Newton-Raphson method

牛顿法 （ Newton's method ）又称为 牛顿-拉夫逊方法 （ Newton-Raphson method ），将非线性方程 f(x) = 0 近似为： f ( x k ) + f ´ ( x k )( x k +1 - x k ) = 0，得

如果 f' 是连续的，并且待求的零点 x 是孤立的，那么在零点 x 周围存在一个区域，只要初始值 x₀ 位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。并且，如果 f'(x) 不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍

例题一：
求方程f (x ) = cos(x ) − x ³ 的根。两边求导，得f '(x ) = −sin(x ) − 3x ² 。由于cos(x ) ≤ 1（对于所有x ），以及x ³> 1（对于x >1），可知方程的根位于0和1之间。我们从x ₀ = 0.5开始。

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