实变函数与泛函分析知识点整理

实变函数与泛函分析

未完待续

4.1 Lp空间L^{p}空间Lp空间

定义Lp空间和范数L^{p}空间和范数Lp空间和范数：
LpL^pLp范数： ∥f∥p=(∫E∣f(x)∣pdx)1p\| f \|_p =( \int _E|f(x)|^pdx)^ \frac{1}{p}∥f∥p=(∫E∣f(x)∣pdx)p1
Lp空间L^p空间Lp空间：
LP(E)={f∣∥f∥p<+∞}L^P(E) = \{ f| \|f\|_p< +\infin\} LP(E)={f∣∥f∥p<+∞}
引理：
a1pb1q≤ap+bqa^{ \frac{1}{p}}b^\frac{1}{q} \leq \frac{a}{p}+\frac{b}{q}ap1bq1≤pa+qb
Holder不等式：
E是n维可测集，p,q共轭，f∈LP(E),g∈Lq(E),则∥fg∥≤∥f∥p∥g∥qE 是n维可测集，p,q共轭，f\in L^P(E),g \in L^q(E) ,则 \|fg\| \leq \|f\|_p\|g\|_qE是n维可测集，p,q共轭，f∈LP(E),g∈Lq(E),则∥fg∥≤∥f∥p∥g∥q
利用Holder不等式得出结论：
m(E)<∞,p1<p2,Lp2(E)⊂Lp1(E)m(E)<\infin, p_1<p_2,L^{p_2}(E) \sub L^{p_1}(E)m(E)<∞,p1<p2,Lp2(E)⊂Lp1(E)
特别注意，holder不等式中p=q=2时，变成柯西施瓦茨不等式
范数公理

齐次性：∥af∥=∣a∣∥f∥\| af\| = |a| \|f\|∥af∥=∣a∣∥f∥
正定性：∥f∥p=0当且仅当f=0a.e.E\|f\|_p =0 当且仅当f=0 a.e.E∥f∥p=0当且仅当f=0a.e.E
三角不等式：∥f+g∥p≤∥f∥p+∥g∥p\|f+g\|_p \leq \|f\|_p +\|g\|_p∥f+g∥p≤∥f∥p+∥g∥p
证明三角不等式

定理
给定f∈LP(E),(1≤p≤∞),pq共轭,存在函数g∈Lq(E),且∥g∥q=1,holder等号成立给定f \in L^P(E) , (1\leq p \leq \infin), pq共轭,存在函数g\in L^q(E) ,且\|g\|_q=1,holder等号成立给定f∈LP(E),(1≤p≤∞),pq共轭,存在函数g∈Lq(E),且∥g∥q=1,holder等号成立
距离公理：
正定性
对称性
三角不等式
L-p收敛
极限唯一 fm→f,fm→g,则f(x)=g(x)a.e.Ef_m \rightarrow f, f_m \rightarrow g, 则f(x) = g(x) a.e.Efm→f,fm→g,则f(x)=g(x)a.e.E
极限加减：fLP→f,gmLP→g，fm+gmLP→f+gf LP \rightarrow f, g_m LP \rightarrow g，f_m+g_m LP\rightarrow f+gfLP→f,gmLP→g，fm+gmLP→f+g
fmLP→f,lim⁡m→∞∥fn∥p=∥f∥pf_m LP \rightarrow f,\lim_{m\rightarrow \infin}\|f_n\|_p = \|f\|_pfmLP→f,limm→∞∥fn∥p=∥f∥p
n维可测集，fm,ff_m, ffm,f都是LP，p≥0,fmp \geq 0, f_mp≥0,fmLP收敛fff推出依测度收敛
LP控制收敛定理：E∈Mn，f,fm∈M,m=1,2,3,...,而且fm→f,a.e.E,或者fn依测度收敛到f,g∈Lp(E),1≤p≤+∞,使得∣fn(x)∣≤g(x),a.e.E,则fm以LP收敛到fE \in \mathbb {M}_n，f,f_m \in \mathbb{M}, m=1,2,3,..., 而且f_m \rightarrow f, a.e.E, 或者f_n依测度收敛到f, g \in L^p(E),1\leq p \leq +\infin, 使得|f_n(x)|\leq g(x), a.e.E, 则f_m以LP收敛到fE∈Mn，f,fm∈M,m=1,2,3,...,而且fm→f,a.e.E,或者fn依测度收敛到f,g∈Lp(E),1≤p≤+∞,使得∣fn(x)∣≤g(x),a.e.E,则fm以LP收敛到f
LP空间的完备性
LP空间的可分性

4.2 L2空间L^2空间L2空间

L2空间上的内积定义：L^2空间上的内积定义：L2空间上的内积定义：
(f,g)=∫Ef(x)g(x)dx(f,g) = \int_E f(x)g(x)dx(f,g)=∫Ef(x)g(x)dx
称为f与g的内积
内积公理：
正定性：(f,f)≥0(f,f) \geq 0(f,f)≥0且(f,f)=0ifff=0(f,f)=0 iff \ f=0(f,f)=0iff f=0
对称性：(f,g)=(g,f)(f,g) = (g,f)(f,g)=(g,f)
双线性性：(af,g)=a(f,g)(af,g) =a(f,g)(af,g)=a(f,g)
(f+g,h)=(f,h)+(g,h)(f+g,h) = (f,h)+(g,h)(f+g,h)=(f,h)+(g,h)
弱收敛性的定义：
lim⁡m→∞(fm,g)=(f,g)\lim_{m \rightarrow \infin}(f_m,g) = (f,g)m→∞lim(fm,g)=(f,g)
则称fmf_mfm弱收敛到fff
L2收敛比弱收敛强L^2收敛比弱收敛强L2收敛比弱收敛强
f∈L2(E),fm⊂L2(E),则fmL2→f的充要条件是fmw→f且lim⁡m→∞∥fm∥=∥f∥f \in L^2(E),{f_m} \sub L^2(E),则f_m L^2 \rightarrow f的充要条件是f_m w \rightarrow f且\lim_{m\rightarrow \infin}\|f_m\| = \|f\|f∈L2(E),fm⊂L2(E),则fmL2→f的充要条件是fmw→f且limm→∞∥fm∥=∥f∥
正交系的定义
正交
正交系
标准正交系
傅里叶系数和傅里叶级数
Bessel定理

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