The Standard Capital Asset Pricing Model

Modern Portfolio Theory

Measurements of Return and Risk

单一证券：算术平均法，通过历史数据
E(R)=1n(R1+R2+...+Rn)E(R) = \frac1n(R_1 + R_2 + ... + R_n)E(R)=n1(R1+R2+...+Rn)
σ2=∑1n(xi−μ)2\sigma^2 = \sum\frac1n(x_i - \mu)^2σ2=∑n1(xi−μ)2

两个证券：加权平均法
E(R)=w1R1+w2R2,(w!+w2=1)E(R) = w_1R_1 + w_2R_2, (w_!+w_2 = 1)E(R)=w1R1+w2R2,(w!+w2=1)
σ=(w1σ1)2+(w2σ2)2+2w1w2σ1σ2ρ\sigma = \sqrt{(w_1\sigma_1)^2 + (w_2\sigma_2)^2 + 2w_1w2\sigma_1\sigma_2\rho}σ=(w1σ1)2+(w2σ2)2+2w1w2σ1σ2ρ

Indifference Curve无差异曲线（E(R ) - y, σ\sigmaσ - x）

投资者的分类

风险厌恶型 risk-averse
无差异曲线倾斜向上，加速上升: 承担更多的风险会要求更高的回报
（大多数人都属于风险厌恶型，所以当提到无差异曲线默认这一条）
风险中性 risk-neutral
水平线
风险偏好 risk-seeking
向下弯曲，加速下降

无差异曲线（需求侧）

upward sloping and convex（get steeper）
曲线上每一个点都是risk-return pairs
同一条曲线上的两点效用相同（风险小收益小，风险大收益也大）
越在左上↖️的曲线效用越大

有效前沿（供给侧）

有多少资产可以被选择用来投资
ρ=1\rho = 1ρ=1, 两个资产线性相关，你涨我也涨
ρ<1\rho < 1ρ<1 曲线向左凸，ρ\rhoρ 减小，σ=(w1σ1)2+(w2σ2)2+2w1w2σ1σ2ρ\sigma = \sqrt{(w_1\sigma_1)^2 + (w_2\sigma_2)^2 + 2w_1w2\sigma_1\sigma_2\rho}σ=(w1σ1)2+(w2σ2)2+2w1w2σ1σ2ρ也减小
ρ=−1\rho = -1ρ=−1，两条直线，类似航空股和石油股
所有可以投资的组合在ρ=1\rho = 1ρ=1和ρ=−1\rho = -1ρ=−1所围起来的两个大三角形中
最优的投资组合为ρ=−1\rho = -1ρ=−1时和y轴的交点，与高风险高收益的那个资产点的连线上
多个证券：
最小方差点为最左的小黑点
不包括无风险组合，找到的都是all risky asset
整体的抛物线为最小方差前沿（蓝色➕虚线部分）
蓝色部分为有效前沿

Optimal Portfolio Selection

将需求侧去靠近有效前沿（供给侧），当有切点时，切点即为最优投资组合。

A – 找不到，B – 不有效

Capital Asset Pricing Model

Capital Allocation Line(cal)

线性变化

Capital Market Line(cml)

每个人的风险偏好不一样，假设所有investors都有相同的预期（homogeneous expectations）
−>->−> 均值和标准差都一样
−>->−>对每个人有效前沿都一样了
−>->−> 可以找一个optimal risky asset
−>->−> 可以形成市场化的效果 market portfolio

是一条特殊的cal
由risk-free asset 和 market portfolio的连线组成
r与有效前沿的切线得到的m点最有效
延长线上的c点是一个加杠的过程

公式

E(Rp)=Rf+E(RM)−RfσMσpE(R_p) = R_f + \frac{E(R_M) - R_f}{\sigma_M}\sigma_pE(Rp)=Rf+σME(RM)−Rfσp

intercept 是 risk-free rate
斜率slope是market portfolio 的夏普比率Sharpe ratio
SRMarketPortfolio=Rp−Rfσp=E(RM)−RfσMSR_{Market Portfolio} = \frac{R_p - R_f}{\sigma_p} = \frac{E(R_M) - R_f}{\sigma_M}SRMarketPortfolio=σpRp−Rf=σME(RM)−Rf

A-B未在cml上投资导致多承担的风险：非系统性风险，可通过分散化减小
B- C无法进一步优化的部分的风险：系统性风险

beta 个股和大盘间的敏感程度

βmkt=1\beta_{mkt} =1βmkt=1
βi=cov(Ri,Rm)σmkt2=ρi,mσiσmσm2=ρi,mσiσm\beta_i = \frac{cov(R_i,R_m)}{\sigma^2_{mkt}} = \frac{\rho_{i,m}\sigma_i\sigma_m}{\sigma^2_{m}} = \rho_{i,m}\frac{\sigma_i}{\sigma_m}βi=σmkt2cov(Ri,Rm)=σm2ρi,mσiσm=ρi,mσmσi 记最右公式就好

