第四章 高级数据结构
2024-04-09 15:19:07
目录
- 并查集
- 1250. 格子游戏【并查集判环】
- 1252. 搭配购买【并查集 + 01背包】
- 237. 程序自动分析【并查集的扩展】
- 239. 奇偶游戏【不会】
- 238. 银河英雄传说【维护距离的并查集】
- 树状数组
- 241. 楼兰图腾【树状数组的基本应用】
- 242. 一个简单的整数问题【区间修改 / 单点查询】
- 243. 一个简单的整数问题2【区间修改 / 区间查询】
- 244. 谜一样的牛【快速求排名扩展】
- 线段树
- 1275. 最大数【线段树 / 维护区间最大值】
- 245. 你能回答这些问题吗【单点修改 求区间的最大连续子段和】
- 243. 一个简单的整数问题2【区间修改 / 区间查询】
- 1277. 维护序列【区间乘/加 区间查询】
- 可持续化数据结构
- 255. 第K小数【可持续化线段树 / 主席树】
- AC自动机
- 1282. 搜索关键词
- 1285. 单词
并查集
并查集的基本操作:
- 合并两个集合
- 查询某个元素的祖宗结点
并查集的基本应用扩展
- 记录每个集合的大小(绑定到根节点)
- 记录每个点到根节点的距离。(绑定到每个元素上)
1250. 格子游戏【并查集判环】
https://www.acwing.com/problem/content/description/1252/
如果合并之前，这两元素已经在集合中，那么说明有环。
1250. 格子游戏【并查集】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int p[N],n,m;
int find(int x)
{if(x!=p[x]) p[x]=find(p[x]);return p[x];
}
int get(int x,int y) {return x*n+y;}
int main(void)
{cin>>n>>m;for(int i=0;i<n*n;i++) p[i]=i;for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;char op; cin>>x>>y>>op;x--,y--;int a=get(x,y),b;if(op=='R') b=get(x,y+1);else b=get(x+1,y);if(find(a)==find(b)){cout<<i;return 0;}p[find(a)]=find(b);}puts("draw");return 0;
}
1252. 搭配购买【并查集 + 01背包】
https://www.acwing.com/problem/content/description/1254/
1252. 搭配购买【并查集 + 01背包】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int w[N],v[N],p[N],n,m,sum,f[N];
int find(int x)
{if(x!=p[x]) p[x]=find(p[x]);return p[x];
}
int main(void)
{cin>>n>>m>>sum;for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];for(int i=1;i<=m;i++){int a,b; cin>>a>>b;if(find(a)!=find(b)){w[find(a)]+=w[find(b)];v[find(a)]+=v[find(b)];p[find(b)]=find(a);}}for(int i=1;i<=n;i++){if(p[find(i)]==i)//说明是一个根节点{for(int j=sum;j>=v[i];j--){f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);}}}cout<<f[sum];return 0;
}
237. 程序自动分析【并查集的扩展】
https://www.acwing.com/problem/content/description/239/
237. 程序自动分析【并查集】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5*3+10;
struct node {int a,b,c;};
int p[N],t,n,idx;
unordered_map<int,int>mp;
int get(int x)//离散化
{if(mp.count(x)==0) mp[x]=++idx;return mp[x];
}
void init(){mp.clear(),idx=0;}//初始化
int find(int x)
{if(x!=p[x]) p[x]=find(p[x]);return p[x];
}
int main(void)
{cin>>t;while(t--){init();cin>>n;vector<node>ve;for(int i=0;i<n;i++){int a,b,c; cin>>a>>b>>c;ve.push_back({get(a),get(b),c});}for(int i=1;i<=idx;i++) p[i]=i;for(int i=0;i<ve.size();i++)if(ve[i].c==1&&find(ve[i].a)!=find(ve[i].b)) p[find(ve[i].b)]=find(ve[i].a);bool flag=true;for(int i=0;i<ve.size();i++)if(!ve[i].c&&find(ve[i].a)==find(ve[i].b)) flag=false;if(flag) puts("YES");else puts("NO");}return 0;
}
239. 奇偶游戏【不会】
https://www.acwing.com/problem/content/241/
238. 银河英雄传说【维护距离的并查集】
https://www.acwing.com/problem/content/240/
238. 银河英雄传说【边带权的并查集】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5*3+10;
int p[N],cnt[N],d[N],n;
int find(int x)
{if(x!=p[x]){int root=find(p[x]);d[x]+=d[p[x]];p[x]=root;}return p[x];
}
int main(void)
