第七章 查找

目录

  • 第七章 查找
    • 7.1 基本概念
    • 7.2 顺序查找和折半查找
      • 一、顺序查找
      • 二、折半查找
      • 三、分块查找
    • 7.3 树形查找
      • 一、二叉排序树（BST）
        • 定义
        • 查找具体值的代码实现
        • 插入
        • 删除
        • 效率分析
        • 平衡二叉树
        • 删除
        • 查找效率
      • 二、B树
        • B树的插入
        • B树的删除
      • 三、B+树
        • B+树查找
        • B树和B+树的区别
      • 四、散列（Hash）查找
        • 拉链法
        • 拉链法效率
        • 常见散列函数
        • 开放定址法
    • 7.5 总结

7.1 基本概念

  1. 查找：在数据集合中寻找满足条件的数据元素
  2. 查找表：用于查找的数据结合称之为查找表
  3. 静态查找表：如果一个查找表只涉及到检索操作，而不涉及删除和插入操作，则为静态查找表。
  4. 关键字：数据元素中唯一标识该元素的某个数据项的值，比如学生的学号
  5. 平均查找长度ASL：指的是一次查找需要比较的关键字的次数， 算法性能的关键

7.2 顺序查找和折半查找

一、顺序查找

最直观的查找方法，其基本思想是从线性表的一端开始，逐个检查关键字是否满足给定条件。

在顺序查找中会使用哨兵。哨兵指的是将存储结构的第0个赋值为需要查询的值，然后从后往前查找，如果返回的位置为0，则证明没有所需的元素。使用哨兵可以减少判断语句从而提高效率，哨兵是一种用途广泛的概念，不只是用于顺序查找
ASL成功=1n+1ASL_{成功}=\frac{1}{n+1}ASL成功​=n+11​，ASL失败=n+1ASL_{失败}=n+1ASL失败​=n+1

ASL的数量级为O(n)，

有序表的顺序查找

在有序表中，判断查找是否失败相对比较方便。如果发现第i个元素小于关键字，但是第i+1个元素却大于关键字，则可以认为表中不存在关键字，查找失败。

其中圆形结点为成功结点，方形结点为失败结点。一个成功节点的查找长度为自身所在的层数，一个失败节点的查找长度为其父节点所在的层数

ASL失败=n2+nn+1ASL_{失败}=\frac{n}{2}+\frac{n}{n+1}ASL失败​=2n​+n+1n​

根据被查概率概率降序排列
可以缩短查找成功时的ASL，但是查找失败时必须遍历一整个表，因此失败时ASL比有序表大

二、折半查找

折半查找又称为二分查找，只适用于有序的顺序表。

其特点是将顺序表划分为一颗区间二叉树。该算法只适用于顺序存储结构，不适用于链式存储结构，并且要求元素关键字有序排列。

平均时间复杂度为O(log2n)。但是折半查找的速度不一定比顺序查找快

查找判定树
二分查找的过程可以构造出一个查找判定树

当low和high之间有奇数个元素，则mid分割后，左右两部分元素相等；
当low和high之间有偶数个元素，则mid分割后，左半部分比右半部分少一个元素

因此，在判定树中，如果mid=⌊(low+high)/2⌋mid=\lfloor(low+high)/2\rfloormid=⌊(low+high)/2⌋，则右子树结点数-左子树结点数=0或者1；，如果mid=⌈(low+high)/2⌉mid=\lceil(low+high)/2\rceilmid=⌈(low+high)/2⌉，则左子树结点数-右子树结点数=0或者1

折半查找判定树一定是平衡二叉树，并且只有最下面一层是不满的，因此元素个数为n的时候树高为⌈log2(n+1)⌉\lceil log_2(n+1)\rceil⌈log2​(n+1)⌉。n个元素的判定树的失败节点有n+1个

三、分块查找

分块查找又称为索引顺序查找，在408中较少考察代码

分块查找基本思想：将查找表划分为若干个字快，块内元素可以无序，但是块之间是有序的。再建立一个索引表，索引表中的每个元素含有各块的最大关键字和第一个元素的地址，索引表按关键字有序排列。

