第二章 74181中的先行进位问题

1、说明

图1图1图1

图2图2图2

注：图1中红色方框并不是输入项X和Y的全加器，即与图2中的全加器不相对应。

2、先行进位

在全加器中，输入项A、B、C_n+i，输出项为S、C_n+i+1

Cn+i+1=AiBi+BiCn+i+Cn+iAC_{n+i+1}=A_iB_i+B_iC_{n+i}+C_{n+i}ACn+i+1=AiBi+BiCn+i+Cn+iA

Cn+i+1=AiBi+(Ai+Bi)Cn+iC_{n+i+1}=A_iB_i+(A_i+B_i)C_{n+i}Cn+i+1=AiBi+(Ai+Bi)Cn+i

由全加器的真值表得，当输入取反时，输出也取反

Cn+i+1‾=Ai‾Bi‾+(Ai‾+Bi‾)Cn+i‾\overline {C_{n+i+1}}=\overline{A_i} \ \overline{B_i}+ (\overline{A_i}+ \overline{B_i}) \overline{C_{n+i}}Cn+i+1=Ai Bi+(Ai+Bi)Cn+i

Cn+i+1‾=Ai+Bi‾+AiBi‾∙Cn+i‾\overline{C_{n+i+1}}=\overline{A_i+B_i}+\overline{A_i B_i} \bullet \overline{C_{n+i}}Cn+i+1=Ai+Bi+AiBi∙Cn+i

Cn+i+1=Ai+Bi‾+AiBi‾∙Cn+i‾‾C_{n+i+1}=\overline{\overline{A_i+B_i}+\overline{A_i B_i} \bullet \overline{C_{n+i}}}Cn+i+1=Ai+Bi+AiBi∙Cn+i

记：

AiBi‾为Xi\overline{A_i B_i}为X_iAiBi为Xi

Ai+Bi‾为Yi\overline{A_i+B_i} 为Y_iAi+Bi为Yi

（注：74181中取S₀S₁S₂S₃＝1001时，X与Y的表达式即为上式。）

则

Cn+i+1=Yi+XiCn+i‾‾C_{n+i+1}=\overline{Y_i+X_i \overline{C_{n+i}}}Cn+i+1=Yi+XiCn+i

那么：

Cn+1=Y0+X0Cn‾‾C_{n+1}=\overline{Y_0+X_0 \overline{C_n}}Cn+1=Y0+X0Cn

Cn+2=Y1+X1Cn+1‾‾C_{n+2}=\overline{Y_1+X_1 \overline{C_{n+1}}}Cn+2=Y1+X1Cn+1

Cn+2=Y1+X1(Y0+X0Cn‾)‾C_{n+2}=\overline{Y_1+X_1 (Y_0+X_0 \overline{C_n})}Cn+2=Y1+X1(Y0+X0Cn)

Cn+2=Y1+Y0X1+X0X1Cn‾‾C_{n+2}=\overline{Y_1+ Y_0 X_1+X_0 X_1 \overline{C_n}}Cn+2=Y1+Y0X1+X0X1Cn

同理

Cn+3=Y2+Y1X2+Y0X1X2+X0X1X2Cn‾‾C_{n+3}=\overline{Y_2+ Y_1 X_2+Y_0 X_1 X_2+X_0 X_1 X_2 \overline{C_n}}Cn+3=Y2+Y1X2+Y0X1X2+X0X1X2Cn

Cn+4=Y3+Y2X3+Y1X2X3+Y0X1X2X3+X0X1X2X3Cn‾‾C_{n+4}=\overline{Y_3+ Y_2 X_3 +Y_1 X_2 X_3+Y_0 X_1 X_2 X_3+X_0 X_1 X_2 X_3 \overline{C_n}}Cn+4=Y3+Y2X3+Y1X2X3+Y0X1X2X3+X0X1X2X3Cn

记：

P=X0X1X2X3P=X_0 X_1 X_2 X_3P=X0X1X2X3

G=Y3+Y2X3+Y1X2X3+Y0X1X2X3G=Y_3+ Y_2 X_3 +Y_1 X_2 X_3+Y_0 X_1 X_2 X_3G=Y3+Y2X3+Y1X2X3+Y0X1X2X3

得：

Cn+4=G+PCn‾‾C_{n+4}=\overline{G+P\overline{C_n}}Cn+4=G+PCn

即：

Cn+4‾=G+PCn‾\overline{C_{n+4}}=G+P\overline{C_n}Cn+4=G+PCn

综上所述，可以看到，C_n+i+1与C_n+i之间在取非后存在先行进位关系。

常见的先行进位加法器（超前进位加法器）如下图所示

图3－注：图中X、Y对应原A、B；图中P、G对应原X、Y图3 －注：图中X、Y对应原A、B；图中P、G对应原X、Y图3－注：图中X、Y对应原A、B；图中P、G对应原X、Y

2、图1中的C_n+4

注：图1中P、G与上述内容中所定义不同，需按取反标记，即图1中C_n+4、P、G应标记成：

Cn+4、P‾、G‾C_{n+4}、\overline P 、\overline GCn+4、P、G

则：

Cn+4=P‾G‾+CnG‾‾C_{n+4}=\overline{\overline P \ \overline G +C_n \ \overline G}Cn+4=P G+Cn G

Cn+4=P‾G‾‾∙CnG‾‾C_{n+4}=\overline {\overline P \ \overline G} \bullet \overline{ C_n \overline G}Cn+4=P G∙CnG

Cn+4=(P+G)∙(Cn‾+G)C_{n+4}=(P+G) \bullet (\overline {C_n} +G)Cn+4=(P+G)∙(Cn+G)

Cn+4=PCn‾+PG+GCn‾+GC_{n+4}=P\overline {C_n} + PG+G\overline {C_n}+GCn+4=PCn+PG+GCn+G

Cn+4=G+PCn‾C_{n+4}=G+ P\overline {C_n}Cn+4=G+PCn

3、图1中的更正