{for(int i=1;i<N;i++) p[i]=i,cnt[i]=1;cin>>n;while(n--){string op;int a,b; cin>>op>>a>>b;if(op=="M"){int pa=find(a),pb=find(b);d[pa]=cnt[pb];cnt[pb]+=cnt[pa];p[pa]=pb;}else{int pa=find(a),pb=find(b);if(pa==pb) cout<<max(0,abs(d[a]-d[b])-1)<<endl;else cout<<-1<<endl;}}return 0;
}
树状数组
241. 楼兰图腾【树状数组的基本应用】
https://www.acwing.com/problem/content/243/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5*2+10;
typedef long long int LL;
LL up[N],down[N],a[N],tr[N],n;
int lowbit(int x) {return x&(-x);}
int add(int x,int v) {for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tr[i]+=v;}
LL query(int x)
{LL sum=0;for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) sum+=tr[i];return sum;
}
int main(void)
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];for(int i=n;i>=1;i--){up[i]=query(n)-query(a[i]);down[i]=query(a[i]-1);add(a[i],1);}memset(tr,0,sizeof tr);long long int ans1=0,ans2=0;for(int i=1;i<=n;i++){ans1+=(query(n)-query(a[i]))*up[i];ans2+=query(a[i]-1)*down[i];add(a[i],1);}cout<<ans1<<" "<<ans2<<endl;return 0;
}
242. 一个简单的整数问题【区间修改 / 单点查询】
https://www.acwing.com/problem/content/description/248/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int tr[N],a[N],n,m;
int lowbit(int x){return x&(-x);}
int add(int x,int v){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tr[i]+=v;}
int query(int x)
{int sum=0;for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) sum+=tr[i];return sum;
}
int main(void)
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],add(i,a[i]-a[i-1]);while(m--){string op; cin>>op;if(op=="C"){int l,r,c; cin>>l>>r>>c;add(l,c),add(r+1,-c);}else {int x; cin>>x;cout<<query(x)<<endl;}}return 0;
}
243. 一个简单的整数问题2【区间修改 / 区间查询】
https://www.acwing.com/problem/content/description/244/
详细题解
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int LL;
const int N=1e5+10;
LL tr1[N],tr2[N],a[N],n,m;
LL lowbit(LL x){return x&(-x);}
LL add(LL tr[],LL x,LL v){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tr[i]+=v;}
LL query(LL tr[],LL x)
{LL sum=0;for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) sum+=tr[i];return sum;
}
LL sum(LL x)
{return query(tr1,x)*(x+1)-query(tr2,x);
}
int main(void)
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];LL b=a[i]-a[i-1];add(tr1,i,b);add(tr2,i,i*b);}while(m--){string op; cin>>op;if(op=="C"){LL l,r,d; cin>>l>>r>>d;add(tr1,l,d),add(tr1,r+1,-d);add(tr2,l,l*d),add(tr2,r+1,-d*(r+1));}else {LL l,r; cin>>l>>r;cout<<sum(r)-sum(l-1)<<endl;}}return 0;
}
244. 谜一样的牛【快速求排名扩展】
https://www.acwing.com/problem/content/245/
详细题解
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int tr[N],a[N],b[N],n;
int lowbit(int x) {return x&(-x);}
int add(int x,int v) {for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tr[i]+=v;}
int query(int x)
{int sum=0;for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) sum+=tr[i];return sum;
}
int main(void)
{cin>>n;for(int i=2;i<=n;i++) cin>>a[i];for(int i=1;i<=n;i++) add(i,1);for(int i=n;i>=1;i--){int x=a[i]+1;int l=1,r=n;while(l<r){int mid=l+r>>1;if(query(mid)>=x) r=mid;else l=mid+1;}b[i]=l;add(l,-1);}for(int i=1;i<=n;i++) cout<<b[i]<<endl;return 0;
}
线段树
