递归算法和过程的详解

看了很多博主的博文，加上看了几个视频，做了一些题目，感觉对递归有了一些认识，希望大家观看以后会对自己有所帮助。

递归的算法详解

递归的定义

如果一个对象部分地由它自身组成或按它自己定义，则称它是递归的，所以说递归就是函数/过程/子过程在运行过程中直接或间接调用自身而产生的重入现象。

递归算法包含的两个部分

1 由其自身定义的与原始问题类似的更小规模的子问题（只有数据规模不同），它使递归过程持续进行，称为一般条件。
2 所描述问题的最简单的情况，它是一个能控制递归过程结束的条件，称为基本条件。（递归出口）

递归的基本思想

就是把一个规模大的问题分为若干个规模较小的子问题求解，而每一个子问题又可以分为几个规模更小的子问题。
基本上，所有的递归问题都可以用递推公式来表示。
最重要的一点就是假设子问题已经解决了，现在要基于已经解决的子问题来解决当前问题；
或者说，必须先解决子问题，再基于子问题来解决当前问题
或者可以这么理解：递归解决的是有依赖顺序关系的多个问题。

递归的优缺点

优点
逻辑清楚，结构清晰，可读性好，代码简洁，效率高（拓展：DFS深度优先搜素，前中后序二叉树遍历）
缺点
函数调用开销大，空间复杂度高，有堆栈溢出的风险。

什么样的问题可以用递归来求解？

1.问题的解可以分解为几个子问题的解。（子问题：数据规模更小的问题）
2.问题与子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样
3.存在递归终止条件

递归的过程详解

递归的基本过程

首先，我们要了解递归具有堆栈的结构特性：先进后出
当我们在解决问题的过程中发现，这个问题的解，是依赖于一个规模更小的子问题的解，然后我们转向去求一个数据规模小，过程相同的子问题时，发现它的解依赖于规模更小的子问题，之后我们一步一步的求，突然发现最后的子问题的解可以直接求得（这便是递去的过程），然后用这一个子问题的解，来解决与其有关联的上一级子问题的解，最终求得目标问题的解（这便是归来的过程）。
转化为代码中的思想：
函数执行到递归函数入口时,就扩充一段完全一样的代码,执行完扩充的代码并return后,继续执行前一次递归函数中递归函数入口后面的代码。

递归中的变量的解释

递去时：每进行一次新的调用，都将创建一批变量，他们将掩盖递归函数前一次调用所创建的变量。可以看出每一级的函数调用都有自己的局部变量，当追踪一个递归函数的执行过程时，必须把不同次调用的变量区分开来，以避免混淆。
如果问题复杂时就有可能有堆栈溢出的风险。
归来时：开始打印输出。然后函数返回，并开始销毁堆栈上的变量值。

关于递归的理解

阅读递归函数最容易的方法不是纠缠于它的执行过程，而是相信递归函数会顺利完成它的任务。如果你的每个步骤正确无误，你的限制条件设置正确，并且每次调用之后更接近限制条件，递归函数总是能正确的完成任务。

返回的过程是隐秘的，但是确实存在的过程。

关于递归的基本知识就这些，下面我们来结合一些代码更加深入的了解递归。

汉诺塔问题（经典）

Description
汉诺塔（又称河内塔）问题是印度的一个古老的传说。

开天辟地的神勃拉玛在一个庙里留下了三根金刚石的棒A、B和C，A上面套着n个圆的金片，最大的一个在底下，其余一个比一个小，依次叠上去，庙里的众僧不倦地把它们一个个地从A棒搬到C棒上，规定可利用中间的一根B棒作为帮助，但每次只能搬一个，而且大的不能放在小的上面。

僧侣们搬得汗流满面，可惜当n很大时这辈子恐怕就很搬完了。

聪明的你还有计算机帮你完成，你能写一个程序帮助僧侣们完成这辈子的夙愿吗？
Input
输入金片的个数n。这里的n<=10。
Output
输出搬动金片的全过程。格式见样例。
Sample
Input
2
Output
Move disk 1 from A to B
Move disk 2 from A to C
Move disk 1 from B to C
Hint
可以用递归算法实现。

