LASSO正则化

LASSO（ least absolute shrinkage and selection operator，最小绝对值收缩和选择算子）方法与岭回归和LARS（least angle regression，最小角回归）很类似。与岭回归类似，它也是通过增加惩罚函数来判断、消除特征间的共线性。与LARS相似的是它也可以用作参数选择，通常得出一个相关系数的稀疏向量。

详细的数学推导可以参考这篇CSDN博客。

损失函数和效果评估方法

岭回归也不是万能药。有时就需要用LASSO回归来建模。本文将用不同的损失函数，因此就要用对应的效果评估方法。

调用sklearn LASSO

首先，我们还是用make_regression函数来建立数据集：

from sklearn.datasets import make_regression
reg_data, reg_target = make_regression(n_samples=200, n_features=500, n_informative=5, noise=5)
reg_data.shape

(200L, 500L)

之后，我们导入lasso对象：

from sklearn.linear_model import Lasso
lasso = Lasso()

lasso包含很多参数，但是最意思的参数是alpha，用来调整lasso的惩罚项，在后面会具体介绍。现在我们用默认值1。另外，和岭回归类似，如果设置为0，那么lasso就是线性回归：

lasso.fit(reg_data, reg_target)

Lasso(alpha=1.0, copy_X=True, fit_intercept=True, max_iter=1000,normalize=False, positive=False, precompute=False, random_state=None,selection='cyclic', tol=0.0001, warm_start=False)

再让我们看看还有多少相关系数非零：

import numpy as np
np.sum(lasso.coef_ != 0)

lasso_0 = Lasso(0)
lasso_0.fit(reg_data, reg_target)
np.sum(lasso_0.coef_ != 0)

C:\Anaconda2\lib\site-packages\ipykernel__main__.py:2: UserWarning: With alpha=0, this algorithm does not converge well. You are advised to use the LinearRegression estimator
from ipykernel import kernelapp as app
C:\Anaconda2\lib\site-packages\sklearn\linear_model\coordinate_descent.py:454: UserWarning: Coordinate descent with alpha=0 may lead to unexpected results and is discouraged.
positive)

和我们设想的一样，如果用线性回归，没有一个相关系数变成0。而且，如果你这么运行代码，scikit-learn会给出建议，就像上面显示的那样。

LASSO原理

对线性回归来说，我们是最小化残差平方和。而LASSO回归里，我们还是最小化残差平方和，但是加了一个惩罚项会导致稀疏。如下所示：

∑ei+λ ∥β∥1

\sum {e_i + \lambda \ {\begin{Vmatrix} \beta \end{Vmatrix}}_1}

最小化残差平方和的另一种表达方式是：

RSS(β),其中∥β∥1<β

RSS(\beta),其中 {\begin{Vmatrix} \beta \end{Vmatrix}}_1 \lt \beta

这个约束会让数据稀疏。LASSO回归的约束创建了围绕原点的超立方体（相关系数是轴），也就意味着大多数点都在各个顶点上，那里相关系数为0。而岭回归创建的是超平面，因为其约束是L2范数，少一个约束，但是即使有限制相关系数也不会变成0。

LASSO交叉检验

上面的公式中，选择适当的 λ \lambda（在scikit-learn的Lasso里面是alpha，但是书上都是 λ \lambda）参数是关键。我们可以自己设置，也可以通过交叉检验来获取最优参数：

from sklearn.linear_model import LassoCV
lassocv = LassoCV()
lassocv.fit(reg_data, reg_target)

LassoCV(alphas=None, copy_X=True, cv=None, eps=0.001, fit_intercept=True,max_iter=1000, n_alphas=100, n_jobs=1, normalize=False, positive=False,precompute='auto', random_state=None, selection='cyclic', tol=0.0001,verbose=False)

lassocv有一个属性就是确定最合适的 λ \lambda：

lassocv.alpha_

0.80422168226821189

计算的相关系数也可以看到：

lassocv.coef_[:5]

array([-0.        ,  0.        , -0.        , -0.        , -0.32119958])

用最近的参数拟合后，lassocv的非零相关系数有13个：

np.sum(lassocv.coef_ != 0)

LASSO特征选择

LASSO通常用来为其他方法做特征选择。例如，你可能会用LASSO回归获取适当的特征变量，然后在其他算法中使用。

要获取想要的特征，需要创建一个非零相关系数的列向量，然后再其他算法拟合：

mask = lassocv.coef_ != 0
new_reg_data = reg_data[:, mask]
new_reg_data.shape

(200, 29)

500维特征经过LASSO稀疏以后只剩下29维特征

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