Instant-Meshes-标架场方法

在顶点ViV_iVi定义n-Rosy标架场，定义
Rso(o,n,k):=rot(n,k2πso),k∈ZRso(o,n):={Rso(o,n,0),Rso(o,n,1),…,Rso(o,n,so−1)}\begin{aligned}&\mathcal{R_{s_o}}(\mathbf{o},\mathbf{n},k):=rot(\mathbf{n},k\frac{2\pi}{s_o}),k \in \mathbb{Z} \\&\mathcal{R_{s_o}}(\mathbf{o},\mathbf{n}):=\{\mathcal{R_{s_o}}(\mathbf{o},\mathbf{n},0),\mathcal{R_{s_o}}(\mathbf{o},\mathbf{n},1),\dots,\mathcal{R_{s_o}}(\mathbf{o},\mathbf{n},s_o-1)\}\end{aligned} Rso(o,n,k):=rot(n,kso2π),k∈ZRso(o,n):={Rso(o,n,0),Rso(o,n,1),…,Rso(o,n,so−1)}
第一个式子是将o⃗\vec{o}o绕法向量n⃗\vec{n}n旋转k2πsok\frac{2\pi}{s_o}kso2π角度，第二个式子即是在顶点处用o⃗\vec{o}o对称旋转nnn次构成一个n-Rosy标架场

1.Intrinsic smoothness

该方法为将顶点ViV_iVi的相邻顶点VjV_jVj旋转到ViV_iVi的切平面上，然后寻找oi⃗\vec{o_i}oi与oj⃗\vec{o_j}oj的最小旋转角度，并用高斯赛德尔方法进行迭代求解。

定义能量函数：
E(O,k):=∑i∈V∑j∈N(i)∠(oi,Rso(oji,ni,kij))2E(O, \mathbf{k}):=\sum_{i \in \mathcal{V}} \sum_{j \in \mathcal{N}(i)} \angle\left(\mathbf{o}_{i}, \mathcal{R}_{s_{o}}\left(\mathbf{o}_{j i}, \mathbf{n}_{i}, k_{i j}\right)\right)^{2} E(O,k):=i∈V∑j∈N(i)∑∠(oi,Rso(oji,ni,kij))2
其中oji:=rot⁡(nj×ni,∠(nj,ni))oj\mathbf{o}_{j i}:=\operatorname{rot}\left(\mathbf{n}_{j} \times \mathbf{n}_{i}, \angle\left(\mathbf{n}_{j}, \mathbf{n}_{i}\right)\right) \mathbf{o}_{j}oji:=rot(nj×ni,∠(nj,ni))oj,即ojo_joj旋转到ViV_iVi切平面上后的向量。kijk_{ij}kij为旋转次数，要求解该能量函数，可通过以下方法
kij:=arg⁡min⁡0≤k<so∠(oi,Rso(oji,ni,k))oi←∑j∈N(i)wijRso(oji,ni,kij),oi←oi/∥oi∥\begin{aligned} &k_{i j}:=\underset{0 \leq k<s_{o}}{\arg \min } \angle\left(\mathbf{o}_{i}, \mathcal{R}_{s_{o}}\left(\mathbf{o}_{j i}, \mathbf{n}_{i}, k\right)\right)\\ &\mathbf{o}_{i} \leftarrow \sum_{j \in \mathcal{N}(i)} w_{i j} \mathcal{R}_{s_{o}}\left(\mathbf{o}_{j i}, \mathbf{n}_{i}, k_{i j}\right), \quad \mathbf{o}_{i} \leftarrow \mathbf{o}_{i} /\left\|\mathbf{o}_{i}\right\| \end{aligned} kij:=0≤k<soargmin∠(oi,Rso(oji,ni,k))oi←j∈N(i)∑wijRso(oji,ni,kij),oi←oi/∥oi∥
即先寻找最佳旋转次数，然后通过拉普拉斯权重归一化，由于搜寻空间是很小的(sos_oso，如果是n-Rosy,也就是n,而n通常是很小的一个常数)，可用暴力方法，若顶点ViV_iVi周围有mmm个点，那迭代一次的搜索空间大小也只有mnmnmn

然后通过高斯赛德尔迭代：
oi′←wij1Rso(oj1i,ni,kij1),oi←oi′/∥oi′∥oi′←oi′+wij2Rso(oj2i,ni,kij2),oi←oi′/∥oi′∥\begin{array}{ll} \mathbf{o}_{i}^{\prime} \leftarrow w_{i j_{1}} \mathcal{R}_{s_{o}}\left(\mathbf{o}_{j_{1} i}, \mathbf{n}_{i}, k_{i j_{1}}\right), & \mathbf{o}_{i} \leftarrow \mathbf{o}_{i}^{\prime} /\left\|\mathbf{o}_{i}^{\prime}\right\| \\ \mathbf{o}_{i}^{\prime} \leftarrow \mathbf{o}_{i}^{\prime}+w_{i j_{2}} \mathcal{R}_{s_{o}}\left(\mathbf{o}_{j_{2} i}, \mathbf{n}_{i}, k_{i j_{2}}\right), & \mathbf{o}_{i} \leftarrow \mathbf{o}_{i}^{\prime} /\left\|\mathbf{o}_{i}^{\prime}\right\| \end{array} oi′←wij1Rso(oj1i,ni,kij1),oi′←oi′+wij2Rso(oj2i,ni,kij2),oi←oi′/∥oi′∥oi←oi′/∥oi′∥

2.Extrinsic smoothness

该方法区别于上面的方法为直接在三维空间里求解能量函数，即不再旋转到切平面，则能量函数改为：
Ee(O,k):=∑i∈V∑j∈N(i)∠(Rso(oi,ni,kij),Rso(oj,nj,kji))2E_{\mathrm{e}}(O, k):=\sum_{i \in \mathcal{V}} \sum_{j \in \mathcal{N}(i)} \angle\left(\mathcal{R}_{s_{o}}\left(\mathbf{o}_{i}, \mathbf{n}_{i}, k_{i j}\right), \mathcal{R}_{s_{o}}\left(\mathbf{o}_{j}, \mathbf{n}_{j}, k_{j i}\right)\right)^{2} Ee(O,k):=i∈V∑j∈N(i)∑∠(Rso(oi,ni,kij),Rso(oj,nj,kji))2
则kijk_{ij}kij的最优解为
(kij,kji):=arg⁡min⁡0≤k,l<so∠(Rso(oi,ni,k),Rso(oj,nj,l))2\left(k_{i j}, k_{j i}\right):=\underset{0 \leq k, l<s_{o}}{\arg \min } \angle\left(\mathcal{R}_{s_{o}}\left(\mathbf{o}_{i}, \mathbf{n}_{i}, k\right), \mathcal{R}_{s_{o}}\left(\mathbf{o}_{j}, \mathbf{n}_{j}, l\right)\right)^{2} (kij,kji):=0≤k,l<soargmin∠(Rso(oi,ni,k),Rso(oj,nj,l))2
可以看到搜索空间变为n2n^2n2,其实它还是很小的，也是可以暴力求的。下一步则依然还是高斯赛德尔迭代。

3.说明

上述算法有解的条件是收敛，而事实就是它就是收敛的。
上述算法因为它是基于局部的，所以可以支持并行。
初始标架场被设置为随机的切向量，锐利特征则通过二面角阈值来判断，锐利边上顶点的法向量为任一面的法向量，而其余的可用角度权重等来定义。
Gauss–Seidel method可能陷入局部最小解，可通过随机法避免，而该文提出了另一种**多分辨率层次法（Multiresolution hierarchy）**来避免这种情况,如下。