写在前面

今天亮神花了一早上给讲了支配树，但由于今天网（没）速（人）不（跟）好（上），我们~~残忍地看了他一眼后~~掉线了，于是又用了一下午开流量重新联网并结合缓（课）存（件）学习。

注：本文在原文的基础上加上了作者本人理解，不好勿喷。

就由一道题引入吧。

题目

HDU4694 Important Sisters

简单题意：一个有nnn个点，m" role="presentation" style="position: relative;">mmm条边的有向图，以nnn为起点，若去掉点b" role="presentation" style="position: relative;">bbb，nnn就不能连到a" role="presentation" style="position: relative;">aaa，则称bbb是a" role="presentation" style="position: relative;">aaa的importantimportantimportant sistersistersister,求每个点的所有importantimportantimportant sistersistersister的编号和。

欸好，这题一看我就不会。

暴力O(n2∗(n+m))O(n2∗(n+m))O(n^2*(n+m))，所以我们需要一个更加优美的算法。进入正题~

定义新名词

支配：

在有向图中，固定起点rrr，若r" role="presentation" style="position: relative;">rrr~www的每一条路径都必定经过v" role="presentation" style="position: relative;">vvv且v≠wv≠wv \neq w，则vvv支配w" role="presentation" style="position: relative;">www。

半支配点：

若在原图GGG中有点v" role="presentation" style="position: relative;">vvv，有一条路径 v=v0,v1,v2,...vk=wv=v0,v1,v2,...vk=wv = v_0,v_1,v_2,...v_k = w，使得 dfn[vi]>dfn[w]dfn[vi]>dfn[w]dfn[v_i] > dfn[w] 对于1<=i<=k−11<=i<=k−11 成立 （即不包括点vvv，w" role="presentation" style="position: relative;">www），则记 sdom(w)=min(v)sdom(w)=min(v)sdom(w) = min(v) 。

好，上面突然提到 dfndfndfn ，解释一下。~~到了支配树最恶心的地方了~~

定理、引理、推论及其证明

定理一（支配树定理）

除rrr外都有每个点都有唯一的 idom" role="presentation" style="position: relative;">idomidomidom，且不成环，故所有的 (idom(w),w)(idom(w),w)(idom(w),w) 边形成一棵树，vvv支配w" role="presentation" style="position: relative;">www当且仅当vvv是树中w" role="presentation" style="position: relative;">www的祖先，这棵树叫做支配树。

有了这个定理，就可以发现 importantimportantimportant sisterssisterssisters 这个题目就是求解每个点在支配树上所有祖先的编号之和。只要求出支配树，问题就迎刃而解了。

引入算法

LengauerTarjanLengauerTarjanLengauer_Tarjan 算法： O(n∗α(n))O(n∗α(n))O(n*α(n)) 求出所有点的最近支配点，以及半支配点。（读作：兰高娃-塔儿尖算法）~~然后再等我证会儿再说~~

引理1（路径引理）

从rrr开始 dfs" role="presentation" style="position: relative;">dfsdfsdfs 整张图，按照 dfsdfsdfs序（即 dfndfndfn值）给结点重新编号，得到的树称为搜索树（即后文的TTT树）。

若 dfn[v]<=dfn[w]" role="presentation" style="position: relative;">dfn[v]<=dfn[w]dfn[v]<=dfn[w]dfn[v] ，则 vvv~w" role="presentation" style="position: relative;">www 的任意路径都包含在它们在TTT树中的一个公共祖先。

证明：

如图，结点标号即为其 dfn" role="presentation" style="position: relative;">dfndfndfn 值，黑边为树边，蓝边为原图边。

边(3,2)(3,2)(3,2)的两个端点属于rrr的不同子树（即u" role="presentation" style="position: relative;">uuu不是vvv的祖先，且v" role="presentation" style="position: relative;">vvv不是uuu的祖先），那么这样的边就叫做横叉边。

但是，根据 dfs" role="presentation" style="position: relative;">dfsdfsdfs 的顺序我们可以发现，如果原图有边(2,5)(2,5)(2,5)，那么深搜时就会从222直接走向5" role="presentation" style="position: relative;">555，此时标号就会发生变化，故边(2,5)(2,5)(2,5)不存在。

