解析几何复习（二）正交变换和仿射变换

文章目录

前言
引入
- 反射
- 平移
- 旋转
正交矩阵
- 定义
- 一些性质（命题）
★\bigstar★正交变换
- 定义
- 性质
- 一些定理
仿射变换
- 定义
- 简单性质

前言

以前学习解析几何的时候更加侧重几何，或者说直观方面，但是既然是解析几何，当然也不能忽视代数在其中的重要作用。例如，正交变换的概念第一次学习是在高等代数课上，但是当时只是一些枯燥的概念，学了也就是应付考试，而在仔细看了丘维声教授的《解析几何》一书后，我对正交变换这一概念的理解更加深入了，下面简要总结一下正交变换及仿射变换的一些内容。

感兴趣的朋友可以用微信读书搜索：《解析几何（第三版）》丘维声著进行学习。

引入

几何空间中三种常见的变换（集合到自身的映射）：反射、平移、旋转，他们具有相似的性质，将坐标记成矩阵乘法的形式，可分别得到：

反射

设反射轴为：
l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0 l:Ax+By+C=0
则反射变换
{x′=1A2+B2[(B2−A2)x−2ABy−2AC],y′=1A2+B2[(A2−B2)x−2ABx−2BC].\begin{cases} x'=\dfrac1{A^2+B^2}\left[(B^2-A^2)x-2ABy-2AC\right],\\ y'=\dfrac1{A^2+B^2}\left[(A^2-B^2)x-2ABx-2BC\right]. \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x′=A2+B21[(B2−A2)x−2ABy−2AC],y′=A2+B21[(A2−B2)x−2ABx−2BC].

平移

(x′y′)=(xy)+(ab)\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} (x′y′)=(xy)+(ab)

旋转

(x′y′)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)(xy)\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} (x′y′)=(cosθsinθ−sinθcosθ)(xy)

正交矩阵

定义

实数域上的nnn级矩阵AAA如果满足：
ATA=I,A^TA=I, ATA=I,

那么称AAA是正交矩阵。

一些性质（命题）

AA′=I⟺AAA'=I\iff AAA′=I⟺A可逆，且A−1=A′⟺A′A=IA^{-1}=A'\iff A'A=IA−1=A′⟺A′A=I；
单位矩阵III为正交矩阵；
若AAA和BBB都是nnn级正交矩阵，则ABABAB也是正交矩阵；
若AAA是正交矩阵，则A−1(A′)A^{-1}(A')A−1(A′)也是正交矩阵；
若AAA是正交矩阵，则∣A∣=±1|A|=\pm1∣A∣=±1；

★\bigstar★正交变换

正交变换（反射，平移，旋转）不改变点之间的距离，所以也称为保距变换。由于变换是一种特殊的映射（自身到自身的映射），所以正交变换具有映射的一些性质，下面讨论正交变换的一些特殊性质。

定义

平面上一个点变换，如果保持任意两点的距离不变，则称它为正交（点）变换或保距变换。

性质

正交变换的乘积是正交变换；
恒等变换是正交变换；
正交变换罢共线的三点萤成共线的三点，并且保持它们的顺序不变；
正交变换把不共线的三点映成不共线的三点；
正交变换把直线映成直线，把线段映成线段，并且保持线段的分比不变；
正交变换是可逆变换，且其逆变换也是正交变换；
正交变换把平行直线映成平行直线；
我们把平面上所有点组成的集合记为SSS，平面上所有向量组成的集合记为S‾\overline{S}S，则正交点变换σ\sigmaσ诱导了集合S‾\overline{S}S上的一个变换σ\sigmaσ；
正交变换保持向量的加法、数乘运算；
正交变换保持向量的长度、夹角、内积不变；

一些定理

（正交变换第一基本定理）平面上的正交变换σ\sigmaσ把任意一个直角标架I[O;e1;e2]\mathrm{I}\ [O;\,e_1;\,e_2]I [O;e1;e2]变成一个直角标架II\mathrm{II}II，并且使得任意一点PPP的I\mathrm{I}I坐标等于它的像P′P'P′的II\mathrm{II}II坐标；反之，如果平面上的一个点变换τ\tauτ使得任意一点QQQ在直角标架I\mathrm{I}I中的坐标等于QQQ的像Q′Q'Q′在直角标架II\mathrm{II}II中的坐标，则τ\tauτ是正交变换。
（正交变换第二基本定理）平面上的正交变换或者是平移，或者是旋转，或者是反射，或者是它们之间的乘积。
设平面上的正交点变换σ\sigmaσ把直角标架I[O;e1;e2]\mathrm{I}\ [O;\,e_1;\,e_2]I [O;e1;e2]映成直角标架II[O′;e1′;e2′]\mathrm{II}\ [O';\,e_1';\,e_2']II [O′;e1′;e2′]，其中O′,e1′,e2′O',\,e_1',\,e_2'O′,e1′,e2′的I\mathrm{I}I坐标分别是(a1,a2)T(a_1,\,a_2)^\mathrm{T}(a1,a2)T, (a11,a21)T(a_{11},\,a_{21})^{\mathrm{T}}(a11,a21)T, (a12,a22)T(a_{12},\,a_{22})^{\mathrm{T}}(a12,a22)T，则σ\sigmaσ在直角标架I\mathrm{I}I中的公式为
(x′y′)=(a11a12a21a22)(xy)+(a1a2),\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}, (x′y′)=(a11a21a12a22)(xy)+(a1a2),
矩阵A=(a11a12a21a22)A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{pmatrix}A=(a11a21a12a22)是正交矩阵。反之，τ\tauτ是正交变换。

仿射变换

定义

平面上一个点变换τ\tauτ，如果它在一个仿射坐标系中的公式为
(x′y′)=(a11a12a21a22)(xy)+(a1a2),\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}, (x′y′)=(a11a21a12a22)(xy)+(a1a2),
其中系数矩阵A=(a11a12a21a22)A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{pmatrix}A=(a11a21a12a22)是非奇异的，则称τ\tauτ是平面的仿射（点）变换。

简单性质

仿射变换把直线映成直线；
仿射变换把平行直线映成平行直线；
仿射变换保持共线三点的简单比值不变；
仿射变换把线段映成线段，且保持线段分比不变；