上图摘自: https://www.acwing.com/blog/content/372/
线段树常用的操作:
- pushup 由子节点的信息,来计算父节点的信息
- pushdown 由父节点更新子节点节点信息 lazytag(懒标记)
- build 由区间建立线段树
- modify 修改某一个点(easy)或者区间(hard)
- query 查询某一端区间信息
线段树常见的应用场景:
- 单点修改
- 区间查询
- 区间修改
相关的文章:https://www.cnblogs.com/jason2003/p/9676729.html
详细理解线段树
1275. 最大数【线段树 / 维护区间最大值】
https://www.acwing.com/problem/content/description/1277/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int LL;
const int N=1e5*2+10;
int m,p;
struct node{int l,r,v;}tr[N*4];//[l,r]区间中的最大值
void pushup(int u)//由子节点的信息,来计算父节点的信息
{tr[u].v=max(tr[u<<1].v,tr[u<<1 | 1 ].v);
}
void build(int u,int l,int r)//建树,u是根节点,l是左边界,r是右边界
{tr[u]={l,r};if(l==r) return;//叶子结点 int mid=l+r>>1;build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);
}
int query(int u,int l,int r)//u是根节点,查询[l,r]区间
{if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r) return tr[u].v;//如果这个区间被完全包括在目标区间[l,r]里面，直接返回这个区间的值int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;int v=0;if(l<=mid) v=query(u<<1,l,r);//如果这个区间的左儿子和目标区间又交集，那么搜索左儿子if(r>mid) v=max(v,query(u<<1|1,l,r));如果这个区间的右儿子和目标区间又交集，那么搜索右儿子return v;
}
void modify(int u,int x,int v)//u是根,x是位置,v是添加的数
{if(tr[u].l==x&&tr[u].r==x) tr[u].v=v;else{int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;if(x<=mid) modify(u<<1,x,v);else modify(u<<1|1,x,v);pushup(u);}
}
int main(void)
{int n=0,last=0;scanf("%d%d",&m,&p);build(1,1,m);int x;string op;while(m--){cin>>op>>x;if(op=="Q"){last=query(1,n-x+1,n);cout<<last<<endl;}else {modify(1,n+1,(1ll*last+x)%p);n++;}}return 0;
}
245. 你能回答这些问题吗【单点修改 求区间的最大连续子段和】
https://www.acwing.com/problem/content/246/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5*5+10;
int n,m;
int w[N];
struct node
{int l,r;int sum,lmax,rmax,tmax;//sum: 区间和//tmax:整个区间的最大子段和//lmax:从左端点起的向右的最大子段和//rmax:从右端点起的向左的最大子段和
}tr[N*4];
void pushup(node &u,node &l,node &r)
{u.sum=l.sum+r.sum;u.lmax=max(l.lmax,l.sum+r.lmax);u.rmax=max(r.rmax,r.sum+l.rmax);u.tmax=max(max(l.tmax,r.tmax),l.rmax+r.lmax);
}
void pushup(int u)
{pushup(tr[u],tr[u<<1],tr[u<<1 | 1]);
}
void build(int u,int l,int r)
{if(l==r) tr[u]={l,r,w[r],w[r],w[r],w[r]};else{tr[u]={l,r};int mid=l+r>>1;build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);pushup(u);}
}
void modify(int u,int x,int v)
{if(tr[u].l==x&&tr[u].r==x) tr[u]={x,x,v,v,v,v};else{int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;if(x<=mid) modify(u<<1,x,v);else modify(u<<1|1,x,v);pushup(u);}
}
node query(int u,int l,int r)
{if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r) return tr[u];else{int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;if(r<=mid) return query(u<<1,l,r);else if(l>mid) return query(u<<1|1,l,r);else{auto left=query(u<<1,l,r);auto right=query(u<<1|1,l,r);node res;pushup(res,left,right);return res; }}
}
int main(void)
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];build(1,1,n);int k,x,y;while(m--){cin>>k>>x>>y;if(k==1){if(x>y) swap(x,y);printf("%d\n",query(1,x,y).tmax);}else modify(1,x,y);}return 0;
}
243. 一个简单的整数问题2【区间修改 / 区间查询】