由上可知，横叉边只从 dfndfndfn 值大的点连向 dfndfndfn 值小的点。

因为题设中说 dfn[v]<=dfn[w]dfn[v]<=dfn[w]dfn[v] ，那么不存在从点vvv到点w" role="presentation" style="position: relative;">www，且不经过任何 dfn[i]<dfn[v]dfn[i]<dfn[v]dfn[i] 的点iii的路径，所以从v" role="presentation" style="position: relative;">vvv到www的路径中一定会经过一个dfn" role="presentation" style="position: relative;">dfndfndfn值小的点，即它们的一个公共祖先。

引理2

记 v+−>wv+−>wv+->w 表示vvv是w" role="presentation" style="position: relative;">www在TTT树中的祖先，且 v≠w" role="presentation" style="position: relative;">v≠wv≠wv \neq w （即完全祖先）。

记 v⋅−>wv·−>wv·->w 表示vvv是w" role="presentation" style="position: relative;">www在TTT树中的祖先，但允许 v=w" role="presentation" style="position: relative;">v=wv=wv=w 。

则有

idom(w)+−>widom(w)+−>widom(w)+->w

证明：

因为 idom(w)idom(w)idom(w) 在每一条rrr~w" role="presentation" style="position: relative;">www的路径上，那就必定在这一条树路径上，所以，必然有 idom(w)+−>widom(w)+−>widom(w)+->w 。

引理3

sdom(w)+−>wsdom(w)+−>wsdom(w)+->w

证明：

设www在T" role="presentation" style="position: relative;">TTT树中的父亲为 fa(w)fa(w)fa(w) ，则 (fa(w),w)(fa(w),w)(fa(w),w) 是原图GGG中的一条边。因 sdom" role="presentation" style="position: relative;">sdomsdomsdom 的定义，可以发现 fa(w)fa(w)fa(w) 符合要求，由 sdomsdomsdom 求的是最小的，那么至少可以有 sdom(w)=fa(w)sdom(w)=fa(w)sdom(w)=fa(w) ，故可得 sdom(w)<=fa(w)<wsdom(w)<=fa(w)<wsdom(w) 。（比较的是 dfndfndfn 值）

再有 sdomsdomsdom 的定义得，有一条路径 sdom(w)=v0,v1,v2,...,vk=wsdom(w)=v0,v1,v2,...,vk=wsdom(w)=v_0,v_1,v_2,...,v_k=w 使得 dfn[vi]>dfn[w]dfn[vi]>dfn[w]dfn[v_i]>dfn[w] 对于 1<=i<=k−11<=i<=k−11 成立。由引理1可知，因为 dfn[sdom(w)]<dfn[w]dfn[sdom(w)]<dfn[w]dfn[sdom(w)] ，路径上必有某一节点viviv_i是 sdom(w)sdom(w)sdom(w) 和www在T" role="presentation" style="position: relative;">TTT树中的公共祖先，即必然有 dfn[vi]<=dfn[sdom(w)]dfn[vi]<=dfn[sdom(w)]dfn[v_i] 。这意味着只有使 i=0i=0i=0，即 vi=sdom(w)vi=sdom(w)v_i=sdom(w) 才符合。

故有 sdom(w)sdom(w)sdom(w) 是 sdom(w)sdom(w)sdom(w) 和 www 的公共祖先，即 sdom(w)" role="presentation" style="position: relative;">sdom(w)sdom(w)sdom(w) 是 www 的完全祖先。

引理4

对于任意结点 w" role="presentation" style="position: relative;">www，w≠rw≠rw \neq r，idom(w)⋅−>sdom(w)idom(w)·−>sdom(w)idom(w)·->sdom(w) 。

证明：

由引理2、3得 idom(w)idom(w)idom(w) 和 sdom(w)sdom(w)sdom(w) 都是www的完全祖先。

用反证法，假定 sdom(w)·−>idom(w)" role="presentation" style="position: relative;">sdom(w)⋅−>idom(w)sdom(w)·−>idom(w)sdom(w)·->idom(w) ，则 dfn[sdom(w)<dfn[idom(w)]dfn[sdom(w)<dfn[idom(w)]dfn[sdom(w) 。

