1. 张量场函数

定义称将位矢 ( 1 1 1阶张量) 映射为 s s s 阶张量的映射为张量场函数，即
Φ ( r ⃗ ) = Φ i 1 , i 2 , … , i r ( r ⃗ ) g ⃗ i 1 ( r ⃗ ) ⊗ g ⃗ i 2 ( r ⃗ ) ⊗ ⋯ ⊗ g ⃗ i r ( r ⃗ ) = Φ ( x 1 , x 2 , x 3 ) \bold\Phi(\vec{r})=\Phi^{i_1,i_2,\dots,i_r}(\vec{r})\vec{g}_{i_1}(\vec{r})\otimes\vec{g}_{i_2}(\vec{r})\otimes\dots\otimes\vec{g}_{i_r}(\vec{r})=\bold\Phi(x^1,x^2,x^3) Φ(r )=Φi1,i2,…,ir(r )g i1(r )⊗g i2(r )⊗⋯⊗g ir(r )=Φ(x1,x2,x3)
其中， ( x 1 , x 2 , x 3 ) (x^1,x^2,x^3) (x1,x2,x3) 为曲线坐标。

2. 张量场函数的导数/梯度

推导张量场函数导数的具体表达式前，先作如下说明：

如图，
{ r ⃗ 1 = r ⃗ + h g ⃗ 1 = [ x ( x 1 , x 2 , x 3 ) + h ∂ x ∂ x 1 ] i ⃗ + [ y ( x 1 , x 2 , x 3 ) + h ∂ y ∂ x 1 ] j ⃗ + [ z ( x 1 , x 2 , x 3 ) + h ∂ z ∂ x 1 ] k ⃗ r ⃗ 2 = x ( x 1 + h , x 2 , x 3 ) i ⃗ + y ( x 1 + h , x 2 , x 3 ) j ⃗ + z ( x 1 + h , x 2 , x 3 ) k ⃗ \begin{cases} \vec{r}_1=\vec{r}+h\vec{g}_1=\left[x(x^1,x^2,x^3)+h\dfrac{\partial x}{\partial x^1}\right]\vec{i}+\left[y(x^1,x^2,x^3)+h\dfrac{\partial y}{\partial x^1}\right]\vec{j}+\left[z(x^1,x^2,x^3)+h\dfrac{\partial z}{\partial x^1}\right]\vec{k}\\\\ \vec{r}_2=x(x^1+h,x^2,x^3)\vec{i}+y(x^1+h,x^2,x^3)\vec{j}+z(x^1+h,x^2,x^3)\vec{k} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧r 1=r +hg 1=[x(x1,x2,x3)+h∂x1∂x]i +[y(x1,x2,x3)+h∂x1∂y]j +[z(x1,x2,x3)+h∂x1∂z]k r 2=x(x1+h,x2,x3)i +y(x1+h,x2,x3)j +z(x1+h,x2,x3)k
当 h h h 为小量时，利用泰勒展开：
r ⃗ 2 = [ x ( x 1 , x 2 , x 3 ) + h ∂ x ∂ x 1 + o x ( h ) ] i ⃗ + [ y ( x 1 , x 2 , x 3 ) + h ∂ y ∂ x 1 + o y ( h ) ] j ⃗ + [ z ( x 1 , x 2 , x 3 ) + h ∂ z ∂ x 1 + o z ( h ) ] k ⃗ \vec{r}_2=\left[x(x^1,x^2,x^3)+h\dfrac{\partial x}{\partial x^1}+o_x(h)\right]\vec{i}+\left[y(x^1,x^2,x^3)+h\dfrac{\partial y}{\partial x^1}+o_y(h)\right]\vec{j}+\left[z(x^1,x^2,x^3)+h\dfrac{\partial z}{\partial x^1}+o_z(h)\right]\vec{k} r 2=[x(x1,x2,x3)+h∂x1∂x+ox(h)]i +[y(x1,x2,x3)+h∂x1∂y+oy(h)]j +[z(x1,x2,x3)+h∂x1∂z+oz(h)]k
则有
lim ⁡ h → 0 r ⃗ 2 − r ⃗ 1 h = 0 ⃗ ⟺ lim ⁡ h → 0 ∣ ∣ r ⃗ 2 − r ⃗ 1 ∣ ∣ ∣ h ∣ = 0 \lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{h}=\vec{0}\Longleftrightarrow\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{||\vec{r}_2-\vec{r}_1||}{|h|}=0 h→0limhr 2−r 1=0 ⟺h→0lim∣h∣∣∣r 2−r 1∣∣=0

