硬件知识（二）无源RC二阶滤波电路

二阶RC滤波电路就是有两套RC器件的滤波电路，高阶的滤波电路通常会增加滤波质量，个别情况需具体问题具体分析。

首先我们需要写出二阶滤波电路的传递函数

$\frac{Uo}{Ui}=\frac{\frac{1}{SC}//(R+\frac{1}{SC}))}{R+\frac{1}{SC}//(R+\frac{1}{SC}))}\cdot \frac{\frac{1}{SC}}{R+\frac{1}{SC}}$

$S=jw$

此公式的核心思想就是电压的传递，从Ui到两个R之间的电压点Umid，相当于Ui的电压被R和右边的三个器件组成的模块分压（电容C并联上电阻R与电容C的串联），之后Umid传递到Uo，就只为R与C的分压。传递函数最终简化为

$\frac{Uo}{Ui}=\frac{1}{R^{2}C^{2}S^{2}+3RCS+1}$

我们在利用二阶滤波电路的时候依然可以用第一级的RC来计算截至频率，因为它可以被看作是主极点，之后以20dB每十倍频衰减，直到到达下一个极点，并开始以40dB每十倍频衰减。在这里需要强调的是，滤波并不是将频率以外的波形全部滤掉，他是将频率外的波形以倍数进行减少，如果一个波形的幅值为1，那么我使他衰减100倍他就近似不存在了，但其实他还有残余，只不过不影响整个系统。

之后可以继续我们的滤波任务了，假设需要滤掉小于10us时间宽度的方波，我们应该怎么做？

理论上来看，我们需要将有用的信号保留在滤波电路幅频特性曲线的左下方，将需要保留的信号包住，不需要的噪声隔离在曲线外，因此我们在得知滤波电路的幅频特性曲线时，还需要得到需保留波形的幅频曲线。

那么，我们需要根据拉普拉斯变换将这时域曲线转换成频域曲线。

拉普拉斯公式为

$F\left ( s \right )=\int \binom{\infty }{0}f\left ( t \right )e^{-st}dt$

假设10us方波信号幅值为1，代入条件得到

$F\left ( s \right )=\int \binom{T }{0}1\cdot e^{-st}dt=\frac{1}{s}\left ( 1-e^{-sT} \right )$

通过欧拉公式得

$F\left ( jw \right )=\frac{1}{jw}\left ( 1-coswT+jsinwT \right )$

将公式取模得

$\left | F\left ( jw \right ) \right |=\frac{1}{w}\sqrt{\left ( 1-coswT \right )^{2}+sin^{2}wT}$

展开并通过倍角公式得

$\left | F\left ( jw \right ) \right |=\frac{2}{w}sin\frac{wT}{2}=\frac{sin\frac{wT}{2}}{\frac{w}{2}}$

其中T=10us， $\frac{wT}{2}=n\pi$ 可得 $f=\frac{n}{T}=100k*n$

那么根据 $sinx/x$ 的函数图像我们可以画出大致的趋势

左边平面无意义我们看右边，大部分的能量分布在100KHZ以内，从理论上来说，我们要保留他，就需要滤波电路的幅频曲线包住他，高阶滤波电路相比一阶来说，就是为了去拟合一个近似与保留曲线相同的曲线，因此我们选择滤波电路的第一极点的时候并不是选100KHZ而是小于这个值，可以选择50KHZ甚至20KHZ也可以，通过两个或者更多的极点使其达到滤波效果。之后得到了极点频率，就可以分配RC网络的具体数值了，同样可以利用RC滤波器截止频率在线计算器_RC高通滤波器截止频率_RC低通滤波器截止频率_RC截止频率计算器 - 电子发烧友(www.elecfans.com) 网站中的公式来计算，但是要注意，二阶电路的理论设计仅仅只能做为一个大概的参考，具体能不能滤掉小于10us宽度的方波还需要利用仿真器进一步的验证，理论设计只是防止大家大海捞针。

这就是关于无源二阶RC滤波电路的描述，同时给了一个具体实例并进行了理论设计。滤波器这一块后续有时间会加入RC有源滤波电路，不过也只是在于简单的计算与科普，因为在芯片级中有源滤波需要运放，这大大消耗了芯片面积，性价比并不高。后续主要会记录芯片级的电路设计内容。

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