我们在从rrr到 sdom(w)" role="presentation" style="position: relative;">sdom(w)sdom(w)sdom(w) 的路径后面接上 sdom(w)sdom(w)sdom(w) 中规定的路径 sdom(w)=v0,v1,v2,...,vk=wsdom(w)=v0,v1,v2,...,vk=wsdom(w)=v_0,v_1,v_2,...,v_k=w （见上图）。

这条从rrr到w" role="presentation" style="position: relative;">www的路径避开了TTT树中既是w" role="presentation" style="position: relative;">www的完全祖先，也是 sdom(w)sdom(w)sdom(w) 的完全后代（即不等于它自身的后代）的那些点(图中点222)，那么我们假定的 idom(w)" role="presentation" style="position: relative;">idom(w)idom(w)idom(w) 就在这些点中。此时从rrr到w" role="presentation" style="position: relative;">www的路径没有全部经过点 idom(w)idom(w)idom(w) ，不符合 idomidomidom 的定义。

因此 idom(w)idom(w)idom(w) 不在这些点中，即 idom(w)idom(w)idom(w) 一定是 sdom(w)sdom(w)sdom(w) 的祖先。

引理5

若结点vvv，w" role="presentation" style="position: relative;">www满足 v⋅−>wv·−>wv·->w，则有 v⋅−>idom(w)v·−>idom(w)v·->idom(w) 或者 idom(w)⋅−>idom(v)idom(w)·−>idom(v)idom(w)·->idom(v) 。

证明：

设xxx是 idom(v)" role="presentation" style="position: relative;">idom(v)idom(v)idom(v) 的任意一个完全后代，且同时是vvv的完全祖先，则必然有一条从r" role="presentation" style="position: relative;">rrr到vvv不经过x" role="presentation" style="position: relative;">xxx的路径（若所有路径全都经过xxx，则应该 idom(v)=x" role="presentation" style="position: relative;">idom(v)=xidom(v)=xidom(v)=x，xxx不能是 idom(v)" role="presentation" style="position: relative;">idom(v)idom(v)idom(v) 的完全后代）。

将这条路径和从vvv到w" role="presentation" style="position: relative;">www在TTT树上的路径连接起来，就得到了一条从r" role="presentation" style="position: relative;">rrr到www不经过x" role="presentation" style="position: relative;">xxx的路径。

idom[w]idom[w]idom[w] 不能在 idom[v]idom[v]idom[v] 到 vvv 之间（这段之间的路径至少有两条），所以 idom[w]" role="presentation" style="position: relative;">idom[w]idom[w]idom[w] 要么是vvv的后代，要么是 idom[v]" role="presentation" style="position: relative;">idom[v]idom[v]idom[v] 的祖先。

v⋅−>idom(w)v·−>idom(w)v·->idom(w) 示例

idom(w)⋅−>idom(v)idom(w)·−>idom(v)idom(w)·->idom(v) 示例

好！重头戏来了~

定理2

设w≠rw≠rw \neq r，假设所有使得 sdom(w)+−>u⋅−>wsdom(w)+−>u·−>wsdom(w)+->u·->w 的所有uuu都满足 sdom(u)>=sdom(w)" role="presentation" style="position: relative;">sdom(u)>=sdom(w)sdom(u)>=sdom(w)sdom(u)>=sdom(w) ，那么 idom(w)=sdom(w)idom(w)=sdom(w)idom(w)=sdom(w)。

证明：

由引理444： idom(w)·−>sdom(w)" role="presentation" style="position: relative;">idom(w)⋅−>sdom(w)idom(w)·−>sdom(w)idom(w)·->sdom(w) 可得，我们只要证明了 sdom(w)sdom(w)sdom(w) 支配了www,那么就可以得到 idom(w)=sdom(w)" role="presentation" style="position: relative;">idom(w)=sdom(w)idom(w)=sdom(w)idom(w)=sdom(w)。

