随机信号的模型建立

为随机信号建立参数模型是研究随机信号的一种基本方法，其含义是认为随机信号x(n)是由白噪w(n)激励某一确定系统的响应（如图 7.5）。只要白噪的参数确定了，研究随机信号就可以转化成研究产生随机信号的系统。

AR模型

（自回归模型 Auto-regression model）
随机信号由本身的若干次过去值 ) ( n x ) ( k n x − 和当前的激励值线性组合产生：

该模型的系统函数是：

p 是系统阶数，系统函数中只有极点，无零点，也称为全极点模型，系统由于极点的原因，要考虑到系统的稳定性，因而要注意极点的分布位置，用 AR（ p ）来表示。

AR模型参数的估计

AR模型和自相关函数的关系

所以只要已知输出平稳随机信号的自相关函数，就能求出 AR 模型中的参数a{k}，并且需要的观测数据较少。

举例

已知自回归信号模型 AR（3）为：

a.已知模型参数a{k}求自相关序列

列方程：

b.已知自相关序列值，估计模型参数a{k}及输入的白噪声方差大小

可以发现对 AR 模型参数是无失真的估计，因为已知 AR 模型，我们可以得到完全的输出观测值，因而求得的自相关函数没有失真，当然也就可以不失真的估计。

c.用仿真出的32点观测值x(n)估计模型参数a{k}以及输入的白噪声方差的大小

先求自相关序列：

把头 4 个相关序列值代入矩阵求得估计值：

与真实 AR 模型参数误差为：e1＝0.1151，e2＝0.1002,e3＝0.0498，原因在于我们只有一部分的观测数据，使得自相关序列值与理想的完全不同。
输入信号的方差误差比较大： e＝0.5322，造成的原因比较多，计算机仿真的白噪声由于只有 32 点长，32 点序列的方差不可能刚好等于 1。
给出一段观测值求 AR 模型参数这样直接解方程组，当阶数越高时直接解方程组计算就越复杂，因而要用特殊的算法使得计算量减小且精确度高。

Y-W方程的解法——L-D算法

在求解上面例子时要得到更精确的估计值，就要建立更高阶的 AR 模型，直接用观测值的自相关序列来求解 Y-W 方程计算量太大。因此把 AR 模型和预测系统联系起来，换个方法来估计 AR 参数。
从 AR 模型的时域表达式我们知道模型的当前输出值与它过去的输出值有关。预测是推断一个给定序列的未来值，即利用信号前后的相关性来估计未来的信号值。
若序列的模型已知而用过去观测的数据来推求现在和将来的数据称为前向预测器，表示为：

式中 {a(k)},k＝1，2，…，m，代表 m 阶预测器的预测系数，负号是为了与技术文献保持一致。显然预测出来的结果与真实的结果存在预测误差或前向预测误差，设误差为：

假如 m＝p，且预测系数和 AR 模型参数相同，即有 w(n)=e(n)，即前向预测误差系统中的输入为x(n) ，输出为预测误差等于白噪声。也就是说前向预测误差系统对观测信号起了白化的作用。由于 AR 模型和前向预测误差系统有着密切的关系，两者的系统函数互为倒数，所以求 AR 模型参数就可以通过求预测误差系统的预测系数来实现。

求预测误差均方值：

要使得均方误差最小，将上式右边对预测系数求偏导并且等于零，得到 m 个等式：

代入上式求得最小误差：

也就是 p 阶预测器的预测系数等于 p 阶 AR 模型的参数，由于e(n)=w(n)，所以最小均方预测误差等于白噪声方差，即

这样递推下去可以得到预测系数和均方误差估计的通式：

L-D 算法的优点就是计算速度快，求得的 AR 模型必定稳定，且均方预测误差随着阶次的增加而减小。
L-D 算法的缺点，由于在求自相关序列时，是假设除了观测值之外的数据都为零，必然会引入较大误差。

L-D算法matlab实现

Matlab 有专门的函数实现 L-D 算法的 AR 模型参数估计：[a E]＝aryule（x，p），输入 x表示观测信号，输入 p 表示要求的阶数，输出 a 表示估计的模型参数，e 表示噪声信号的方差估计

%输入x(n)
xn=[0.4282 1.1454 1.5597 1.8994 1.6854 2.3075 2.4679 1.9790 1.6063 1.2804 -0.2083 0.0577 0.0206 0.3572 1.6572 0.7488 1.6666 1.9830 2.6914 1.2521 1.8691 1.6855 0.6242 0.1763 1.3490 0.6955 1.2941 1.0475 0.4319 0.0312 0.5802 -0.6177];
%初始化
p=3;
[a,E]=aryule(xn,p)

输出结果：

更高阶次：

%输入x(n)
xn=[0.4282 1.1454 1.5597 1.8994 1.6854 2.3075 2.4679 1.9790 1.6063 1.2804 -0.2083 0.0577 0.0206 0.3572 1.6572 0.7488 1.6666 1.9830 2.6914 1.2521 1.8691 1.6855 0.6242 0.1763 1.3490 0.6955 1.2941 1.0475 0.4319 0.0312 0.5802 -0.6177];
%初始化
p=8;
[a,E]=aryule(xn,p)

输出结果：

burg算法

为了克服 L-D 算法导致的误差，1968 年 Burg 提出了 Burg 算法，其基本思想是对观测的数据进行前向和后向预测，然后让两者的均方误差之和为最小作为估计的准则估计处反射系数，进而通过 L-D 算法的递推公式求出 AR 模型参数。
Burg 算法的优点是，求得的 AR模型是稳定的，较高的计算效率，但递推还是用的 L-D 算法，因此仍然存在明显的缺点。
Matlab 中有专门的函数实现 Burg 算法的 AR 模型参数估计：[a E]＝arburg（x，p）。

%输入x(n)
xn=[0.4282 1.1454 1.5597 1.8994 1.6854 2.3075 2.4679 1.9790 1.6063 1.2804 -0.2083 0.0577 0.0206 0.3572 1.6572 0.7488 1.6666 1.9830 2.6914 1.2521 1.8691 1.6855 0.6242 0.1763 1.3490 0.6955 1.2941 1.0475 0.4319 0.0312 0.5802 -0.6177];
%初始化
p=3;
[a,E]=arburg(xn,p)

输出结果：

高阶：

%输入x(n)
xn=[0.4282 1.1454 1.5597 1.8994 1.6854 2.3075 2.4679 1.9790 1.6063 1.2804 -0.2083 0.0577 0.0206 0.3572 1.6572 0.7488 1.6666 1.9830 2.6914 1.2521 1.8691 1.6855 0.6242 0.1763 1.3490 0.6955 1.2941 1.0475 0.4319 0.0312 0.5802 -0.6177];
%初始化
p=10;
[a,E]=arburg(xn,p)