CAPM

假设条件

没有交易费用
资产无限可分
没有税收
是一个价格接受者 price taker，不是庄家，不会影响市场价格
投资只考虑标准差和收益–纯理性的投资者
可以无限做空
可以无限按照无风险利率拆进或者拆出
投资者都是对未来一期same single holding period 的收益进行计划
所有投资者对资产都有相同的预期
所有资产都有市场，人力资源都可以拿来交易，流动性充足

component

理性投资者不考虑非系统性风险

收益率： Rf+premiumR_f + premiumRf+premium（溢价部分）

Security Market Line(sml) 证券市场线

CAPM的图形表达式
用以证券选择 security- selection
在sml线即定价准确，在线下方则高估了收益（要去 short做空），在线上方即低估了收益（超出了预估，要买进，long）
-

performance measures 业绩指标–都要会计算

夏普比率/业绩指数Sharpe performance index -SPI

分子:平均超额收益 mean excess return
分母：整个投资组合的标准差
是一个总风险
每承担一单位的总风险所获得的超额回报
SPI=E(Ri)−RfσiSPI = \frac{E(R_i) - R_f}{\sigma_i}SPI=σiE(Ri)−Rf
risk adjusted return. 经过风险调整后的收益
是 CAL这条线的斜率，越高越好

特雷诺比率/业绩指数Treynor performance index -TPI

TPI=E(Ri)−Rfβi=E(Rm)−RfTPI = \frac{E(R_i) - R_f}{\beta_i} = E(R_m) - R_fTPI=βiE(Ri)−Rf=E(Rm)−Rf(除以βm\beta_mβm，但是βm\beta_mβm = 1 )
分子也是超额回报，分母是β\betaβ，即系统性风险
每承担一单位的系统性风险，所获得的超额回报，越高越好
通常做 well-diversified资产（完全分散化的投资组合）的衡量

Jensen’s performance index -JPI/Jensen’s α\alphaα

αi=Ri−[Rf+β(Rm−Rf)]\alpha_i = R_i - [R_f +\beta(R_m - R_f)]αi=Ri−[Rf+β(Rm−Rf)]
risk adjusted return（用的是减法）
相当于真实收益率-CAPM的收益率
度量的也是一个systematic risk
well-diversified portfolio
只有 β\betaβ相同才可以比较 α\alphaα

Sortino Ratio

SR=Rp−T1N∑t=1Nmin(0,Rpt−T)2SR = \frac{R_p - T}{\sqrt{\frac1N\sum^N_{t=1}min(0, R_{pt} - T)^2}}SR=N1∑t=1Nmin(0,Rpt−T)2Rp−T
T是required rate of return或者是MAR（ minimum accepted rate of return）最低可接受的回报
分子衡量的也是一个超额回报
分母：半标准差（一般考试会给的）；negative returns负数（亏钱）的标准差
T：一般会给MAR，不然可以用risk-free rate或者hurdle rate （障碍率）来替代

tracking error

TE=σ(Rp−Rb)TE = \sigma_{(R_p-R_b)}TE=σ(Rp−Rb)
实际的RpR_pRp - 一个benchmark 基准RbR_bRb
差值的标准差

information ratio（ir）

IR=E(Rp)−R(RB)σ(Rp−Rb)IR = \frac{E(R_p) - R(R_B)}{\sigma_{(R_p-R_b)}}IR=σ(Rp−Rb)E(Rp)−R(RB)
分母为te，分子也是一个超额收益，是跟参照系比较的
是经过风险调整后的
收益/风险；越高越好

套利定价理论和多因素模型

Arbitrage Pricing Theory

线性模型
多种系统性风险因子（GDP，通货膨胀，商业周期，利率等）
E(Rp)=RF+βP,1(λ1)+βP,2(λ2)+...+βP,k(λk)E(R_p) = R_F + \beta_{P,1}(\lambda_1) + \beta_{P,2}(\lambda_2)+...+ \beta_{P,k}(\lambda_k)E(Rp)=RF+βP,1(λ1)+βP,2(λ2)+...+βP,k(λk)
λi\lambda_iλi 是一个差，实际的-rf 的风险溢价部分
β\betaβ 是一个sensitivity
CAPM模型是apt的一个特例
pure factor portfolio纯因素模型：资产组合中某资产敏感程度为1，其他资产敏感程度都为0。帮忙用以对冲hedge

Fama-French three factor model

Ri−RF.=αi+βi,M(RM−RF).+βi,SMB+βi,HMLHML+eiR_i - R_F. = \alpha_i + \beta_{i,M}(R_M-R_F). +\beta_{i,SMB} + \beta_{i,HML}HML + e_iRi−RF.=αi+βi,M(RM−RF).+βi,SMB+βi,HMLHML+ei
回归模型
常数项αi\alpha_iαi, 三项外对收益率的描绘 residual return。如果三项可以很好描述超额收益，则alpha为0，否则有值
残差项eie_iei，第一项为市场因素（同前）
SMB:small minus Big，小盘股投资组合 - 大盘股投资组合
HML: high minus low，book-to-market ratio账面价值比市值，财务指标高的（value stock价值股）投资组合-低的（growth stock成长股/垃圾股）

multi-factor models 多因素模型—事后的剖析

Ri=E(Ri)+βi,1Fi+βi,2F2+...+βi,kFk+eiR_i =E(R_i) + \beta_{i,1}F_i +\beta_{i,2}F_2+ ... + \beta_{i,k}F_k+ e_iRi=E(Ri)+βi,1Fi+βi,2F2+...+βi,kFk+ei
考察RiR_iRi 是一个实际回报率，后面一串相当于预期回报以外的surprise
系统性风险
F 预期值之间的差距
eie_iei公司特定的收益

single-factor models 单因素模型

only one risk. factors
其他同多因素

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