分块查找的过程分为两步：一个是在索引表中确定待查关键字所在的块，可以使用顺序或者折半查找索引表；定位好了所在块后再在块内寻找。

在使用折半查找查找索引表时，如果索引表中不包括关键字，那么折半查找索引表会最终停到low>high的位置。如果是一般的折半查找，此时意味着查找失败，而对于折半查找索引表来说，此时意味着需要查找的元素可能位于low指针指向的索引的分块中，需要进入该分块进行查找。
也就是说，如果索引表中不包括关键字，那么折半查找需要一直运行到low>high的时候才能确定位于哪个分块

查找效率分析（ASL）
需要能够具体说出在采用顺序/折半查找索引表时，查找到某个具体元素所需要的查找次数。一般是查找索引表的次数+查找分块内元素的次数

假设长度为n的查找表被均匀分成了b块，每块有s个元素，则平均长度为：ASL=LI+LSASL=L_I+L_SASL=LI​+LS​，其中如果采用顺序查找查索引表的话，查找索引长度LI=b+12L_I=\frac{b+1}{2}LI​=2b+1​, 查找分块长度LS=s+12L_S=\frac{s+1}{2}LS​=2s+1​。由于n=sb，因此将式子回代得：ASL=b+12+s+12=12s+1+n2sASL=\frac{b+1}{2}+\frac{s+1}{2}=\frac{1}{2}s+1+\frac{n}{2s}ASL=2b+1​+2s+1​=21​s+1+2sn​
通过求导可知道，当s=ns=\sqrt ns=n​的时候，ASL最小

折半查找的ASL是：
ASL=⌈log2(b+1)⌉+s+12ASL=\lceil log_2(b+1)\rceil+\frac{s+1}{2}ASL=⌈log2​(b+1)⌉+2s+1​

7.3 树形查找

一、二叉排序树（BST）

定义

左子树上的结点都小于根节点、所有右子树都大于根节点
使用中序遍历可以得到一个递增的有序序列

查找具体值的代码实现

从根节点开始，如果小于根节点则往左走，大于根节点则往右走，其路径是不会出现分叉的，也就是说，对BST的查找是不会出现回溯的

// 查找二叉排序树具体结点
BiTree *BST_Search(BiTree t, int v){while (t!=NULL){if (t.data>v){t=t.rchild;}else if (t.data < v){t = t.rchild;}else{return t;}}return t;
}// 查找二叉排序树具体结点（递归）
BiTree *BST_Search1(BiTree t, int v){if (t==NULL || t.data==v){return t;}if (t.data < v){BST_Search1(t.rchild,v);}else{BST_Search1(t.lchild, v);}
}

非递归的空间复杂度为O(1)，递归的空间复杂度为O(n)
在BST的查找中，如果生成的BST平衡，那么其最大查找次数最小，为log2n+1log_2n +1log2​n+1;如果生成的BST及其不平衡，比如生成BST时的元素插入顺序恰好是递增或递减，那么最大查找次数最大，为n

插入

如果二叉树为空，则直接插入，否则，如果关键字k小于根节点，则插入左子树，如果关键字大于根节点，则插入右节点。新插入的结点一定是叶子结点。采用递归调用的方法空间复杂度为O(H)，H为树高；采用非递归的空间复杂度为O(1)

// 二叉排序树的插入(递归)
int BST_insert(BiTree &t, int v){if (t==NULL){   //已经到了根节点t = (BiTree)malloc(sizeof (BiTree));t.data=v;t.lchild=t.rchild=NULL;return 1;}else if (k<t.data){BST_insert(t.lchild,v);}else if (k>t.data)t = BST_insert(t.rchild,v);elsereturn 0
}

删除

  • 叶子结点直接删除
  • 删除的结点n只有左子树，那么让其子树的根节点替代他的位置，成为n的父节点的子树
  • 同样，删除的结点n只有右子树，那么让其子树的根节点替代他的位置，成为n的父节点的子树
  • 删除的结点n既有左子树又有右子树。那么：
    • 可以中序遍历右子树，其第一个节点p为右子树中最小的结点（也就是右子树中最左下的结点），让结点p替代结点n的位置
    • 可以遍历左子树，取得左子树中最小的结点p（也就是左子树中最右下的结点），让结点p替代结点n的位置

效率分析

查找长度：在查找运算中，需要对比关键字的次数反映了查找操作时间的复杂度。平均查找长度又称为ASL。需要会算二叉排序树的平均查找长度。查找失败所需要的平均长度也要会计算，一般只有查找到叶子结点仍未查找到目标值，则判定为查找失败

