题目

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分析

我们不妨来考虑一下生成的序列有什么性质。
为了方便表示，我们将序列 S S S的第 i i i项写为 S [ i ] S[i] S[i]。
首先考虑如果所有的 A A A序列都是递增的，那么我们得到的序列肯定是递增的。如果存在递减的情况，例如其中某个序列 B ∈ { A 1 , A 2 , … , A n } B\in\{A_1,A_2,\dots,A_n\} B∈{A1,A2,…,An}，存在 B [ 1 ] > B [ 2 ] B[1]>B[2] B[1]>B[2]。那么按照取数规则，我们一旦取出了 B [ 1 ] B[1] B[1]，我们就一定会取出 B [ 2 ] B[2] B[2]。这个比较显然。这是因为 B [ 1 ] B[1] B[1]被取出的时候，其他所有序列的第一个元素肯定都大于 B [ 1 ] B[1] B[1]，因此也肯定大于 B [ 2 ] B[2] B[2]。
我们发现只要序列中存在 B [ 1 ] > B [ 2 ] B[1]>B[2] B[1]>B[2]或者 B [ 2 ] > B [ 3 ] B[2]>B[3] B[2]>B[3]，这两个数就会被相邻地取出；如果存在 B [ 1 ] > B [ 2 ] B[1]>B[2] B[1]>B[2]且 B [ 1 ] > B [ 3 ] B[1]>B[3] B[1]>B[3]，这三个数也会被相邻取出。我们将这种必然相邻取出的情况分进一个组里面。
注意到组只会有长度为 1 ，长度为 2 ，长度为 3 三种，而且由于一个长度为 2 的组一定和一个长度为 1 的组成对出现，因此长度为 2 的组的数量一定不超过长度为 1 的组的数量。
我们可以发现，这样的组在构造的过程中，一定会按照组的第一个元素的大小进行排序构造出一个排列来。因此，一些组如果合法，就可以唯一确定一个排列。因此，我们可以通过计算组的合法构造方案来计算可生成的排列方案数。
我们有两种方法来解决这个问题：

1.DP

我们需要将 [ 1 , 3 n ] [1,3n] [1,3n]划分成若干组，限制如下：
1. 每一组的长度不超过3。
2. 每一组的第一个数一定是这一组中最大的。
3. 长度为 2 的组的数量不超过长度为 1 的组的数量。
因此我们可以设计如下的 DP 方案：
f ( i , j ) f(i,j) f(i,j)：前 i i i个数分组，满足长度为 1 的组的数量减去长度为 2 的组的数量为 j j j的方案数。
转移实际上是考虑最后一个数会怎样分组。转移如下：
f ( i , j ) = f ( i − 1 , j − 1 ) + ( i − 1 ) f ( i − 2 , j + 1 ) + ( i − 1 ) ( i − 2 ) f ( i − 3 , j ) f(i,j)=f(i-1,j-1)+(i-1)f(i-2,j+1)+(i-1)(i-2)f(i-3,j) f(i,j)=f(i−1,j−1)+(i−1)f(i−2,j+1)+(i−1)(i−2)f(i−3,j)
答案是 ∑ i = 0 3 n f ( 3 n , i ) \sum_{i=0}^{3n}f(3n,i) ∑i=03nf(3n,i)。 DP 的时间是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。

2.枚举

这其实是我自己口胡的。
建议写第一种方法。
由于 n n n很小，我们可以直接枚举长度为 2 的组的数量和长度为 3 的组的数量（需要满足长度为 2 的组的数量不超过长度为 1 的数量这一前提）。设 f ( n ) f(n) f(n)为 2 n 2n 2n个数全部分为长度为 2 的组的方案数。转移大概如下：
f ( n ) = f ( n − 1 ) + ( 2 n − 2 ) ( 2 n − 3 ) f ( n − 2 ) f(n)=f(n-1)+(2n-2)(2n-3)f(n-2) f(n)=f(n−1)+(2n−2)(2n−3)f(n−2)
g ( n ) g(n) g(n)为 3 n 3n 3n个数全部分为长度为 3 的组的方案数，转移类似。这样预处理完之后就可以枚举组的数量了。答案：
∑ i = 0 ⌊ 3 n 2 ⌋ ∑ j = 0 ⌊ 3 n − 2 i 3 ⌋ [ 3 n − 2 i − 3 j ≥ 2 i ] C 3 n 2 i × C 3 n − 2 i 3 j × f ( i ) × g ( j ) \sum_{i=0}^{\lfloor\frac {3n}2\rfloor}\sum_{j=0}^{\lfloor\frac{3n-2i}3\rfloor}[3n-2i-3j\ge2i]C_{3n}^{2i}\times C_{3n-2i}^{3j}\times f(i)\times g(j) i=0∑⌊23n⌋j=0∑⌊33n−2i⌋[3n−2i−3j≥2i]C3n2i×C3n−2i3j×f(i)×g(j)
时间是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
如果有问题请轻喷，我也没有试过这个方法。

代码

#include <cstdio>const int MAXN = 6005;template<typename _T>
void read( _T &x )
{x = 0;char s = getchar();int f = 1;while( s > '9' || s < '0' ){if( s == '-' ) f = -1; s = getchar();}while( s >= '0' && s <= '9' ){x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar();}x *= f;
}template<typename _T>
void write( _T x )
{if( x < 0 ){ putchar( '-' ); x = ( ~ x ) + 1; }if( 9 < x ){ write( x / 10 ); }putchar( x % 10 + '0' );
}int f[MAXN][MAXN << 1];
int N, M;void add( int &x, const int v ) { x += v; if( x >= M ) x -= M; }int main()
{read( N ), read( M );int t = N * 3;f[0][t] = 1;for( int i = 1 ; i <= t ; i ++ )for( int j = - t ; j <= t ; j ++ ){if( j > -t ) add( f[i][j + t], f[i - 1][j + t - 1] ); //长度为1if( j < t && i >= 2 ) add( f[i][j + t], 1ll * f[i - 2][j + t + 1] * ( i - 1 ) % M ); //长度为2if( i >= 3 ) add( f[i][j + t], 1ll * f[i - 3][j + t] * ( i - 1 ) % M * ( i - 2 ) % M ); //长度为3 }int ans = 0;for( int i = 0 ; i <= t ; i ++ ) add( ans, f[t][i + t] );write( ans ), putchar( '\n' );return 0;
}

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[AGC043-B]Merge Triplets

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