金融经济学(王江)第四章 套利和资产定价
文章目录
- 第四章 套利和资产定价
- 4.1 给定任意市场结构
- 4.1.1 什么样的市场结构
- 4.1.2 冗余证券
- 4.1.3 复制组合思想
- 4.1.4 AD证券的复制
- 4.2 套利
- **4.3 资产定价基本原理**
- 4.3.1 证明(王江):
- 4.3.2 证明(徐高)
- 4.4 风险中性定价
- 4.4.1 p测度下的资产定价公式
- 4.4.2 Q测度下的资产定价公式(即风险中性测度)
- 4.4.3Q测度下的资产定价公式是鞅
第四章 套利和资产定价
这一章跳过AD经济重新回到第二章所定义的一般均衡框架
上一章,我们研究给定资产价格下,消费者的决策问题,这一章,我们试图通过消费者的决策行为反向推出资产价格。即通过分析三种套利行为,基于无套利原理得到资产的二叉树定价方法(状态价格(贴现)、复制定价法和风险中性定价法)
4.1 给定任意市场结构
4.1.1 什么样的市场结构
事实上,状态或有证券在现实市场中一般是不存在的,所以我们研究一般的市场结构如何影响资产价格。反过来也可以这么想,如果市场是完全的,那么由目前的市场结构一定可以构造出状态或有证券。
4.1.2 冗余证券
任意市场结构中存在冗余证券,即可由其他证券组合复制支付的证券。表现在市场结构中就是与其他证券的支付向量线性相关。
由于冗余证券可由其他证券替代,所以对于定价毫无用处。在没有交易成本的情况下,可以免费由其他证券构造。所以这一章的市场结构中只包含N只线性独立的证券的支付,即列满秩。注意市场不一定是完全的。
4.1.3 复制组合思想
考虑N个线性独立的组合,其中第i列为第i个组合,第i行为每个组合对应的第i个证券的支付,不难理解,若该支付矩阵设为H,则H是非奇异矩阵。
所以 XH 为该组合的支付,那么如果市场结构是该组合的支付,X也可以通过右乘H的逆矩阵构造出来。我们说这两个市场结构是等价的描述。
那么什么是复制组合的思想?基于无套利原理,通过构造一个组合,得到一个与需要定价的证券的未来支付相同的组合。组合可看作一个证券,那么就是使两个证券支付相同,然后根据组合中每个证券的权重求解
4.1.4 AD证券的复制
基于复制组合的思想,我们怎么构造AD证券呢?显然需要假定市场是完全的。即X可逆。
令组合的支付在未来某个状态为1其他状态为0 即w或有证券的支付,Xθ=i,i是一个向量其中一个元素为1其他元素为0. 这样就可以解出在当前市场结构下,如何构造组合使其是AD证券的等价描述。
4.2 套利
由于公司的有限责任,所以股票价格非负(现实中也存在负价格的期货合约 CME原油期货(2020年5月)导致了所谓的原油宝穿仓事件 ,由此可以去看bachelie模型(算数布朗运动、伊藤引理、鞅、伊藤等距、随机微分方程的解法,))
如果一个组合到期有正收益(Xθ-S’θ)>= 0,那么称存在套利机会。该组合是一个套利组合 。我们将套利分为三类:
公式中的小于0何解? 允许卖空,即有价证券持有量为负。
注: 无套利原理的通俗理解就是通常情况下套利机会存在,但是套利行为或者投机行为会使市场套利机会消失
当然对于套利的分析都是建立在市场没有交易成本的假设条件上的,否则如果套利收益小于交易成本(商品市场),投资者未必会选择交易。
4.3 资产定价基本原理
资产定价原理是指在无套利假定下资产价格为:
求出的算子叫做状态价格向量。在完全市场上状态价格是唯一的,若不完全,无法求出复制w或有证券的组合,也就无法求出该组合的价值,也就是w或有证券的价格。
4.3.1 证明(王江):
这里先给出王江书上的证明过程:
Step1: 由第二章基本框架可知,在复制组合给定即禀赋给定的条件下,资产价格S是其支付X和消费即投资组合的函数。对于最优化的解,如果我们给定支付矩阵X,那么我们就可以对S求解。所以S=V(X)的函数。(从经济意义更容易理解)
Step2: 根据无套利定价原理,一价定律成立。即x=y那么就有V(x)=V(y),其中x为证券1的支付向量,y为证券2的支付向量。
证明:不存在第一类套利,即Xθ = 0,必须有S’θ>0 对于任意的θ都成立
那么令θ=(1;-1) θ’=(-1;1);表示列向量
对于θ: x=y****即Xθ=0,S’θ = V(x)-V(y)>=0
对于θ’:x=y即Xθ=0,S’θ = -V(x)+V(y)>=0即V(x)-V(y)<=0
所以由 V(x)=V(y)
Step3:V(x)是x的正的线性函数。
(1)先证明其是递增算子
显然x>0时,V(x)>0 (简单用不存在第二、三类套利即可证明)
Xθ>0 的时候,S’θ>0 或 S’θ<0(二)
Xθ>0的时候,S‘θ>= 0(三)
S’θ>0即V(x)>0
对于x>y 由 V(x)>V(y),显然想到利用上面这条结论x-y>0证明V(x)-V(y)>0
由Step2想到构造(1,-1)这个组合即可。组合的支付大于0,那么组合的成 本V(x)-V(y)>0.
(2)证明V(x)是线性算子
考虑三只证券支付分别为x,y,ax+by 其中a,b为R中的任意常数,即ax+by表示由x,y所复制的任意支付。
不存在第1类套利,即一价定律。构造0支付组合即套利组合(a;b;-1)显然V(θ)=0
即 aV(x)+bV(y)- V(ax+by)=0
Step4: V(x)是正的线性递增算子
所以资产定价公式为:**
4.3.2 证明(徐高)
(1) 依然是无套利定价原理,用到超平面分离定理也叫凸集分离定理
所谓超平面分离定理,学过机器学习SVM(支持向量机)的应该比较好理解,以二维为例,如果我们在二维平面上任意画两个互相分离的凸集,那么一定可以画出一条直线将两个集合分开,使其处于直线两边:
最后一个等式,其实很好想象,想象一条直线,将其系数扩大μ倍,那么原来超平面不变,但是将其上方或者下方的点带入,其值要变化μ倍(右端不再等于0而是等于y)。下面给出手写证明:(具体可以参考徐高老师的教材与课程)
4.4 风险中性定价
将我们的基本框架放在一个风险中性的世界,只是为了计算方便,适用于所有风险偏好的投资者。(定价公式中并不包含波动率)
4.4.1 p测度下的资产定价公式
(1)无风险证券:由前面知识我们知道状态价格是一个贴现因子王江金融经济学二、三章整理
因此我们可以得到无风险证券的价格:
我们知道给定无风险利率有:
这样就建立起状态价格和贴现因子或无风险利率之间的关系:
(2)风险证券
如何将无风险证券定价公式与风险证券定价公式建立联系呢?我们有测度转换
4.4.2 Q测度下的资产定价公式(即风险中性测度)
在风险中性测度Q下新公式不仅适用于风险证券也适用于无风险证券,即不区分证券的风险,所以才叫风险中性测度。
为了表达方便,经常写成期望支付的形式(离散情况下求期望公式)
4.4.3Q测度下的资产定价公式是鞅
注意t的变化,该性质在连续情况下经常用到。这里研究的是离散情况,所谓离散鞅,是来自于公平赌博的一个概念,指的是在拥有所有当前信息和历史信息的条件下,未来时刻的期望收益。通俗理解就是现在如果赌博是公平的,那么未来的期望收益为0。所以鞅是一个公平性概念。(条件期望性质)
区别于马尔可夫性的无后效性(条件概率性质:未来条件概率分布只取决于当前的概率分布,与历史时刻无关)
二者并无相关性.
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