二叉排序树的ASL的优劣很大情况下取决于树的高度，因此树的高度越小，性能越优秀。而构造二叉树的输入序列有序会导致一个倾斜的单支树，此时BST高度最高，性能最差。如果构造出来的是一颗平衡二叉树，则性能最好。其最好查找长度为O(logn)，最坏查找长度为O(n)

平衡二叉树

平衡二叉树AVL是二叉排序树的一种特殊形式，在AVL中，任意结点的左子树和右子树的差不能超过1。
平衡因子：节点的左子树高-右子树高。AVL中平衡因子只可能是0\1-1三种情况。

平衡二叉树的插入
平衡二叉树的插入会使得二叉树失去平衡。由于对于AVL的插入都是插入叶子结点（因为AVL是一种二叉排序树），因此可以通过调整最小不平衡子树来使得AVL恢复平衡，

想要找到最小不平衡子树需要利用平衡因子。从插入节点处开始向上回溯，找到第一个平衡因子不是0、1或-1的结点。则以该节点为根节点的树为最小不平衡树

在导致AVL失衡插入操作中，有如下四种情况：

LL平衡旋转(右单旋转)
先判断图中各个节点的大小关系：BL<B<BR<A<AR

在结点A的左孩子的左子树上插入了新节点，导致以A为根的子树失去了平衡，需要进行一次向右旋转的操作。将A的最孩子B向右旋转代替A成文根节点，而A成为B的子节点，并且将B原来的右子树变成了A的左子树。旋转完成后依旧符合二叉排序树的性质

代码思路:
假设指针p指向B，指针f指向A，指针gf指向A的父节点

f->lchild=p->rchild;
p->rchild=f;
gf->lchild/rchild=p;

RR平衡旋转(左单旋转)
先判断图中各个节点的大小关系：AL<A<BL<B<BR

在结点A的右孩子的右子树上插入了新节点，导致以A为根的子树失去了平衡，需要进行一次向左旋转的操作。将A的右孩子B向右旋转代替A成为根节点，而A成为B的子节点，并且将B原来的左子树变成了A的右子树旋转完成后依旧符合二叉排序树的性质

LR平衡旋转（先左旋后右旋 ）
先判断图中结点的大小：BL<B<CL<C<CR<A<AR

在A的左孩子的右子树上插入了新节点，导致以A为根的子树失去了平衡，需要先对C进行左旋，代替B的根节点的位置，而C的左子树称为B的右子树。然后右旋转C，代替A的根节点的位置，而C的右子树变成A的右子树。旋转完成后依旧符合二叉排序树的性质

RL平衡旋转
在A的左孩子的右子树上插入新节点，导致以A为根的子树失去平衡，需要先对C进行右旋，代替B的根节点位置，再进行左旋，代替A的根节点位置

删除

查找效率

主要影响因素来自于树的高度，也就是查找操作的时间复杂度不可能超过O(h)

假设以nh表示深度为h的平衡树中含有最少的结点数。则有n0=0，n1=1，n2=2，并且nh=nh-1+nh-2+1。平衡二叉树的平均高度为O(log2n)，因此的平均查找长度AVL为O(log2n)

二、B树

考试侧重于考察性质、效率等

B树是一种多路平衡查找树。他每个节点最多有n个子树，而每一个节点是一个n-1的列表，比如根节点为10,20,30的列表，那么第一个子节点指向的是值小于10的列表，第二个子节点指向的是值位于10到20的列表，以此类推。其子节点中的元素也是有序的。另外，除了根节点之外所有非叶节点至少有m/2棵子树。 根节点都是没有数据的空节点，是失败节点。

如果每个节点内关键字太少，导致树变高，要查更多层节点，效率会下降，因此在B树中规定除根节点外每个节点至少有⌈n/2⌉−1\lceil n/2\rceil-1⌈n/2⌉−1个元素和⌈n/2⌉\lceil n/2\rceil⌈n/2⌉颗子树，以提高效率。另外，n叉查找树越平衡，其查找效率也越高，因此B树规定，对于任意一个节点其所有子树高度都相同。

性质：
在一棵m阶的B树中：

  1. 树中每个节点最多有m棵子树，最多有m-1个关键字
  2. 如果根节点不是终端节点，则至少还有两棵子树
  3. 除根节点外每个节点至少有⌈n/2⌉\lceil n/2\rceil⌈n/2⌉个子树和⌈n/2⌉−1\lceil n/2\rceil-1⌈n/2⌉−1个关键字
  4. 所有叶节点都出现在同一层次上，为失败结点，不携带任何信息
  5. 对于任意一个节点其所有子树高度都相同。