考虑任意一条从rrr到w" role="presentation" style="position: relative;">www的路径，记为ppp。设x" role="presentation" style="position: relative;">xxx为这条路径上最后一个满足 dfn[x]<dfn[sdom(w)]dfn[x]<dfn[sdom(w)]dfn[x] 的点。

分类讨论。若无此xxx，则有 sdom(w)=r" role="presentation" style="position: relative;">sdom(w)=rsdom(w)=rsdom(w)=r ，一定支配www。若有x" role="presentation" style="position: relative;">xxx，设yyy为这条路径上在x" role="presentation" style="position: relative;">xxx之后，满足 dfn[sdom(w)]⋅−>dfn[y]⋅−>dfn[w]dfn[sdom(w)]·−>dfn[y]·−>dfn[w]dfn[sdom(w)]·->dfn[y]·->dfn[w] 的第一个点。设路径 q=(x=v0,v1,v2,...,vk=y)q=(x=v0,v1,v2,...,vk=y)q=(x=v_0,v_1,v_2,...,v_k=y) 是路径ppp中从x" role="presentation" style="position: relative;">xxx到yyy的部分。（如图）

（点a" role="presentation" style="position: relative;">aaa只是用来体现 sdom(w)sdom(w)sdom(w) 的，不要在意）

我们断言：对于 1<=i<=k−11<=i<=k−11 均满足 dfn[vi]>dfn[y]dfn[vi]>dfn[y]dfn[v_i]>dfn[y] 。

继续大力反证法，我们假定存在有一个iii使得 dfn[vi]<dfn[y]" role="presentation" style="position: relative;">dfn[vi]<dfn[y]dfn[vi]<dfn[y]dfn[v_i] 。由引理一得，应当有某个jjj满足 i<=j<=k−1" role="presentation" style="position: relative;">i<=j<=k−1i<=j<=k−1i 且点 vjvjv_j 是点 viviv_i 和 yyy 的公共祖先（即vj·−>j" role="presentation" style="position: relative;">vj⋅−>jvj·−>jv_j·->j）。根据xxx的选择方式：路径上 dfn[x]<dfn[sedom(w)]" role="presentation" style="position: relative;">dfn[x]<dfn[sedom(w)]dfn[x]<dfn[sedom(w)]dfn[x] 的最后一点，又因为 vjvjv_j 在路径上xxx的后方，那么一定有 dfn[vj]>=dfn[sdom(w)]" role="presentation" style="position: relative;">dfn[vj]>=dfn[sdom(w)]dfn[vj]>=dfn[sdom(w)]dfn[v_j]>=dfn[sdom(w)] （即 sdom(w)⋅−>vjsdom(w)·−>vjsdom(w)·->v_j ）。综合式子，则有 sdom(w)⋅−>vj⋅−>y⋅−>wsdom(w)·−>vj·−>y·−>wsdom(w)·->v_j·->y·->w 。此时 yyy 就不符合是第一个点这个选择条件了。断言证毕。

由 x+−>y" role="presentation" style="position: relative;">x+−>yx+−>yx+->y 结合我们对半支配点 sdom(y)+−>ysdom(y)+−>ysdom(y)+->y 的证明，可以得出 dfn[sdom(y)]<=dfn[x]dfn[sdom(y)]<=dfn[x]dfn[sdom(y)] （最多可以为xxx）。再联系x" role="presentation" style="position: relative;">xxx选择方式，得 dfn[sdom(y)]<=dfn[x]<dfn[sdom(w)]dfn[sdom(y)]<=dfn[x]<dfn[sdom(w)]dfn[sdom(y)] 。

再根据断言和点 sdom(w)sdom(w)sdom(w) 一定在路径qqq上，若 y≠sdom(w)" role="presentation" style="position: relative;">y≠sdom(w)y≠sdom(w)y \neq sdom(w) 那么点 sdom(y)sdom(y)sdom(y) 就应当和点 sdom(w)sdom(w)sdom(w) 重合，不满足 dfn[sdom(y)]<dfn[sdom(w)]dfn[sdom(y)]<dfn[sdom(w)]dfn[sdom(y)] 的条件，因此 y=sdom(w)y=sdom(w)y=sdom(w) ，且点 sdom(w)sdom(w)sdom(w) 必在路径ppp上。由于路径p" role="presentation" style="position: relative;">ppp是任意的，故 sdom(w)sdom(w)sdom(w) 支配了www。证毕。

