透视变换原理、相机成像、灭点

相机成像

设世界坐标为(Xw,Yw,Zw)(X_w,Y_w,Z_w)(Xw,Yw,Zw),相机坐标为(Xc,Yc,Zc)(X_c,Y_c,Z_c)(Xc,Yc,Zc),则世界坐标系和相机坐标系需要一个矩阵变换R以及一个位移矩阵T,公式如下：
[XcYcZc1]=[RT01][XwYwZw1]\begin{bmatrix} X_c\\Y_c\\Z_c\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R & T\\0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_w\\Y_w\\Z_w\\1 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡XcYcZc1⎦⎥⎥⎤=[R0T1]⎣⎢⎢⎡XwYwZw1⎦⎥⎥⎤

相机坐标和平面坐标系根据三角形相似原理：

Zc[xy1]=[f000f0001][XcYcZc]Z_c \begin{bmatrix} x\\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f & 0 & 0\\ 0 & f & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_c\\Y_c\\Z_c\\ \end{bmatrix} Zc⎣⎡xy1⎦⎤=⎣⎡f000f0001⎦⎤⎣⎡XcYcZc⎦⎤
、

从平面坐标系到图像坐标系：

设(u,v)代表图像坐标系坐标，设每一个像素的物理尺寸为dx、dy，则有：
u=x/dx+u0v=y/dy+v0u0和v0图像长宽的一半u= x/dx + u_0 \\ v= y/dy + v_0 \\ u_0和v_0 图像长宽的一半 u=x/dx+u0v=y/dy+v0u0和v0图像长宽的一半
所有等式综合起来得到图像上点坐标（u，v）与世界坐标系的关系
[uv1]=1ZcAR[XwYwZw]\begin{bmatrix} u\\v \\1 \end{bmatrix} = \frac{1}{Z_c}AR \begin{bmatrix} X_w\\Y_w\\Z_w \end{bmatrix} ⎣⎡uv1⎦⎤=Zc1AR⎣⎡XwYwZw⎦⎤
将前面三个数表示为一个9x9矩阵，然后化简：
u=m0,0Xw+m0,1Yw+m0,2Zwm2,0Xw+m2,1Yw+m2,2Zwv=m1,0Xw+m1,1Yw+m1,2Zwm2,0Xw+m2,1Yw+m2,2Zwu = \frac{m_{0,0}X_w + m_{0,1}Y_w + m_{0,2}Z_w}{m_{2,0}X_w + m_{2,1}Y_w + m_{2,2}Z_w} \\ v = \frac{m_{1,0}X_w + m_{1,1}Y_w + m_{1,2}Z_w}{m_{2,0}X_w + m_{2,1}Y_w + m_{2,2}Z_w} \\ u=m2,0Xw+m2,1Yw+m2,2Zwm0,0Xw+m0,1Yw+m0,2Zwv=m2,0Xw+m2,1Yw+m2,2Zwm1,0Xw+m1,1Yw+m1,2Zw

对于世界坐标系下平行的两条直线，设方向为D{dx,dy,dy}D\{d_{x},d_{y},d_{y}\}D{dx,dy,dy}则给定直线上一点A(ax,ay,az)A(a_x,a_y,a_z)A(ax,ay,az)，该直线上任意一点表示为X(λ)=A+λDX(\lambda)= A + \lambda DX(λ)=A+λD,带入上式得：
u=m0,0(ax+λdx)+m0,1(ay+λdy)+m0,2(az+λdz)m2,0(ax+λdx)+m2,1(ay+λdy)+m2,2(az+λdz)v=m1,0(ax+λdx)+m1,1(ay+λdy)+m1,2(az+λdz)m2,0(ax+λdx)+m2,1(ay+λdy)+m2,2(az+λdz)u = \frac{m_{0,0}(a_x+\lambda d_x) + m_{0,1}(a_y+\lambda d_y) + m_{0,2}(a_z+\lambda d_z)}{m_{2,0}(a_x+\lambda d_x) + m_{2,1}(a_y+\lambda d_y) + m_{2,2}(a_z+\lambda d_z)} \\ v = \frac{m_{1,0}(a_x+\lambda d_x) + m_{1,1}(a_y+\lambda d_y) + m_{1,2}(a_z+\lambda d_z)}{m_{2,0}(a_x+\lambda d_x) + m_{2,1}(a_y+\lambda d_y) + m_{2,2}(a_z+\lambda d_z)}\\ u=m2,0(ax+λdx)+m2,1(ay+λdy)+m2,2(az+λdz)m0,0(ax+λdx)+m0,1(ay+λdy)+m0,2(az+λdz)v=m2,0(ax+λdx)+m2,1(ay+λdy)+m2,2(az+λdz)m1,0(ax+λdx)+m1,1(ay+λdy)+m1,2(az+λdz)
当世界坐标系下X(λ)中λX(\lambda)中\lambdaX(λ)中λ趋于无穷大时，可以得到极限：
u=m0,0dx+m0,1dy+m0,2dzm2,0dx+m2,1dy+m2,2dzv=m1,0dx+m1,1dy+m1,2dzm2,0dx+m2,1dy+m2,2dzu = \frac{m_{0,0}d_x + m_{0,1}d_y + m_{0,2}d_z}{m_{2,0}d_x + m_{2,1}d_y + m_{2,2} d_z} \\ v = \frac{m_{1,0}d_x + m_{1,1}d_y + m_{1,2}d_z}{m_{2,0}d_x + m_{2,1}d_y + m_{2,2} d_z}\\ u=m2,0dx+m2,1dy+m2,2dzm0,0dx+m0,1dy+m0,2dzv=m2,0dx+m2,1dy+m2,2dzm1,0dx+m1,1dy+m1,2dz
所以对于三维世界平行线上无穷远的点来说，通过相机映射后，两条平行线最终会相交于一点，该点为图像的灭点。

参考博客

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