计算B树高度不会包括失败节点
含有n个关键字的m阶B树的最大、最小高度是多少

  • 最小高度要求让每个节点尽可能的多关键字，也就是有m-1个关键字和m个分叉，则有n≤(m−1)(1+m+m2+m3+...+mh−1)=mh−1n\leq (m-1)(1+m+m^2+m^3+...+m^{h-1})=m^h-1n≤(m−1)(1+m+m2+m3+...+mh−1)=mh−1因此h≤logm(n+1)h\leq log_m(n+1)h≤logm​(n+1)
  • 最大高度要求各层尽可能少，也就是根节点只有2个分叉，其他节点只有⌈n/2⌉\lceil n/2\rceil⌈n/2⌉个元素。因此至少有2(⌈m/2⌉)h−12(\lceil m/2\rceil)^{h-1}2(⌈m/2⌉)h−1个结点, 对于n个关键字的B树必然有n+1个叶子结点，则n+1≥2(⌈m/2⌉)h−1n+1\geq 2(\lceil m/2\rceil)^{h-1}n+1≥2(⌈m/2⌉)h−1，可推出h≤log⌈m/2⌉n+12+1h\leq log_{\lceil m/2\rceil}\frac{n+1}{2}+1h≤log⌈m/2⌉​2n+1​+1
  • 对于n个关键字的B树必然有n+1个叶子结点，这也会单独考

B树的插入

假设一个5叉B树，也就是每个节点有4个数据。如果插入新数据可能会使得当前节点内数据超过限制，此时需要进行节点的拆分，将一个节点拆分为一个父节点和两个相连的子节点。拆分会从中间的第⌈n/2⌉\lceil n/2\rceil⌈n/2⌉个位置处拆分。

每次插入一定插入到最底层的节点，因为失败节点只能出现在最底层。在B树中，非根节点值必须有它对应的左右子树，不然会导致失败节点出现在上层，这违背了B树的定义。

在B树中非根节点中插入元素，并且导致其元素个数超出限制时，作以下变换

B树的删除

删除非终端节点

被删除关键字为非终端节点，则用直接前驱或者直接后继代替被删除的关键字。
直接前驱：当前关键字左侧指针指向的子树最右下的元素，也就是左子树中最大的节点
直接后继：当前关键字右侧指针指向的子树最左下的元素，也就是右子树中最小的节点

如下图中，删除80节点，那么可以选择其直接前驱77或者直接后继82来代替

也就是删除非终端节点的删除可以转化为对终端节点的删除

删除终端节点

只要删除后节点数依然不小于⌈n/2⌉\lceil n/2\rceil⌈n/2⌉，则都可以直接进行。

如果删除后节点数小于⌈n/2⌉\lceil n/2\rceil⌈n/2⌉：

  • 如果它相邻的兄弟节点数仍多于n/2，则可以像兄弟借一个节点使用。一般是该节点的父节点借一个元素给该节点，而该节点的兄弟节点将其中一个元素移动到父节点中。如果是左孩子借元素给父节点，那么借出的结点是左孩子中最大的元素；如果是右孩子借元素给父节点，那么借出的结点是右孩子中最小的元素。
  • 如果它的兄弟节点数小于n/2了，则可以将该节点和兄弟节点，以及其父节点中的关键字进行合并。合并过程中，双亲节点的关键字个数会减1。如果其双亲节点是根节点而且关键字个数减少到0了，则可以直接删除根节点。

三、B+树

一个m阶b+树满足：

  • 每个分支节点最多有m棵子树
  • 非叶根节点至少有2颗子树，其他每个分支节点至少有m/2棵子树。非叶根节点指的是叶节点再往上的一个节点。其他每个分支节点至少有⌈n/2⌉\lceil n/2\rceil⌈n/2⌉个子树
  • 节点的子树与关键字个数相等，这是B+树和B树的区别
  • 所有叶节点包含全部关键字以及指向相应记录的指针，叶节点中将关键字按大小排序，并且相邻叶节点按大小顺序相互连接
  • 所有分支节点中只包含了她的各个子节点的最大值

