MBA-day23 至多至少问题-练习题
1. 思路点拨
在分析某对象至少(至多)时,可转化为其余部分最多(最少)来分析
- 1 每个对象至多至少
- 2 求整体至多至少
- 3 求个体至多至少
2. 例题
2.1 例题 1(错题)
某班共有 40 人,其中喜欢打乒乓球、篮球、排球的学生分别为 35, 33, 32 人,求这三项运动都喜欢的学生至少有()人
答: 20
由其中喜欢打乒乓球、篮球、排球的学生分别为 35, 33, 32 人
得:不喜欢打乒乓球、篮球、排球的学生分别为 5, 7, 8 人
->至少有一项运动不喜欢的人数至多:5+7+8 =20
->三项运动都喜欢的学生至少有 40 - 20 = 20======================================================
解:(没解出来)
喜欢乒乓球=只喜欢乒乓球+喜欢乒乓球和篮球+喜欢乒乓球和排球 + 喜欢乒乓球、篮球和排球 = 35
喜欢篮球=只喜欢篮球+喜欢乒乓球和篮球+喜欢篮球和排球 + 喜欢乒乓球、篮球和排球 = 33
喜欢排球=只喜欢排球+喜欢排球和篮球+喜欢乒乓球和排球 + 喜欢乒乓球、篮球和排球 = 32即 喜欢1种 + 喜欢2种 + 喜欢3种,要想喜欢3种最少,则喜欢1种和2种人数,都不喜欢应该最多。
3*喜欢1种 + 6*喜欢2种 + 3 * 喜欢3种 = 35 + 33 + 32 = 100 人设喜欢1种、2种、3种人数,都不喜欢分别为a, b, c, d -> c 至少, a + b + d 至多
3a + 6b + 3c = 100
a + b + c + d = 40 -> 3a + 3b + 3c + 3d = 120 -> 3a + 6b + 3c - 3b + 3d = 120
->
100 - 3b + 3d = 120 -> 3d - 3b = 20 -> 3(d-b) = 20 由于bd为整数,故该明显不成立
bd:肯定同为偶数或奇数
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20
2.2 例题 2(错题)
共有 100 人参加某公司的招聘考试,考试内容共有 5 道题。1至5道题分别有80, 92, 86, 78, 74 答对,答对了3道题和3道题以上的人员能通过考试,那么至少()人能通过考试。
答:至少(70)人能通过考试
参考答案思路
解:
总共做对:80+92+86+78+74 = 410
如果全做对是:500 题
-> 那么有 500 - 410 = 90 题没有做对如果不通过的人数最多,那就是每个人错3道,至多 90/3 = 30 人没通过。
-> 至少 100 - 30 = 70 人通过错误思路
解:
1至5道题分别有80, 92, 86, 78, 74 答对
1至5道题分别有20, 08, 14, 22, 26 没答对
至多4,5题答错最多:22, 26,去除重复人员,即最大26人,则至少(100-26=74)人能通过考试
2.3 例题 3
5 名选手在一次数学竞赛中共得 404 分,每人得分互不相等,并且其中得分最高的选手得分 90 分,那么得分最少的选手至少得分()分
答: 50
选手:甲 < 乙(87) < 丙(88) < 丁(89)< 戊 (90)
得分最少的选手至少得分(404-90-89-88-87 = 50)分
2.4 例题 4
某知识竞赛共有 50 道题,每答对一道题得3分,答错或不答倒扣1分,如果某选手至少要得到 90 分,那么他至少需要答对多少题?
答:他至少需要答对35题
解:
设答对x道,答错50-x
3x + (50-x)*-1 >= 90
3x - 50 + x >= 90
4x >= 140
x >= 35
2.5 例题 5(错题)
5 位同学参加百分制考试的平均成绩是91分,他们的成绩是互不相等的整数。那么按分数从高到低居第三位额同时至少为89分
1)最高分 96 分
2)最低分 87 分
答:条件1充分,条件2充分
解:
1)最高分 96 分
5 位同学参加百分制考试的平均成绩是91分, -> 总分数:455
甲 < 乙 < 丙 < 丁< 戊 (96),推甲最低分
要想第三名最少,其他人应该尽量高,即丁=95,设第三名并x
甲(x-2) < 乙(x-1) < 丙(x) < 丁(95)< 戊 (96)
-> x = 89 即条件1充分
甲(87) < 乙(88) < 丙(89) < 丁(95)< 戊 (96)2)最低分 87 分
同条件1,即条件为充分
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