回溯算法

回溯利用递归的性质，从问题的起始点出发，不断地进行尝试，回头一步甚至多步再做选择，直到最终抵达终点的过程。回溯解决问题的所有选项可以形象的用树状结构表示，每一条路径path就是一个栈；
树结构的深度优先搜索（DFS）的过程就是回溯，回溯到上一层时通过状态重置的思路实现；
回溯算法说白了就是穷举法的升级版。搜索过程中使用剪枝函数，剪去一些不可能到达最终状态的节点，从而减少状态空间树节点的生成，提高了效率；
使用场景：要求在二维数组中（可能具体表现为迷宫或者棋盘等）上搜索路径，一般用递归实现；

回溯解题模板（C++）

function backtrack(n, used) {   //used用来判断这个数之前有没有选择过// 第一步：判断输入或者状态是否非法if (input/state is invalid) {return;}// 第二步：判读递归是否应当结束，满足结束条件就保存当前结果并返回if (match condition) {return some value;}// 遍历当前所有可能出现的情况for (all possible cases) {// 第三步：尝试下一步的可能性。如果上一步尝试会影响下一步尝试，需要写入状态used.push(case)// 递归进行下一步尝试，搜索该子树result = backtrack(n + 1, used)// 第四步：尝试完毕，状态重置，回溯到上一步used.pop(case)}
}

经典例题

leetcode17. 电话号码的字母组合

class Solution:def letterCombinations(self, digits: str) -> List[str]:phone = {'2': ['a', 'b', 'c'],'3': ['d', 'e', 'f'],'4': ['g', 'h', 'i'],'5': ['j', 'k', 'l'],'6': ['m', 'n', 'o'],'7': ['p', 'q', 'r', 's'],'8': ['t', 'u', 'v'],'9': ['w', 'x', 'y', 'z']}"""回溯函数：先递归入栈（每次调用自身函数，操作系统都会把当时函数参数等信息暂时压入栈中），再出栈（递归终止条件时出栈，再重新使用当时的参数）。后进先出。next_digits为接下来要准备输入的数字，combination为已经产生的组合"""def backtrack(combination, next_digits): if len(next_digits) == 0:  #如果没有更多数字需要输入，说明组合已经完成（递归终止条件）output.append(combination)else:                      #如果还有数字需要被输入，遍历下一个数字所有映射的字母for letter in phone[next_digits[0]]:backtrack(combination + letter, next_digits[1:])#核心部分！！！将当前的字母添加到组合的最后，即combination+letter，并转到下一个数字output = []if digits:  #递归终止条件backtrack("", digits) #combination初始值为空字符串return output

leetcode46.全排列

class Solution:def permute(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:""":type nums: List[int]:rtype: List[List[int]]"""def backtrack(first = 0):  #first:第几个位置；i：待填数的下标if first == n:  #说明已经填完了n个数字，找到一个可行解放入答案组中（递归结束条件）res.append(nums[:])for i in range(first, n):nums[first], nums[i] = nums[i], nums[first]#将nums划分为左右两个部分，左边表示已填过数，右边表示待填的数，递归搜索时我们动态维护这个数组backtrack(first + 1)  #继续递归填下一个数nums[first], nums[i] = nums[i], nums[first] #撤销之前填的数（即回溯）n = len(nums) #输入序列长度res = []      #输出结果backtrack()return res  #测试用print

leetcode39.组合总和

from typing import List
class Solution:def combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:size = len(candidates)if size == 0:return []# 剪枝是为了提速，在本题非必需candidates.sort()# 在遍历的过程中记录路径，它是一个栈path = []res = []# 注意要传入 size ，在 range 中， size 取不到self.__dfs(candidates, 0, size, path, res, target)return resdef __dfs(self, candidates, begin, size, path, res, target):# 先写递归终止的情况if target == 0:# Python 中可变对象是引用传递，因此需要将当前 path 里的值拷贝出来# 或者使用 path.copy()res.append(path[:])returnfor index in range(begin, size):residue = target - candidates[index]# “剪枝”操作，不必递归到下一层，并且后面的分支也不必执行if residue < 0:breakpath.append(candidates[index])# 因为下一层不能比上一层还小，起始索引还从 index 开始self.__dfs(candidates, index, size, path, res, residue)path.pop()

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