在三维空间简单媒质中电磁源（J,Jm）（\mathbf{J},\mathbf{J_m}）（J,Jm​）产生的电磁场问题

简单媒质： 线性、均匀、各向同性，参数为（μ,ϵ）（\mu,\epsilon）（μ,ϵ）。

形状任意的电流源、磁流源就是天线，ooo点就是作为数学分析的坐标原点，现在在rrr观察点接收，我们需要观察点处的电场分布情况——天线远场方向图。方向图其实就是天线在远场产生的电场分布表达式中，仅与方向 θ,ϕ\theta,\phiθ,ϕ 有关的分量。

仅电流源（J≠0,Jm=0）（\mathbf{J}\neq 0,\mathbf{J_m}=0）（J=0,Jm​=0）存在时的麦克斯韦方程组

∇×H=J+jωϵE∇×E=−jωμH∇⋅H=0∇⋅E=ρ/ϵ\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}+j\omega\epsilon\mathbf{E}\\ \nabla\times\mathbf{E}=-j\omega\mu\mathbf{H}\\ \nabla\cdot\mathbf{H}=0\\ \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon ∇×H=J+jωϵE∇×E=−jωμH∇⋅H=0∇⋅E=ρ/ϵ

仅磁流源（J=0,Jm≠0）（\mathbf{J}=0,\mathbf{J_m}\neq 0）（J=0,Jm​=0）存在时的麦克斯韦方程组

根据电磁对偶原理，进行如下替换 E→H\mathbf{E}\to \mathbf{H}E→H，H→−E\mathbf{H}\to -\mathbf{E}H→−E，ρ→ρm\rho\to\rho_mρ→ρm​，ϵ↔μ\epsilon\leftrightarrow\muϵ↔μ，J↔Jm\mathbf{J}\leftrightarrow\mathbf{J_m}J↔Jm​得到
∇×E=−Jm−jωϵH∇×H=jωϵE∇⋅E=0∇⋅H=ρm/ϵ\nabla\times\mathbf{E}=-\mathbf{J_m}-j\omega\epsilon\mathbf{H}\\ \nabla\times\mathbf{H}=j\omega\epsilon\mathbf{E}\\ \nabla\cdot\mathbf{E}=0\\ \nabla\cdot\mathbf{H}=\rho_m/\epsilon ∇×E=−Jm​−jωϵH∇×H=jωϵE∇⋅E=0∇⋅H=ρm​/ϵ
理想电导体（金属天线）、磁导体（口径场）的表面电磁流分布：
n^×H=Jsn^×E=−Jms\hat{n}\times\mathbf{H}=\mathbf{J_{s}}\\ \hat{n}\times\mathbf{E}=-\mathbf{J_{ms}}n^×H=Js​n^×E=−Jms​

电磁流源（J≠0,Jm≠0）（\mathbf{J}\neq 0,\mathbf{J_m}\neq 0）（J=0,Jm​=0）都存在情况下的完全解

引入电、磁矢位便于求解总场
H=∇×AE=−∇×F\mathbf{H}=\nabla\times \mathbf{A}\\ \mathbf{E}=-\nabla\times \mathbf{F} H=∇×AE=−∇×F
得到位函数的波动方程
(∇2+k2)A=−J(∇2+k2)F=−Jm\begin{array}{l} (\nabla^2+k^2) \mathbf{A}=-\mathbf{J}\\ (\nabla^2+k^2) \mathbf{F}=-\mathbf{J}_m \end{array} (∇2+k2)A=−J(∇2+k2)F=−Jm​​
在洛伦兹规范下仅用位函数就可表达电场
E(r)=−jωμ(A+1k2∇∇⋅A)−∇×F\mathbf{E}(\mathbf{r})=-j\omega\mu(\mathbf{A}+\frac{1}{k^2}\nabla\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla\times\mathbf{F}E(r)=−jωμ(A+k21​∇∇⋅A)−∇×F

其中
A=∫VG(r/r′)J(r′)dv′G(r/r′)=e−jk∣r−r′∣4π∣r−r′∣\mathbf{A}=\int_VG(\mathbf{r}/\mathbf{r'})\mathbf{J}(\mathbf{r'})dv'\\ G(\mathbf{r}/\mathbf{r'})=\frac{e^{-jk\mid\mathbf{r}-\mathbf{r'} \mid}}{4\pi\mid\mathbf{r}-\mathbf{r'} \mid } A=∫V​G(r/r′)J(r′)dv′G(r/r′)=4π∣r−r′∣e−jk∣r−r′∣​
远场情况下，忽略o(r−1)o(r^{-1})o(r−1)项，可有以下近似

1. ∇→−jkr^\nabla\rightarrow-jk\hat{\mathbf{r}}∇→−jkr^
2. ∣r−r′∣≈r\mid\mathbf{r}-\mathbf{r'} \mid\approx r∣r−r′∣≈r 幅度近似
3. ∣r−r′∣≈r−r^⋅r′\mid\mathbf{r}-\mathbf{r'} \mid\approx r-\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r'}∣r−r′∣≈r−r^⋅r′ 相位近似

最终得到远场的电磁场表达式为
E(r)=ZA(k)e−jkrrH(r)=Yk^×A(k)e−jkrr\mathbf{E}(\mathbf{r})=\sqrt{Z}\mathbf{A}(\mathbf{k})\frac{e^{-jkr}}{r}\\ \mathbf{H}(\mathbf{r})=\sqrt{Y}\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{A}(\mathbf{k})\frac{e^{-jkr}}{r} E(r)=Z​A(k)re−jkr​H(r)=Y​k^×A(k)re−jkr​
其中Z=μ/ϵZ=\sqrt{\mu/\epsilon}Z=μ/ϵ​为媒质波阻抗，幅度矢量A(k)\mathbf{A}(\mathbf{k})A(k)
A(k)=k4πj∫V[Z(I~−r^r^)⋅J(r′)+YJm(r′)×r^]ejk⋅r′dv′\mathbf{A}(\mathbf{k})=\frac{k}{4\pi j}\int_V[\sqrt{Z}(\tilde{\mathbf{I}}-\hat{\mathbf{r}}\hat{\mathbf{r}})\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r}')+\sqrt{Y}\mathbf{J}_m(\mathbf{r}')\times\hat{\mathbf{r}}]e^{j\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}'}dv' A(k)=4πjk​∫V​[Z​(I~−r^r^)⋅J(r′)+Y​Jm​(r′)×r^]ejk⋅r′dv′
分布于有限区域的场源产生的远区电磁场为TEM波，电场、磁场和传播方向三者互相垂直，整体为球面波，局部为平面波。

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