线性方程组之二：三元一次方程组

上回讲到二元一次方程组的解法, 一个自然的问题是如何把它推广到更高维度, 比如三元一次方程组怎么解? $n$元一次方程组怎么解? 这节先来回答第一个问题.

考虑三元一次方程组
\[
\left\{
\begin{split}
&x+y+z=6\\
&x+2y-z=2\\
&2x+3y-2z=2
\end{split}
\right..
\]
我们先来尝试加减消元法, 我们假设第一行乘以$a$, 第二行乘以$b$, 第三行乘以$c$, 然后相加. 得到
$$(a+b+2c)x+(a+2b+3c)y+(a-b-2c)z=6a+2b+2c.$$

为了消去$y,z$, 需要满足
\[
\left\{
\begin{split}
&a+2b+3c=0\\
&a-b-2c=0
\end{split}
\right..
\]
为了求出$x$, 需要先解另外一个三元一次方程组, 为了求出$y,z$, 还要再解另外两个三元一次方程组, 似乎这条路很麻烦. 而且要求的$a,b,c$似乎看不出什么规律. 其实还是有规律可循的, 这里暂且按下不表.

那么我们再来看看代入消元法. 把第一个方程中的$x$用$y,z$表示, 代入第二个方程, 可得
$$6-y-z+2y-z=2\Leftrightarrow (2-1)y+(-1-1)z=2-6.$$
本质上相当于第一个方程乘以$-1$加到第二个方程上, 同样的道理, 将第一个方程代入第三个方程本质上相当于第一个方程乘以$-2$加到第三个方程上. 所以得到
\[
\left\{
\begin{split}
&x+y+z=6\\
&0+y-2z=-4\\
&0+y-4z=-10
\end{split}
\right..
\]
然后将第二个方程代入第三个方程, 本质上相当于第二个方程乘以$-1$加到第三个方程上, 得到
\[
\left\{
\begin{split}
&x+y+z=6\\
&0+y-2z=-4\\
&0+0-2z=-6
\end{split}
\right..
\]
然后第三个方程可以解出$z=3$, 代入第二个方程得到$y=2$, 再代入第一个方程得到$x=1$. 这样就解出了方程组.

上面的方法在数学上称为高斯消去法, 对多元线性方程组也适用. 这种在某一行乘以一个数再加到另外一行的技巧叫做第三类初等变换, 以后还会继续用到.

线性方程组之二：三元一次方程组相关推荐

c语言程序用追赶法求解方程组,编写用追赶法解三对角线性方程组的程序,并解下列方程组（3页）-原创力文档...
计算方法与实习上机实验(二) 实验名称: 编写用追赶法解三对角线性方程组的程序,并解下列方程组: (1) (2)Ax=b,其中 A10×10=, b10×1= 程序代码: #include using ...
c语言编程解三元一次方程组,三元一次方程组的解是 [] A.B.C.D
三元一次方程: 含有三种不同字母构成的方程,并且含有未知数的项的次数是1的整式方程,一般有三条三元一次方程才能解出未知数的解,我们那这种方程叫三元一次方程,如x+y-z=1,2a-3b+c=0等都是三 ...
c语言程序用追赶法求解方程组,编写用追赶法解三对角线性方程组的程序,并解下列方程组...
计算方法与实习上机实验(二) 实验名称: 编写用追赶法解三对角线性方程组的程序,并解下列方程组: 2x1 x2 5, x 2x x 12, 123(1) x 2x x 11,34 2 x3 2x4 1 ...
三元一次方程组步骤_[七年级网上课堂]8.4 三元一次方程组
8.4三元一次方程组教学目标: 1.了解三元一次方程组的概念. 2.能解三元一次方程组,在解的过程中进一步体会"消元"思想. 教学重点: 会用消元法解三元一次方程组. 授课教师简 ...
线性代数学习笔记（二十九）——方程组解的结构（一）
停更2年多了,做事得有始有终,继续更新... 本篇笔记回顾了线性方程组解的三种情况,并讨论了齐次线性方程组解的结构,并介绍了齐次线性方程组解的相关性质.其中重点讨论了基础解系定义,以及基础解系的求法和 ...
解三元一次方程组的计算机,解三元一次方程组
三元一次方程组解法主要的解法就是加减消元法和代入消元法,通常采用加减消元法,若方程难解就用代入消元法,因题而异.其思路都是利用消元法逐步消元. 三元一次方程组的应用三元一次方程简单应用 {x+2 ...
如何使用Python求解三元一次方程组？（附源码）
Python自学_04 一. 需要做的前期准备环境配置: Python版本:3.9.0 功能包:sympy(1.8) 一个用的顺手的IDE(本人推荐Pycharm) 二. 源码如下这里要计算的三元 ...
matlab solve函数计算三元一次方程组
Matlab solve函数计算三元一次方程组 %matlab代码 clc; clear; Lambda = 0.0001; %失效率 Mu = 2; %修复率 syms p0 p1 p2; %定义三 ...
线性方程组（二）- 行简化与阶梯形矩阵
小结阶梯形(或简化阶梯形)矩阵的定义主元位置的定义行化简算法的定义应用行化简算法解线性方程组行化简与阶梯形矩阵矩阵中非零行或列指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列.非零行的先导元素是指该行 ...

线性方程组之二：三元一次方程组

线性方程组之二：三元一次方程组相关推荐

最新文章

热门文章