定点定时抛物效果实现

要实现物体的移动效果，可以通过公式 $S=vt$ 简单得出。我们定义一个概念叫速度，在游戏步进的一段时间里，会改变自身的位置。假设由A点移动到B点，则为：

$P = P + V * \Delta t$

其中P为物体当前的位置，一开始为A点。当随着时间流逝，P的值是在更新的。这意味着我在说：“我会一步一步的前往目的的，最终就会按预期的时间达到B点。但若是速度发生了变化，则可能到不了B点，或者没有按期望的时间到达”，所以要其中的V是一个定值。假设我们期望t秒到达B点，那么很简单得出V值：

$V=\frac{(B-A)}{t}$

不过，我们也可以换一个思路来计算物体的位置，不使用速度的概念。若是t秒从A移动到B，那么0.5t时间则走了一半路程，所以物体的位置是出发点位置加上已走路程。公式表示如下：

$P=A+(B-A)*\frac{t_{cur}}{t}$

其中 $t_{cur}$ 代表从A点出发已花费的时间，当 $t_{cur}$ 等于 $\frac{1}{2}t$ 时候，则说明进行了一半的路程，即是 $(B-A)*\frac{1}{2}$ ，其中B-A即是AB之间的路程。简单验证一下没有问题，很好理解。

这种做法的一个好处是，即便AB点的位置发生变化，最终物体还是会按时移动到B点，虽然路径是不是直线了，但总比打歪了好。这正好符合了我们标题所说的定点定时，代码和效果如下：

//线性位置变换
Vector2 pos = p[0] + (p[1] - p[0]) * (_tCount / _tMax);

接下来，我们就来实现更高级一点的抛物线轨迹。但是抛物线方程有很多种，又如何和游戏的步进时间关联起来呢？首先我们的起点与终点已经确定了，然后确定了运行需要花费的时间。我们隐约可以还感觉到需要确定的是这个抛物线的“弯度”，但是“弯度”不太好描述，所以我们再确定一个P点，或者Q点，来决定抛物线的方程。

确定P点的情况

首先变换B点坐标系到A为原点的坐标系：

$B=B-A$

然后假设P点在AB的x距离的m倍处（P点可以随便调整，从而影响整个曲线），所以P点坐标为

$((B_x-A_x)*m,0)$ ，其中y轴为0，x值是一个已知量。我们定义Px为P点的x坐标，然后A点已经成为原点所以：

$P_x =m*B_x$

然后写下抛物线方程： $y=ax^{2}+bx+c$ ，代入原点得： $c=0$ ，再代入P点得：

$0=aP_x^{2}+bP_x$

化简写成b的等式：

$b=-aP_x=-mB_x*a$

再将B点代入抛物线方程，再替换b得：

$B_y=(1-m)aB_x^{2}$

所以a已经求出为：

$a=\frac{B_y}{(1-m)B_x^{2}}$

所以b为：

$b=-\frac{mB_y}{(1-m)B_x}$

众所周知，抛物线的x轴轨迹是线性的，所以x坐标和时间的关系如下：

$x=B_x*\frac{t_{cur}}{t}$

那么通过a、b、x三个变量即可表示y值，再定义 $k_t=\frac{t_{cur}}{t}$ 最终化简为：

$y=k_tB_y\frac{k_t-m}{1-m}$

这个时候我们就不再需要求ab的值了，直接使用最终的公式计算结果：

$k_t=\frac{t_{cur}}{t}$

$x=B_xk_t$

$y=k_tB_y\frac{k_t-m}{1-m}$

观察结果我们可以发现kt与m的范围实际都在0到1，最后的式子也意外的简洁。最后效果如下：

代码如下，最后我将不必要的计算给注释掉了：

//将B转换到A坐标系
Vector2 B = p->_pos[1] - p->_pos[0];
//AB x轴距离
//float d = B.a;
//x方程
float k_t = GetKSafe(p->_tCount, p->_tMax);//有警告的返回，防止除数为0
float x = k_t * B.a;
//y = a * x^2  + b * x + c ，由于A成为了原点，所以c等于0
//然后假设与x相交的点为p，则px是我们估计的一个常数（小于d)
constexpr float m = 0.75f;
//float p_x = m * d;
//所以 0 = a * p_x^2 + b * p_x，化简得
// b = -a * p_x;
//然后方程又过点B，所以By = a * Bx^2 + b * Bx，再消去b化简得
//float a = B.b / (B.a * B.a - p_x * B.a);
//然后求得b值
//float b = -a * p_x;
//最后y值为
//float y = a * x * x + b * x;
//float y = k_t * (k_t - m) * B.b / (1 - m);
float y = k_t * B.b * (k_t - m) / (1 - m);//最后转换回原坐标系
Vector2 pos = Vector2(x, y) + p->_pos[0];

确定Q点的情况

以Q点确定抛物线的公式我还没有推导，太晚了，等下次再试试，说不定是差不多的公式~

10-15更新：

其实Q的x值是P点的一半，所以其实是一样的，只不过m变小了一倍。