207. 课程表

题目

你这个学期必须选修 numCourse 门课程，记为 0 到 numCourse-1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们：[0,1]

给定课程总量以及它们的先决条件，请你判断是否可能完成所有课程的学习？

示例 1:

输入: 2, [[1,0]]

输出: true

解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0。所以这是可能的。

示例 2:

输入: 2, [[1,0],[0,1]]

输出: false

解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成​课程 0；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1。这是不可能的。

提示：

输入的先决条件是由 边缘列表 表示的图形，而不是 邻接矩阵 。详情请参见图的表示法。

你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。

1 <= numCourses <= 10^5

解题思路

思路：拓扑排序(BFS，DFS)

其实，这是一道经典的【拓扑排序】问题。

首先先审题，结合示例 1 和示例 2，我们其实可以看到，其实题目问的是给定输入先决条件表示的图形(也就是课程表)是否是有向无环图。也是说，当确定先决条件之后，图形不能存在环，否则不成立。

有向无环图(DAG)：指的一个有向图从任意顶点出发无法经过若干条边回到该点，则该图是一个有向无环图。

那么当要求课程安排图是否是有向无环图时，我们用拓扑排序来判断。拓扑排序：将图所有顶点进行排序成线性序列，使得图中任意一个有向边 uv，u 在线性序列中出现在 v 前面。

在题目中的提示中有说明，输入的先决条件时由 边缘列表 表示，在这里，我们要将此转换为 邻接表。

广度优先搜索(BFS)

首先，先将边缘列表表示的先决条件转换得到邻接表。然后统计图中每个节点的入度情况，存储在一个列表中。(当入度为 0 时，表示点不作为任何边的终点，也就说该点是所有连接边的起点)

在这里，定义辅助队列 queue，将所有入度为 0 的节点存入队列中，用于后续处理。

开始进行搜索，令队列中的节点出队：

将当前节点邻接节点入度减 1；

当邻接节点入度为 0 时，将其入队。

当队列中的节点出队时，令课程总量减 1：

如果课程图是有向无环图，若完成拓扑排序，那么所有的节点都会入队出队；

若是课程图存在环，那么一定存在节点入度不为 0 的情况；

也就是说，当所有节点入队出队后，课程总量为 0 的情况下，也就能证明课程图是否是有向无环图。

具体的代码见【代码实现 # 广度优先搜索】

深度优先搜索(DFS)

我们先看使用深度优先搜索的思路来判断图是否有环。

在这里，我们借助一个辅助列表(当然也可以考虑用栈)标记每个节点的状态：

未标记，令此时状态为 0；

临时标记，令此时状态为 1；

永久标记，令此时状态为 -1。

开始对每个节点进行深度优先搜索，当存在环时，返回 False，执行过程如下：

当节点状态为 -1 时，表示已永久标记，此时已搜索完毕，不许重复搜索，直接返回 True；

当节点状态为 1 时，表示临时标记，也就说此节点，在此次深搜中又一次对该节点进行了搜索，那么表示图中存在环，那么直接返回 False；

当状态为 0 时，先将节点临时标记(令状态为 1)，然后以此点继续搜索，直至遇到终止条件。

当节点搜索完毕，未发现闭环，则去除临时标记，将节点进行永久标记(令状态为 -1)

如果所有节点都搜索完毕后，不存在环，则返回 True。

具体的代码见【代码实现 # 深度优先搜索】

代码实现

# 广度优先搜索

class Solution:

def canFinish(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> bool:

from collections import deque

# 将边缘列表表示的先决条件转化为 邻接表

adjacency = [[] for _ in range(numCourses)]

# 定义列表统计图中每个节点的入度情况

indegree = [0] * numCourses

for info in prerequisites:

adjacency[info[1]].append(info[0])

indegree[info[0]] += 1

queue = deque()

# 将入度为 0 的节点入队

for i in range(len(indegree)):

if not indegree[i]:

queue.append(i)

# 开始进行搜索

while queue:

u = queue.popleft()

numCourses -= 1

# 搜索邻接节点

for v in adjacency[u]:

# 将邻接节点入度减 1

indegree[v] -= 1

# 如果入度为 0，入队

if indegree[v] == 0:

queue.append(v)

return numCourses == 0

# 深度优先搜索

class Solution:

def canFinish(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> bool:

def dfs(adjacency, sign, i):

if sign[i] == -1:

return True

if sign[i] == 1:

return False

# 开始搜索，先进行临时标记

sign[i] = 1

# 以此节点往下搜索

for j in adjacency[i]:

if not dfs(adjacency, sign, j):

return False

sign[i] = -1

return True

# 定义辅助列表标记状态，初始化为 0，表示未标记

sign = [0] * numCourses

# 将边缘列表表示的先决条件转化为 邻接表

adjacency = [[] for _ in range(numCourses)]

for info in prerequisites:

adjacency[info[1]].append(info[0])

# 开始深搜

for i in range(numCourses):

if not dfs(adjacency, sign, i):

return False

return True

实现结果

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