https://www.acwing.com/problem/content/description/244/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
typedef long long int LL;
int n,m;
int w[N];
struct node
{int l,r;LL sum,add;
}tr[N*4];
void pushup(int u)
{tr[u].sum=tr[u<<1].sum+tr[u<<1 | 1].sum;
}
void pushdown(int u)
{auto &root=tr[u],&left=tr[u<<1],&right=tr[u<<1 | 1];if(root.add){left.add+=root.add,left.sum+=(LL)(left.r-left.l+1)*root.add;right.add+=root.add,right.sum+=(LL)(right.r-right.l+1)*root.add;root.add=0;}
}
void build(int u,int l,int r)
{if(l==r) tr[u]={l,r,w[r],0};else{tr[u]={l,r};int mid=l+r>>1;build(u<<1,l,mid),build(u<<1 | 1,mid+1,r);pushup(u);}
}
void modify(int u,int l,int r,int d)
{if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r){tr[u].sum+=(LL)(tr[u].r-tr[u].l+1)*d;tr[u].add+=d;}else//一定分裂 {pushdown(u);int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;if(l<=mid) modify(u<<1,l,r,d);if(r>mid) modify(u<<1 | 1,l,r,d);pushup(u);}
}
LL query(int u,int l,int r)
{if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r) return tr[u].sum;pushdown(u);int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;LL sum=0;if(l<=mid) sum=query(u<<1,l,r);if(r>mid) sum+=query(u<<1 | 1,l,r);return sum;
}
int main(void)
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];build(1,1,n);while(m--){string op; cin>>op;if(op=="Q"){int l,r; cin>>l>>r;cout<<query(1,l,r)<<endl;}else{int l,r,d; cin>>l>>r>>d;modify(1,l,r,d);}}return 0;
}
1277. 维护序列【区间乘/加 区间查询】
https://www.acwing.com/problem/content/1279/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int LL;
const int N=1e5+10;
int n,m,p;
int w[N];
struct node
{int l,r;int sum,add,mul;
}tr[N*4];
void pushup(int u)
{tr[u].sum=(tr[u<<1].sum+tr[u<<1 | 1].sum)%p;
}
void eval(node &t,int add,int mul)
{t.sum=((LL)t.sum*mul+(LL)(t.r-t.l+1)*add)%p;t.mul=(LL)t.mul*mul%p;t.add=((LL)t.add*mul+add)%p;
}
void pushdown(int u)
{eval(tr[u<<1],tr[u].add,tr[u].mul);eval(tr[u<<1 | 1],tr[u].add,tr[u].mul);tr[u].add=0,tr[u].mul=1;
}
void build(int u,int l,int r)
{if(l==r) tr[u]={l,r,w[r],0,1};else{tr[u]={l,r,0,0,1};int mid=l+r>>1;build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);pushup(u);}
}
void modify(int u,int l,int r,int add,int mul)
{if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r) eval(tr[u],add,mul);else{pushdown(u);int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;if(l<=mid) modify(u<<1,l,r,add,mul);if(r>mid) modify(u<<1|1,l,r,add,mul);pushup(u);}
}
int query(int u,int l,int r)
{if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r) return tr[u].sum;pushdown(u);int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;int sum=0;if(l<=mid) sum=query(u<<1,l,r);if(r>mid) sum=(sum+query( u<< 1 | 1 ,l,r) )%p;return sum;
}
int main(void)
{cin>>n>>p;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];build(1,1,n);cin>>m;while(m--){int op; cin>>op;if(op==1)//区间乘法{int l,r,d; cin>>l>>r>>d;modify(1,l,r,0,d);}else if(op==2)//区间加{int l,r,d; cin>>l>>r>>d;modify(1,l,r,d,1);}else//区间查询{int l,r; cin>>l>>r;cout<<query(1,l,r)<<endl;}}return 0;
}
