【高等数学】一、极限和连续
第一章 极限和连续
目录
- 第一章 极限和连续
- 一、极限定义和使用
- 二、极限性质
- 三、极限的计算
- 四、极限的存在性
- 具体型
- 抽象型
- 极限连续和间断
- 数列极限
- 数列存在性和计算
- 归结原则
- 定义法(先斩后奏)
- 单调有界准则(重要)
- 夹逼准则
- 数学归纳法
- 题型
- 函数和数列二合一
一、极限定义和使用
二、极限性质
Tips：求极限需要注意ex和arctanx这种左右极限不一致的函数
有界和连续的关系
- 若f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在闭区间上有界
- 若f(x)在开区间(a,b)内连续，并且极限 lim x → a + f ( x ) \lim_{x\to a^+}f(x) limx→a+f(x)和 lim x → a − f ( x ) \lim_{x\to a^-}f(x) limx→a−f(x)存在，则f(x)在开区间有界
极限的脱帽和戴帽
- lim x → a f ( x ) = A > 0 ⇒ f ( x ) > 0 ( x → a ) \lim_{x\to a}f(x)=A>0 \Rightarrow f(x)>0 (x\to a) limx→af(x)=A>0⇒f(x)>0(x→a)
- f ( x ) = 0 并且 lim x → a f ( x ) ⇒ A ≥ 0 f(x)=0 并且 \lim_{x\to a}f(x)\Rightarrow A\geq 0 f(x)=0并且limx→af(x)⇒A≥0
- lim x → a f ( x ) = A ⇒ f ( x ) = A + α \lim_{x\to a}f(x)=A \Rightarrow f(x)=A+\alpha limx→af(x)=A⇒f(x)=A+α
数列\函数收敛 ⟹ \implies ⟹数列\函数有界
三、极限的计算
对于极限一般分为两类：可计算的极限和不可计算的极限。可计算的极限一般考极限的运算方法。而不可计算的极限一般考极限的存在性，其推导性较强。
计算的类型：
一类： 0 0 \frac{0}{0} 00型， ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞型， ∞ ⋅ 0 \infty \cdot 0 ∞⋅0型：写成分数形式
二类： ∞ − ∞ \infty-\infty ∞−∞型：有分母则通分，无分母则造分母再通分
三类： 0 0 型 , 1 ∞ 型 0^0型, 1^\infty型 00型,1∞型：指数化
| 极限计算方法 |
|---|
| 化简：等价无穷小 |
| 恒等变形：提取公因式、换元、通分、指数化、常用公式、中值定理 |
| 洛必达法则 |
| 泰勒公式 |
tips:
- 出现极限存在且不为0的因式及时将其提出（尤其是ex等）
- 洛必达使用三个条件：(1)极限函数部分为 0 0 \frac{0}{0} 00或 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞者(2)分子分母均可导(3)结果为0，常数或者无穷
| 中值定理在极限求解中的应用： |
|---|
| 1. 见到f和f’的关系 ⇒ \Rightarrow ⇒拉格朗日中值定理、牛-莱公式 |
| 2. 见到 f − f ′ ⇒ f-f'\Rightarrow f−f′⇒拉格朗日中值定理 |
| 3. 见到 f f f和 f ( n ) ⇒ f^{(n)}\Rightarrow f(n)⇒泰勒公式 |
| 4. 见到 函数 积分 ⇒ \frac{函数}{积分}\Rightarrow 积分函数⇒积分中值定理 |
| 5. 见到抽象的 ∫ b a f ( x ) d x ⇒ \int_{b}^{a}f(x)dx\Rightarrow ∫baf(x)dx⇒积分中值定理 |
四、极限的存在性
具体型
洛必达失效，并不代表极限不存在，切换为夹逼准则再次尝试求极限。
抽象型
如果给出抽象函数求极限，一般都是采用单调有界准则
见到连续不等式 a < ξ < b a<\xi<b a<ξ<b需要想到拉格朗日中值定理
tip:拉格朗日和牛顿莱布尼茨公式是沟通f和f’的工具
极限连续和间断
间断点的两个分类
连续的判断：主要是使用 lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \lim_{x\to x0}f(x)=f(x_0) limx→x0f(x)=f(x0)证明连续，然后可以用 lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) \lim_{x\to x0}f(x)-f(x_0) limx→x0f(x)−f(x0)恒成立来证明该式
数列极限
| 方法 | |
|---|---|
| 归结原则(变量连续化) | |
| 定义法(先斩后奏) | |
| 单调有界准则 | |
| 夹逼准则 | |
| 数学归纳法 |
综合内容：倒数综合、积分综合、中值定理综合、方程综合、区间综合
tips:
- 最值是比较出来的
- 数列极限最好可以写前几项找规律
数列存在性和计算
归结原则
常考：
当 x → A x\to A x→A时，取 x n = 1 n x_n=\frac{1}{n} xn=n1，则在 lim x → 0 f ( x ) = A \lim_{x\to0}f(x)=A limx→0f(x)=A的情况下，有 lim n → ∞ f ( 1 n ) = A \lim_{n\to\infty}f(\frac{1}{n})=A limn→∞f(n1)=A
当 x n → a x_n\to a xn→a时，若 lim x → a f ( x ) = A \lim_{x\to a}f(x)=A limx→af(x)=A则 lim n → ∞ f ( x n ) = A \lim_{n\to \infty}f(x_n)=A limn→∞f(xn)=A
定义法(先斩后奏)
构造 ∣ x n − a ∣ |x_n-a| ∣xn−a∣证明 在 n → ∞ 时 x n − a → 0 ⇒ lim n → ∞ x n = a 在n\to\infty时x_n-a\to 0 \Rightarrow \lim_{n\to\infty}x_n=a 在n→∞时xn−a→0⇒limn→∞xn=a
单调有界准则(重要)
证明方法：
- 常用不等式
- 题目中的条件：
1.递推式(前后项化简)
夹逼准则
两种使用方法：
- 基本放缩法
无穷项相加： n ⋅ u m i n ≤ u 1 + u 2 + ⋯ + u n ≤ n ⋅ u m a x n\cdot u_{min}\leq u_1+u_2+\dots+u_n\leq n\cdot u_{max} n⋅umin≤u1+u2+⋯+un≤n⋅umax
有限项相加： u i ≥ 0 时， 1 ⋅ u m a x ≤ u 1 + u 2 + ⋯ + u k ≤ k ⋅ u m a x u_i\geq0时，1\cdot u_{max}\leq u_1+u_2+\dots+u_k\leq k\cdot u_{max} ui≥0时，1⋅umax≤u1+u2+⋯+uk≤k⋅umax - 题设条件推证
数学归纳法
- 自行寻找Xn和Xn-1项之间的递推
- 题目所给式子进行加减乘除进行地推，比如平方差、倍角、半角等(880 P6 14)
- 寻找前n项和的递推
tips：
- 可以试试取倒数然后裂项相消找数列项规律
题型
函数和数列二合一
在这种题型中，函数和数列是两个独立的变量，也就是数列极限中可能会含有函数自变量(880 P6 14)
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