第一步：将问题简化–复杂问题求解的基本方法
现在假设A杆上，只有2个圆盘，即汉诺塔有两层，n=2；求解过程如下：

第二步：对于n（n>1）个圆盘的汉诺塔，将n个圆盘分为两部分，“上面n-1个圆盘”看成一个整体（也就是上图中画斜线的部分）
所以就可以写出代码：

#include <iostream>using namespace std;void carry(int n,char a/*起始柱*/,char b/*中间柱*/,char c/*目标柱*/){if(n==1) printf("Move disk %d from %c to %c\n",n,a,c);  //结束条件：子问题中将起始柱上的第一个盘子移动到目标柱上 注意当前的a和c不一定代表A柱子和C柱子 else{carry(n-1,a,c,b);  //将起始柱上的n-1个盘子移动到中间柱子上    1printf("Move disk %d from %c to %c\n",n,a,c);carry(n-1,b,a,c);  //将中间柱子上的n-1个盘子移动到目标柱子上 }
}
int main()
{int n;cin>>n;carry(n,'A','B','C');return 0;}

快速排序
- 题目链接

所谓快速排序，效率很快，基本思想，两边交替向中间遍历，把大的放一边，小的放一边，再利用递归最终实现排序。

#include <iostream>using namespace std;
const int N=1e5+10;
int a[N];void q_sort(int l,int r){int i=l;int j=r;int k=a[i];if(l>=r)  return ;   //如果左边界大于右边界返回空 else{while(i<j){while(i<j&&a[j]>=k)j--;   //发现一个大于k的值就让该值放在之前k的位置 a[i]=a[j];while(i<j&&a[i]<=k)i++;a[j]=a[i];}a[i]=k;         //把之前提取出来的一个值放到中间 q_sort(l,i-1);   //重复这个过程 q_sort(i+1,r);}
}void print(int n)
{for(int i=0;i<n;i++){if(i==n-1) cout<<a[i]<<endl;else cout<<a[i]<<" ";}
}int main()
{int n;cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){cin>>a[i];}q_sort(0,n-1);print(n);return 0;
}

二分查找
- 题目链接’

二分查找和快排有一些相同的地方，二分查找把要查找的数与数列中中间值进行比较，从而每一次缩小一半。
注意二分查找的序列一定时有序的。

#include <iostream>using namespace std;
const int N=1e7+10;
int a[N];int search(int l,int r,int x){int mid;mid=(l+r)>>1;while(l<=r){if(a[mid]==x) return mid;else if(a[mid]>x) return search(l,mid-1,x);else if(a[mid]<x) return search(mid+1,r,x);}return -1;
}int main()
{int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];}int q;int x;cin>>q;while(q--){cin>>x;cout<<search(1,n,x)<<endl;}return 0;}

全排列问题
- 题目链接

#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
const int N = 1e5 + 10;
const int M = 111;
using namespace std;int a[11];///右移元素
void move_r(int l,int r){if(l>=r) return ;int t=a[r];for(int i=r;i>l;i--) a[i]=a[i-1];a[l]=t;
}///左移元素
void move_l(int l,int r){if(l>=r) return ;int t=a[l];for(int i=l;i<r;i++) a[i]=a[i+1];a[r]=t;
}///递归全排列
void perm(int l,int r){if(l==r){for(int i=1;i<=r;i++){if(i==r) cout<<a[i]<<endl;else cout<<a[i]<<",";}}else{for(int i=l;i<=r;i++){swap(a[l],a[i]);move_r(l+1,i);perm(l+1,r);move_l(l+1,i);swap(a[l],a[i]);}}
}int main()
{int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];}perm(1,n);return 0;
}

提升：八皇后问题

结语
我意识到用书面语讲这些题非常的麻烦，而且大家可能也听不懂，所以我就详细的介绍了基本的知识，至于题目，我只是稍微讲了一点思路，加上我给出的代码，大家自己思考出来的效果肯定会更好。