可持续化数据结构
255. 第K小数【可持续化线段树 / 主席树】
https://www.acwing.com/problem/content/257/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m;
int a[N];
vector<int>nums;
struct Node
{int l,r;int cnt;
}tr[N*4+N*17];
int root[N],idx;
int find(int x)//离散化
{return lower_bound(nums.begin(),nums.end(),x)-nums.begin();
}
int build(int l,int r)
{int p=++idx;if(l==r) return p;int mid=l+r>>1;tr[p].l=build(l,mid),tr[p].r=build(mid+1,r);return p;
}
int insert(int p,int l,int r,int x)
{int q=++idx;tr[q]=tr[p];if(l==r){tr[q].cnt++;return q;}int mid=l+r>>1;if(x<=mid) tr[q].l=insert(tr[p].l,l,mid,x);else tr[q].r=insert(tr[p].r,mid+1,r,x);tr[q].cnt=tr[tr[q].l].cnt+tr[tr[q].r].cnt;return q;
}
int query(int q,int p,int l,int r,int k)
{if(l==r) return r;int cnt=tr[tr[q].l].cnt-tr[tr[p].l].cnt;int mid=l+r>>1;if(k<=cnt) return query(tr[q].l,tr[p].l,l,mid,k);else return query(tr[q].r,tr[p].r,mid+1,r,k-cnt);
}
int main(void)
{scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);nums.push_back(a[i]);}sort(nums.begin(),nums.end());//离散化nums.erase(unique(nums.begin(),nums.end()),nums.end());root[0]=build(0,nums.size()-1);for(int i=1;i<=n;i++)root[i]=insert(root[i-1],0,nums.size()-1,find(a[i]));while(m--){int l,r,k; scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);printf("%d\n",nums[query(root[r],root[l-1],0,nums.size()-1,k)]);}return 0;
}
AC自动机
1282. 搜索关键词
https://www.acwing.com/problem/content/description/1284/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+10,S=55,M=1e6+10;
int n;
int tr[N*S][26],cnt[N*S],idx;
char str[M];
int q[N*S],ne[N*S];
void insert()
{int p=0;for(int i=0;str[i];i++){int t=str[i]-'a';if(!tr[p][t]) tr[p][t]=++idx;p=tr[p][t];}cnt[p]++;
}
void build()
{int hh=0,tt=-1;for(int i=0;i<26;i++)if(tr[0][i]) q[++tt]=tr[0][i];while(hh<=tt){int t=q[hh++];for(int i=0;i<26;i++){int p=tr[t][i];if(!p) tr[t][i]=tr[ne[t]][i];else{ne[p]=tr[ne[t]][i];q[++tt]=p;}}}
}
int main(void)
{int t; cin>>t;while(t--){memset(tr,0,sizeof tr);memset(cnt,0,sizeof cnt);memset(ne,0,sizeof ne);idx=0;cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){scanf("%s",str);insert();}build();scanf("%s",str);int res=0;for(int i=0,j=0;str[i];i++){int t=str[i]-'a';j=tr[j][t];int p=j;while(p){res+=cnt[p];cnt[p]=0;p=ne[p];}}printf("%d\n",res);}return 0;
}
1285. 单词
https://www.acwing.com/problem/content/1287/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int n;
int tr[N][26],f[N],idx;
int q[N],ne[N];
char str[N];
int id[210];
void insert(int x)
{int p=0;for(int i=0;str[i];i++){int t=str[i]-'a';if(!tr[p][t]) tr[p][t]=++idx;p=tr[p][t];f[p]++;}id[x]=p;
}
void build()
{int hh=0,tt=-1;for(int i=0;i<26;i++)if(tr[0][i]) q[++tt]=tr[0][i];while(hh<=tt){int t=q[hh++];for(int i=0;i<26;i++){int &p=tr[t][i];if(!p) p=tr[ne[t]][i];else {ne[p]=tr[ne[t]][i];q[++tt]=p;}}}
}
int main(void)
{scanf("%d",&n);for(int i=0;i<n;i++){scanf("%s",str);insert(i);}build();for(int i=idx-1;i>=0;i--) f[ne[q[i]]]+=f[q[i]];for(int i=0;i<n;i++) printf("%d\n",f[id[i]]);return 0;
}
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