定理3

若有点 w≠r" role="presentation" style="position: relative;">w≠rw≠rw \neq r ，uuu是所有满足 sdom(w)+−>u·−>w" role="presentation" style="position: relative;">sdom(w)+−>u⋅−>wsdom(w)+−>u·−>wsdom(w)+->u·->w 的节点中 sdom(u)sdom(u)sdom(u) 最小的那个，那么 sdom(u)<=sdom(w)sdom(u)<=sdom(w)sdom(u) ,且 idom(u)=idom(w)idom(u)=idom(w)idom(u)=idom(w) 。

证明：

因为至少可以使 u=wu=wu=w ，所以很容易就可以发现 sdom(u)<=sdom(w)sdom(u)<=sdom(w)sdom(u) 。

由引理四 idom(w)idom(w)idom(w) 是 sdom(w)sdom(w)sdom(w) 的祖先，因此 idom(w)idom(w)idom(w) 也是uuu的完全祖先。

因为 u·−>w" role="presentation" style="position: relative;">u⋅−>wu·−>wu·->w，再由引理五可知，只能使 idom(w)⋅−>idom(u)idom(w)·−>idom(u)idom(w)·->idom(u) 。为了证明 idom(u)=idom(w)idom(u)=idom(w)idom(u)=idom(w) ，就应当证明点 idom(u)idom(u)idom(u) 就可以支配www。

考虑任意一条从r" role="presentation" style="position: relative;">rrr到www的路径p" role="presentation" style="position: relative;">ppp，设点xxx是路径中最后一个满足 dfn[x]<dfn[idom(u)]" role="presentation" style="position: relative;">dfn[x]<dfn[idom(u)]dfn[x]<dfn[idom(u)]dfn[x]。

基本同定理二的证明思路，如果没有符合要求的点xxx，则有 idom(u)=r" role="presentation" style="position: relative;">idom(u)=ridom(u)=ridom(u)=r 必然支配www。否则，设点y" role="presentation" style="position: relative;">yyy是路径上xxx后满足 idom(u)·−>y·−>w" role="presentation" style="position: relative;">idom(u)⋅−>y⋅−>widom(u)·−>y·−>widom(u)·->y·->w 的第一个点，设路径 q=(x=v0,vq,v2,...vk=y)q=(x=v0,vq,v2,...vk=y)q=(x=v_0,v_q,v_2,...v_k=y) 是路径ppp中从x" role="presentation" style="position: relative;">xxx到yyy的一部分。同理可证，dfn[sdom(y)]<=dfn[x]" role="presentation" style="position: relative;">dfn[sdom(y)]<=dfn[x]dfn[sdom(y)]<=dfn[x]dfn[sdom(y)] 。再由引理四 idom(u)⋅−>sdom(u)idom(u)·−>sdom(u)idom(u)·->sdom(u) 得 dfn[idom(u)]<=dfn[sdom(u)]dfn[idom(u)]<=dfn[sdom(u)]dfn[idom(u)] ，结合所有式子得 dfn[sdom(y)]<=dfn[x]>dfn[idom(u)]>=dfn[sdom(u)]dfn[sdom(y)]<=dfn[x]>dfn[idom(u)]>=dfn[sdom(u)]dfn[sdom(y)]dfn[idom(u)]>=dfn[sdom(u)] 。

由uuu的选择方式得，为了使u" role="presentation" style="position: relative;">uuu是 dfndfndfn 最小的点，yyy不可能是 sdom(w)" role="presentation" style="position: relative;">sdom(w)sdom(w)sdom(w) 的完全后代，y+−>uy+−>uy+->u。

