二项式分布和多项式分布

二项式

二项式定理：
( x + y ) n = ∑ r = 0 n ( n k ) x r y n − k = ∑ k = 0 n n ! k ! ( n − k ) ! x k y n − k (x+y)^n = \sum_{r=0}^n {n \choose k} x^r y^{n-k} = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} x^k y^{n-k} (x+y)n=r=0∑n(kn)xryn−k=k=0∑nk!(n−k)!n!xkyn−k
举例:
( a + b ) 3 = ( 3 3 ) a 3 b 0 + ( 3 2 ) a 2 b 1 + ( 3 1 ) a 1 b 2 + ( 3 0 ) a 0 b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 \begin{aligned} (a+b)^3 &= {3 \choose 3}a^3b^0 + {3 \choose 2}a^2b^1+ {3 \choose 1}a^1b^2 + {3 \choose 0}a^0b^3 \\ &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{aligned} (a+b)3=(33)a3b0+(23)a2b1+(13)a1b2+(03)a0b3=a3+3a2b+3ab2+b3

所以，二项式分布为：

多项式

多项式定理：
( x 1 + x 2 + . . . + x r ) n = ∑ k 1 + k 2 + . . . + k r = n n ! k 1 ! k 2 ! . . . k r ! x 1 k 1 x 2 k 2 . . . x r k r s . t . : k 1 + k 2 + . . . + k r = n , 0 ≤ k i ≤ n (x_1+x_2+...+x_r)^n = \sum_{k_1+k_2+...+k_r=n} \frac{n!}{k_1!k_2!...k_r!} {x_1}^{k_1} {x_2}^{k_2}... {x_r}^{k_r} \\ s.t.: k_1+k_2+...+k_r=n, 0 \le k_i \le n (x1+x2+...+xr)n=k1+k2+...+kr=n∑k1!k2!...kr!n!x1k1x2k2...xrkrs.t.:k1+k2+...+kr=n,0≤ki≤n

所以，多项式分布为：

二项式分布是多项式分布的一个特例。

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