张量场函数的微分为：
Φ ( r ⃗ ) [ d r ⃗ ] = d x i Φ ( r ⃗ ) [ g ⃗ i ] = d x i lim ⁡ h → 0 1 h [ Φ ( r ⃗ + h g ⃗ i ) − Φ ( r ⃗ ) ] \bold\Phi(\vec{r})[\ d\vec{r}\ ]=dx^i\bold\Phi(\vec{r})[\ \vec{g}_i\ ]=dx^i \lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\left[\bold\Phi(\vec{r}+h\vec{g}_i)-\bold\Phi(\vec{r})\right] Φ(r )[ dr ]=dxiΦ(r )[ g i ]=dxih→0limh1[Φ(r +hg i)−Φ(r )]
又
lim ⁡ h → 0 1 h [ Φ ( r ⃗ + h g ⃗ 1 ) − Φ ( r ⃗ ) ] = lim ⁡ h → 0 1 h [ Φ ( r ⃗ 1 ) − Φ ( r ⃗ ) ] = lim ⁡ h → 0 1 h { [ Φ ( r ⃗ 1 ) − Φ ( r ⃗ 2 ) ] + [ Φ ( r ⃗ 2 ) − Φ ( r ⃗ ) ] } ( ∗ ) \lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\left[\bold\Phi(\vec{r}+h\vec{g}_1)-\bold\Phi(\vec{r})\right] =\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\left[\bold\Phi(\vec{r}_1)-\bold\Phi(\vec{r})\right] =\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\left\{[\bold\Phi(\vec{r}_1)-\bold\Phi(\vec{r}_2)]+[\bold\Phi(\vec{r}_2)-\bold\Phi(\vec{r})]\right\}\quad(*) h→0limh1[Φ(r +hg 1)−Φ(r )]=h→0limh1[Φ(r 1)−Φ(r )]=h→0limh1{[Φ(r 1)−Φ(r 2)]+[Φ(r 2)−Φ(r )]}(∗)
若张量场函数 Φ ( r ⃗ ) \bold\Phi(\vec{r}) Φ(r ) 在 r ⃗ 1 \vec{r}_1 r 1 处可微，则
Φ ( r ⃗ 2 ) = Φ ( r ⃗ 1 ) + d Φ ( r ⃗ 1 ) d r ⃗ ⋅ ( r ⃗ 2 − r ⃗ 1 ) + o ( r ⃗ 2 − r ⃗ 1 ) \bold\Phi(\vec{r}_2)=\bold\Phi(\vec{r}_1)+\dfrac{d\bold\Phi(\vec{r}_1)}{d\vec{r}}\cdot(\vec{r}_2-\vec{r}_1)+o(\vec{r}_2-\vec{r}_1) Φ(r 2)=Φ(r 1)+dr dΦ(r 1)⋅(r 2−r 1)+o(r 2−r 1)
由于
lim ⁡ h → 0 ∣ ∣ o ( r ⃗ 2 − r ⃗ 1 ) ∣ ∣ h = lim ⁡ h → 0 ∣ ∣ o ( r ⃗ 2 − r ⃗ 1 ) ∣ ∣ ∣ ∣ r ⃗ 2 − r ⃗ 1 ∣ ∣ ∣ ∣ r ⃗ 2 − r ⃗ 1 ∣ ∣ h = 0 \lim_{h\rightarrow0}\frac{||o(\vec{r}_2-\vec{r}_1)||}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{||o(\vec{r}_2-\vec{r}_1)||}{||\vec{r}_2-\vec{r}_1||}\frac{||\vec{r}_2-\vec{r}_1||}{h}=0 h→0limh∣∣o(r 2−r 1)∣∣=h→0lim∣∣r 2−r 1∣∣∣∣o(r 2−r 1)∣∣h∣∣r 2−r 1∣∣=0
那么
lim ⁡ h → 0 1 h [ Φ ( r ⃗ 1 ) − Φ ( r ⃗ 2 ) ] = d Φ ( r ⃗ ) d r ⃗ ⋅ lim ⁡ h → 0 r ⃗ 2 − r ⃗ 1 h = 0 \lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}[\bold\Phi(\vec{r}_1)-\bold\Phi(\vec{r}_2)] =\dfrac{d\bold\Phi(\vec{r})}{d\vec{r}}\cdot\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{h}=0 h→0limh1[Φ(r 1)−Φ(r 2)]=dr dΦ(r )⋅h→0limhr 2−r 1=0
将上式代入 ( ∗ ) (*) (∗) 式得：
