硬币(Leetcode)

题目

硬币。给定数量不限的硬币，币值为25分、10分、5分和1分，编写代码计算n分有几种表示法。(结果可能会很大，你需要将结果模上1000000007)
示例1：

输入: n = 5
输出：2
解释: 有两种方式可以凑成总金额:
5=5
5=1+1+1+1+1

示例2：

输入: n = 10
输出：4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
10=10
10=5+5
10=5+1+1+1+1+1
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

说明：

注意:
你可以假设：
0 <= n (总金额) <= 1000000

解题思路

首先根据题目的意思，这明显是一个完全背包问题，只不过不同以往，这里要求求取可实现的方法次数，所以背包方式的求解就不再说，今天带来一种数学思维的求解方式，就算你没有学过算法【动态规划】,也应该能做出这道题。

1、根据题意，我们可以得出这样的公式（a枚25分的硬币，b枚10分硬币、c枚5分硬币、d枚1分硬币），根据它给出的硬币种类，所以不管给出多少分的数，都能被这四种硬币所组成（降低了难度）。
25a + 10b + 5c + d =n;

2、根据所列式子，我们可以得出如果我们取出 i 枚25分硬币，剩下的数量就留给了10 、5 、1 分的硬币去构成，假设当25分硬币数为 a时,【result1 = n - 25a 】，所以I的取值为【0，n/25】；.

3、b、c、d又可以继续按照第二步骤的方法继续进行分，那么【ressult2 = result1-10b】，因此b的取值为【0，result1/10】;

4、因此c的取值为【0,result2/5】;因为【ressult2 = result1-10b】,则c的取值为【0，result1/5-2b】；

5、当a,b,c定了，d的值也就自然定下来了。因此，所有的表示种类，即为 a、b、c可取值数的组合。

6、b、c、d的不同表示种类有：

7、可能你会很奇怪的问：“为啥要 +1 啊？”，那我问你，它的零不是一种情况吗？对吧。所以相对于b、c、d的取值情况，可获取如下式子：

8、解决了b、c、d的取值，之后便处理a的情况：

代码

class Solution {public:int waysToChange(int n) {const int mod  = 1000000007; int res = 0;for (int i = 0; i <= n / 25; i ++) {int result = n - i * 25;int a = result / 5;int b = result / 10;res += (long long)(a + 1)*(b + 1) % mod - (long long)b*(b + 1)% mod;res %= mod;}return res;}
};

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