问题，只不过兄弟节点必须相邻。

这玩意儿就不那么容易贪心了。同样可以证明，权值最小的点必然是直接与旁边某个点作为兄弟节点。然而究竟是左还是右呢？严厉抨击左倾思想！

考虑到 R − L + 1 ⩽ 200 R-L+1\leqslant 200 R−L+1⩽200，也就是说最多 201 201 201 个点，那就直接区间 d p \tt dp dp 好了呗！

时间复杂度 O [ n log ⁡ n + ( R − L ) 3 ] \mathcal O[n\log n+(R-L)^3] O[nlogn+(R−L)3] 。当然对于前面这部分，就有说法了，即插入顺序本质上就是影响父子关系的。对于插入时间而言，满足小根堆性质。所以我们只需要按照普通的笛卡尔树 O ( n ) \mathcal O(n) O(n) 单调栈建树！可惜需要先按照权值排序，没能跃入线性。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <set>
using namespace std;
# define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); ++i)
# define drep(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); --i)
typedef long long int_;
inline int readint(){int a = 0; char c = getchar(), f = 1;for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar())if(c == '-') f = -f;for(; '0'<=c&&c<='9'; c=getchar())a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);return a*f;
}const int MaxN = 100005;
int ch[MaxN][2], dep[MaxN], siz[MaxN];
void getInfo(int x){if(!x) return ;rep(j,(siz[x]=1)^1,1){getInfo(ch[x][j]);siz[x] += siz[ch[x][j]];}
}int_ ans; bool vis[MaxN];
void sumDep(int x){if(!x) return ;ans += dep[x]; vis[x] = 1;rep(j,0,1) sumDep(ch[x][j]);
}vector<int> v;
bool good[MaxN]; // if it's special
void collect(int x){if(!x) return v.push_back(0);if(!good[x]){v.push_back(siz[x]);ans -= 1ll*dep[x]*siz[x];return sumDep(x);}vis[x] = true;rep(j,0,1) collect(ch[x][j]);
}const int MaxM = 205;
const int infty = (1<<30)-1;
int dp[MaxM][MaxM], pre[MaxM];
int solve(){int len = int(v.size())-1;for(int i=1; i<=len; ++i)pre[i] = pre[i-1]+v[i];drep(i,len,1) rep(j,i+1,len){dp[i][j] = infty;rep(k,i,j-1){int t = dp[i][k]+dp[k+1][j];dp[i][j] = min(dp[i][j],t);}dp[i][j] += pre[j]-pre[i-1]+j-i-1;}return dp[1][len];
}set<int> s; int a[MaxN];
int main(){int n = readint();s.insert(n+1); // guards.insert(a[1] = readint());for(int i=2; i<=n; ++i){a[i] = readint();auto fa = s.lower_bound(a[i]);if((*fa) <= n && !ch[*fa][0])ch[*fa][0] = a[i];else ch[*(--fa)][1] = a[i];dep[a[i]] = dep[*fa]+1;s.insert(a[i]); // important!}getInfo(a[1]); // scanint l = readint(), r = readint();rep(i,l,r) good[a[i]] = 1;for(int i=l; i<=r; ++i){if(vis[a[i]]) continue;v.resize(1); // guardcollect(a[i]), ans += solve();ans += 1ll*siz[a[i]]*dep[a[i]];}for(int i=1; i<=n; ++i)if(!vis[i])ans += dep[i];printf("%lld\n",ans+n);return 0;
}

后记

我当时还有一个神奇的想法。先随意地将二叉平衡树建出来，然后用 S p l a y \tt Splay Splay 将每个点依次转上去！

这样可以支持在线查询，好诶！

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