lim ⁡ h → 0 1 h [ Φ ( r ⃗ + h g ⃗ 1 ) − Φ ( r ⃗ ) ] = lim ⁡ h → 0 1 h [ Φ ( r ⃗ 2 ) − Φ ( r ⃗ ) ] = lim ⁡ h → 0 1 h [ Φ ( x 1 + h , x 2 , x 3 ) − Φ ( x 1 , x 2 , x 3 ) ] = ∂ Φ ∂ x 1 \lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\left[\bold\Phi(\vec{r}+h\vec{g}_1)-\bold\Phi(\vec{r})\right] =\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}[\bold\Phi(\vec{r}_2)-\bold\Phi(\vec{r})]=\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}[\bold\Phi(x^1+h,x^2,x^3)-\bold\Phi(x^1,x^2,x^3)]=\dfrac{\partial\bold\Phi}{\partial x^1} h→0limh1[Φ(r +hg 1)−Φ(r )]=h→0limh1[Φ(r 2)−Φ(r )]=h→0limh1[Φ(x1+h,x2,x3)−Φ(x1,x2,x3)]=∂x1∂Φ
同理可推知：
lim ⁡ h → 0 1 h [ Φ ( r ⃗ + h g ⃗ 2 ) − Φ ( r ⃗ ) ] = ∂ Φ ∂ x 2 lim ⁡ h → 0 1 h [ Φ ( r ⃗ + h g ⃗ 3 ) − Φ ( r ⃗ ) ] = ∂ Φ ∂ x 3 \lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\left[\bold\Phi(\vec{r}+h\vec{g}_2)-\bold\Phi(\vec{r})\right]=\dfrac{\partial\bold\Phi}{\partial x^2}\\\ \\ \lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\left[\bold\Phi(\vec{r}+h\vec{g}_3)-\bold\Phi(\vec{r})\right]=\dfrac{\partial\bold\Phi}{\partial x^3} h→0limh1[Φ(r +hg 2)−Φ(r )]=∂x2∂Φ h→0limh1[Φ(r +hg 3)−Φ(r )]=∂x3∂Φ
故，张量场的微分 可表示为：
Φ ( r ⃗ ) [ d r ⃗ ] = d x i Φ ( r ⃗ ) [ g ⃗ i ] = d x i ∂ Φ ∂ x i = ( ∂ Φ ∂ x i g ⃗ i ) ⋅ d r ⃗ = d r ⃗ ⋅ ( g ⃗ i ∂ Φ ∂ x i ) \bold\Phi(\vec{r})[\ d\vec{r}\ ]=dx^i\bold\Phi(\vec{r})[\ \vec{g}_i\ ]=dx^i\dfrac{\partial\bold\Phi}{\partial x^i}=\left(\dfrac{\partial\bold\Phi}{\partial x^i}\vec{g}^i\right)\cdot d\vec{r}=d\vec{r}\cdot\left(\vec{g}^i\dfrac{\partial\bold\Phi}{\partial x^i}\right) Φ(r )[ dr ]=dxiΦ(r )[ g i ]=dxi∂xi∂Φ=(∂xi∂Φg i)⋅dr =dr ⋅(g i∂xi∂Φ)
那么，张量场的左、右导数/梯度(s+1阶张量) 分别为：
d Φ d r ⃗ L = g ⃗ i ∂ Φ ∂ x i d Φ d r ⃗ R = ∂ Φ ∂ x i g ⃗ i \dfrac{d\bold\Phi}{d\vec{r}}_L=\vec{g}^i\dfrac{\partial\bold\Phi}{\partial x^i} \\\ \\ \dfrac{d\bold\Phi}{d\vec{r}}_R=\dfrac{\partial\bold\Phi}{\partial x^i}\vec{g}^i dr dΦL=g i∂xi∂Φ dr dΦR=∂xi∂Φg i
若引入哈密顿算子：
▽ ( ) = g ⃗ i ∂ ( ) ∂ x i ( ) ▽ = ∂ ( ) ∂ x i g ⃗ i \triangledown(\ )=\vec{g}^i\dfrac{\partial(\ )}{\partial x^i}\\\ \\ (\ )\triangledown=\dfrac{\partial(\ )}{\partial x^i}\vec{g}^i ▽( )=g i∂xi∂( ) ( )▽=∂xi∂( )g i
则
d Φ ≜ Φ ( r ⃗ ) [ d r ⃗ ] = d r ⃗ ⋅ ▽ ( Φ ) = ( Φ ) ▽ ⋅ d r ⃗ d\bold\Phi\triangleq\bold\Phi(\vec{r})[\ d\vec{r}\ ]=d\vec{r}\cdot\triangledown(\bold\Phi)=(\bold\Phi)\triangledown\cdot d\vec{r} dΦ≜Φ(r )[ dr ]=dr ⋅▽(Φ)=(Φ)▽⋅dr
根据定义可知：
(1) 当 Φ = ϕ \bold\Phi=\phi Φ=ϕ 为标量时,
▽ ϕ = ϕ ▽ \triangledown\phi=\phi\triangledown ▽ϕ=ϕ▽
(2) 当 Φ = f ⃗ \bold\Phi=\vec{f} Φ=f 为向量时,
▽ f ⃗ = ( f ⃗ ▽ ) T \triangledown\vec{f}=(\vec{f}\triangledown)^T ▽f =(f ▽)T

