留下来的都是精华。

留数理论的一个重要应用就是用来计算实函数的积分，我们先从复变函数的孤立奇点的分类将起：

定义：

当存在一个半径

则有一下关于孤立奇点的定义：

可去奇点。

阶极点。

本质奇点。

对于该定义可以这样理解：

可去奇点意味着可以在

上找到一个全纯函数

，使得：

且

在

处有定义。这种

其实就是

在

的

级数。

级数不含主部分。

阶极点意味着可以在

上找到一个全纯函数

，使得:

级数含主部分的有限项（

为记就含有几项）。

不存在。即

级数含主部分的无限项。

例子：

可见，

在

处有定义。且

在

的幂级数展开式不包含任何

的负幂次项。也就是不含有

级数的主部分。

也就是

的展开式中仅含有一项

的负幂次项，即含有有限项（一项）的

级数的主部分，所以

是

的一阶极点。

含有

级数的主部分的无限项。

• 留数

什么是留数呢？留数留数，就是被留下来的数。也可以理解为剩下的数。到底是哪个数被留下了呢？首先，我们来考察一个复函数

我们对这个等式两侧进行积分有：

由于对

也就是说

留数就是

的

级数的负一次幂的系数

。

显然对于任何一个全纯函数和仅具有可去奇点的复变函数来说，是没有留数的。（因为这两种情况下

对于极点的留数的计算分为以下三种情况：

证明：

这种情况是

中的

时的情况，一会我们来证明

。

设

，则

在

是全纯可展开的，且

。从而

在

是全纯可展的且

。我们先利用

有：

。我们对我们所定义的

求导得到：

,对于

有：

即

成立，所以

成立。

对于这个定理，我想说明一点：如果在第二种情况中显化了

则我们既可以按第一种类型计算

若按第一种类型计算留数的话那对于

若直接利用第二条结论有：

• 留数定理以及其在实积分中的应用

留数定理：

设

其中

证明：

我们仅考虑封闭路径

中的奇点，对于封闭路径以外的奇点，该封闭路径对其的卷绕数为0。

我们可以将该封闭路径分解为

个封闭子路径

。对于每一个闭合子路径

都仅包含具有相同卷绕数

的奇点。

对于每一个闭合子路径

都同伦于一个

次穿过的简单封闭分段

路径

，从而有下列积分：

利用

积分定理：对于每一个沿简单封闭的路径

积分都可以分解为包含在

内的一个包含奇点的圆上的积分。从而有：

之后我们将

在

处展成

级数：

介绍完了留数定理，我们来看看如何利用留数定理来计算实积分。使用留数定理计算实积分一共分为四种类型，我们一种一种来说：

定理：

设

证明：

由于

则对于足够大的

，我们可以有如下估值：

所以由比较审敛法可知广义积分收敛。我们现在选取如下积分路径：
圆心在原点的半径为

的上半圆，路径

是在实轴上的直径，从左到右，

是从右到左的上班圆周。

我们假设这个半圆的半径充分大，以至于能够包含这个有理函数

的所有虚部大于零的孤立奇点（即所有上半平面的奇点）。从而，对

的内部由留数定理可以有：

我们将上等式右侧的积分分为上半复平面和实轴上的积分：

对于

上的积分我们利用之前的估值可以得到以下不等式：

综上所述：

例：计算反常积分：

解：复变函数

其中虚部大于零的极点有：

由定理得：

定理：

设

孤立奇点都分布在上半平面

其中

证明：

我们选择与上面的定理中一样的积分路径，从而有如下估值：

其中

为了进行估值，我们使用以下关系：

从而有：

则：

例：计算广义积分：

解：根据比较审敛法我们知道该反常积分收敛。从而它是下列复积分的实部：

由于

也就是：

定理：

设

证明：

上面定理中的右边我们可以利用留数定理进行改写：

例：计算积分：

解：

首先，

从而由以上定理有：

定理：

设

选择

证明：

对于这个定理的证明我们找到以下封闭路径

的围道积分：

从而：

对于

时的极限值：

由于

，

有：

且有估值：

利用留数定理有：

例：计算广义积分：

解：函数

从而由上定理有：