假若yyy是u" role="presentation" style="position: relative;">uuu的祖先，也是 idom(u)idom(u)idom(u) 的完全后代。我们在rrr到sdom(y)" role="presentation" style="position: relative;">sdom(y)sdom(y)sdom(y)的树上路径后接上使 sdom(y)sdom(y)sdom(y) 成立的那条路径（sdom(y)=v0,v1,v2,...,vk=ysdom(y)=v0,v1,v2,...,vk=ysdom(y)=v_0,v_1,v_2,...,v_k=y 其中对于 1<=i<k1<=i<k1 均满足 dfn[vi]>dfn[y]dfn[vi]>dfn[y]dfn[v_i]>dfn[y]），再接上从yyy到u" role="presentation" style="position: relative;">uuu的树上路径，就形成了一条从rrr到u" role="presentation" style="position: relative;">uuu而不经过 idom(u)idom(u)idom(u) 的路径，矛盾，故不可能yyy既是u" role="presentation" style="position: relative;">uuu的祖先，又是 #idom(u)$ 的完全后代。

由于 idom(u)⋅−>y+−>u⋅−>widom(u)·−>y+−>u·−>widom(u)·->y+->u·->w ，且 idom(u)⋅−>y⋅−>widom(u)·−>y·−>widom(u)·->y·->w ，只能使 y=idom(u)y=idom(u)y=idom(u) （其实证法和定理二的证明基本一样）。因此， idom(u)idom(u)idom(u)（即yyy）在从r" role="presentation" style="position: relative;">rrr到www的任意一条路径上，故 idom(u)" role="presentation" style="position: relative;">idom(u)idom(u)idom(u) 支配www。证毕~（不想配图了qwq）

对比定理二，我们可以发现，使定理二中所有使得 sdom(w)+−>u·−>w" role="presentation" style="position: relative;">sdom(w)+−>u⋅−>wsdom(w)+−>u·−>wsdom(w)+->u·->w 的uuu都满足 sdom(u)>=sdom(w)" role="presentation" style="position: relative;">sdom(u)>=sdom(w)sdom(u)>=sdom(w)sdom(u)>=sdom(w) ，即使 dfn[sdom(u)]dfn[sdom(u)]dfn[sdom(u)] 最小的点uuu满足 sdom(u)>=sdom(w)" role="presentation" style="position: relative;">sdom(u)>=sdom(w)sdom(u)>=sdom(w)sdom(u)>=sdom(w) ，又因为定理三中 dfn[sdom(u)]dfn[sdom(u)]dfn[sdom(u)] 最小的点uuu满足 sdom(u)<=sdom(w)" role="presentation" style="position: relative;">sdom(u)<=sdom(w)sdom(u)<=sdom(w)sdom(u)。二者均成立时只能取等，故可将定理二变为：

设w≠rw≠rw \neq r，假设所有使得 sdom(w)+−>u⋅−>wsdom(w)+−>u·−>wsdom(w)+->u·->w 的所有uuu都满足 sdom(u)=sdom(w)" role="presentation" style="position: relative;">sdom(u)=sdom(w)sdom(u)=sdom(w)sdom(u)=sdom(w) ，那么 idom(w)=sdom(w)idom(w)=sdom(w)idom(w)=sdom(w)。

推论

设 w≠rw≠rw \neq r ，uuu是所有满足 sdom(w)+−>u·−>w" role="presentation" style="position: relative;">sdom(w)+−>u⋅−>wsdom(w)+−>u·−>wsdom(w)+->u·->w 的节点中 sdom(u)sdom(u)sdom(u)的最小者，那么成立：
1、若 sdom(u)=sdom(w)sdom(u)=sdom(w)sdom(u)=sdom(w) ，则 idom(w)=sdom(w)idom(w)=sdom(w)idom(w)=sdom(w)。
2、否则（即 sdom(u)<sdom(w)sdom(u)<sdom(w)sdom(u)），idom(w)=idom(u)idom(w)=idom(u)idom(w)=idom(u)。

这个推论基本就是定理二、三的一个整合，这个推论可以使我们由 sdomsdomsdom 推到 idomidomidom，最后就要看怎么得到 sdomsdomsdom 了。

挖坑代填……

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