（十八）张量场函数对矢径的导数、梯度相关推荐

NeHe OpenGL第二十八课：贝塞尔曲面
NeHe OpenGL第二十八课:贝塞尔曲面贝塞尔曲面: 这是一课关于数学运算的,没有别的内容了.来,有信心就看看它吧. 贝塞尔曲面作者: David Nikdel ( ogapo@ithink. ...
无人驾驶汽车系统入门（二十八）——基于VoxelNet的激光雷达点云车辆检测及ROS实现
无人驾驶汽车系统入门(二十八)--基于VoxelNet的激光雷达点云车辆检测及ROS实现前文我们提到使用SqueezeSeg进行了三维点云的分割,由于采用的是SqueezeNet作为特征提取网络,该 ...
2008R2Win7管理二十八Mail之基本使用
2008R2Win7管理二十八Mail之基本使用上篇我们已经安装好了exchange2010,呵呵本片简单介绍和看下ex2010的基本界面和使用安装完成打开exchange控制台如图所示汗,有试 ...
微信小程序把玩（二十八）image组件
原文:微信小程序把玩(二十八)image组件 image组件也是一个程序不可缺少的,可以这样说一个app中image组件随处可以看到,一般 image有两种加载方式第一种是网络图片第二种是本地图片资源 ...
Citrix 服务器虚拟化之二十八 XenApp6.5发布文档内容
Citrix 服务器虚拟化之二十八 XenApp 6.5发布文档内容 XenApp可发布以下类型的资源向用户提供信息访问,这些资源可在服务器或桌面上虚拟化: 1) 服务器桌面:发布场中服务器的整个 ...
刘道成mysql视频教程_燕十八刘道成Mysql 系列视频教程 Mysql视频教程打包下载
课程名称燕十八刘道成Mysql 系列视频教程 Mysql视频教程打包下载课程介绍本教程完全从初学者的角度出发,循序渐进,逐步深入,确保每一位初学者能够理解和掌握,进而达到精通的程度,本套教程非常 ...
ugui 转轮_Unity3D研究院之Android NDK编译C/C++结合Unity实现本地数据共享（二十八）...
开始本篇文章之前我先为大家简单的介绍一下Android NDK编程的原理, 我们知道Android开发使用JAVA语言来编程它的运行效率要比C/C++低很多,为了让JAVA语言可以调用 C/C++ 这 ...
2018冬令营模拟测试赛（十八）
2018冬令营模拟测试赛(十八) [Problem A]Table 试题描述输入见"试题描述" 输出见"试题描述" 输入示例见"试题描述&qu ...
设计模式 ( 十八 ) 策略模式Strategy（对象行为型）
设计模式 ( 十八 ) 策略模式Strategy(对象行为型) 1.概述在软件开发中也经常遇到类似的情况,实现某一个功能有多种算法或者策略,我们能够依据环境或者条件的不同选择不同的算法或者策略来完毕 ...

（十八）张量场函数对矢径的导数、梯度

本文主要内容如下：

1. 张量场函数

2. 张量场函数的导数/梯度

（十八）张量场函数对矢径的导数、梯度相关推荐

最新文章

热门文章

（十 八）张量场函数对矢径的导数、梯度

本文主要内容如下：

1. 张量场函数

2. 张量场函数的导数/梯度

（十 八）张量场函数对矢径的导数、梯度相关推荐

最新文章

热门文章

（十八）张量场函数对矢径的导数、梯度

（十八）张量场函数对矢径的导数、梯度相关推荐