B+树查找

无论查找成功与否，都需要走到最下面一层的节点。因为关键字都在叶子结点，非叶节点只是索引

B+树也可以通过指针p进行顺序查找

B树和B+树的区别

  • B+树中n个关键字对应n个子树；B树中n个关键字对应n+1个子树
  • B+树中，叶子节点包含所有关键字，非叶子节点的关键字也会在叶子节点中出现；B树中关键字不重复
  • B+树中叶子节点包含信息，非叶子节点只起索引作用；B树中所有节点都包含信息。
  • m阶B树的根节点关键字数为[1,m−1][1,m-1][1,m−1]，其他节点为[⌈m/2⌉−1,m−1][\lceil m/2\rceil-1, m-1][⌈m/2⌉−1,m−1]；m阶B树的根节点关键字数为[1,m−1][1,m-1][1,m−1]，其他节点为[⌈m/2⌉−1,m−1][\lceil m/2\rceil-1, m-1][⌈m/2⌉−1,m−1]

在B+树中，非叶子节点不含有关关键字对应纪录的存储地址，可以使用一个磁盘块包含更多关键字，使得 B+树阶更大，树高更矮，读磁盘数更少，查找更快。如今比如MySQL等关系型数据库不少都采用了B+树。

四、散列（Hash）查找

散列表又称为哈希表，是一种数据结构，特点是数据元素的关键字与其存储地址直接相关。数据元素的值通过哈希函数处理后，就可以得出该元素应该存放的地址。

如果不同的关键字通过散列函数映射到了同一个值，则称他们为同义词
通过散列函数确定的位置已经存放了其他元素，这种情况称之为冲突

拉链法

拉链法处理冲突是将所有同义词存储在一个链表中

查找值为21的关键字，应该是21%13=8，所以查找长度为0

拉链法效率

需要会算查找成功和查找失败的平均ASL
冲突次数越多，则ASL越大，效率越低。
当完全没有冲突时，散列查找时间复杂度可达O(1)

装填因子α\alphaα=表中记录数/散列表长度。装填因子的大小会影响到散列表的效率，因为装填得越多，发生冲突的几率越大

常见散列函数

除留余数法：H(key)=key%p。一般来说，如果散列表表长为m，则取不大于m但最接近于或等于m的质数p。因为取质数发生冲突的概率更小。

直接定址法：H(key)=key或者H(key)=a*key+b。这种方法计算最简单并且没有冲突，适用于关键字分布基本连续的情况。比如说一个班的学生的学号范围是2022-2222，那么就将这些学号一一对应放入长度为200的散列表中

平方取中法：取关键字的平方值的中间几位作为散列地址。具体取多少位要按照实际情况而定。这种方法得到的散列地址和关键字每一位都有关系，因此散列地址分布较为均匀，适用于关键字的每位取值都不够均匀的情况

开放定址法

开放定址法是处理冲突的一个方法。这种方法允许可存放新表项的空闲地址既向他的同义词表项开放，也向他的非同义词表项开放。它不像拉链法一样有链表跟随。

1.线性探测法
发生冲突的时候，一个一个往后探测相邻的下一个单元是否为空，如果有空单元则放入冲突的关键字。

查找失败时，需要一直向后查找直到出现第一个空元素。
直接删除一个元素，可能会导致其他的节点查找失败，因此删除可能不能直接移除元素，可以新增一个状态位用于标识该元素的有效性。在任何开放定址法中（包括平方探测法、再散列法），都不能直接删除元素。

要会算查找成功的ASL和查找失败的ASL


线性探测法很容易导致同义词和非同义词混杂在一起，严重影响查找效率。在对某个同义词进行查找的时候，还可能要遍历数个非同义词，查找精度低下，纯纯的弱智方法

2.平方探测法
有n个元素按照哈希函数运算后都需要放置到位置i中，按照数列[02, 12, -12, 22, 22, …n2]进行偏移存放，也就是第0个元素放在i处，第一个放在i+1处，第二个放在i-1处，第三个放在i+4处，以此类推

平方探测法比线性探测法不容易产生堆积问题，并且存储更有规律。

散列表长度必须表示成4j+3的素数才能探测所有位置。

3.再散列法
多准备几个散列函数，使用第一个散列函数发生冲突时再使用第二个散列函数，直到不冲突为止。

7.5 总结

算法名称 成功平均ASL 失败ASL 最坏ASL
顺序查找 n+12\frac{n+1}{2}2n+1​ n+1
折半查找 log2nlog_2nlog2​n

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