文章目录

一、定义
- 内容
二、性质
- 1.a≡b(moda≡b (moda≡b(mod n)⇐⇒I(a)≡I(b)(modn)\Leftarrow \Rightarrow I(a)≡I(b)(modn)⇐⇒I(a)≡I(b)(mod φ(n))φ(n))φ(n))
- 2.I(ab)≡I(a)+I(b)(modI(ab)≡I(a)+I(b) (modI(ab)≡I(a)+I(b)(mod φ(n))φ(n))φ(n))
- - 证明
  - 推论一：I(ak)≡kI(a)(modI(a^k)≡kI(a) (modI(ak)≡kI(a)(mod φ(n))φ(n))φ(n))
  - 推论二：I(∏i=1kai)≡∑i=1kI(ai)(modI(\prod_{i=1}^ka^i )≡\sum_{i=1}^kI(a^i) (modI(∏i=1kai)≡∑i=1kI(ai)(mod φ(n))φ(n))φ(n))
- 3.当gcd(a,n)=1gcd(a,n)=1gcd(a,n)=1，且有两个原根g1,g2g_1,g_2g1,g2时,indg1a≡indg1g2∗indg2a(modind_{g_1}a≡ind_{g_1}{g_2}*ind_{g_2}a(modindg1a≡indg1g2∗indg2a(mod φ(n))φ(n))φ(n))
- - 证明
三、简单应用·解方程3x5≡1（mod3x^5≡1（mod3x5≡1（mod 23)23)23)

一、定义

内容

设正整数n≥2n\geq2n≥2并且有原根ggg，那么g0,g1……gφ(n)−1g^0,g^1……g^{φ(n) -1}g0,g1……gφ(n)−1可以构成模nnn的既约剩余系，对于任意满足gcd(a,n)=1gcd(a,n)=1gcd(a,n)=1的aaa，均有gx≡a(modg^x≡a (modgx≡a(mod n)n)n) (0≤x<φ(n))(0\leq x<φ(n))(0≤x<φ(n))。

将解xxx记作：indgaind_gaindga modmodmod φ(n)φ(n)φ(n)
称为：a的以g为底模n的指标
在不会混淆的情况下可以将其简记为:I(a)I(a)I(a)
属于集合∈{0,1,2……φ(n)−1}\in\{0,1,2……φ(n) -1\}∈{0,1,2……φ(n)−1}

二、性质

1.a≡b(moda≡b (moda≡b(mod n)⇐⇒I(a)≡I(b)(modn)\Leftarrow \Rightarrow I(a)≡I(b)(modn)⇐⇒I(a)≡I(b)(mod φ(n))φ(n))φ(n))

2.I(ab)≡I(a)+I(b)(modI(ab)≡I(a)+I(b) (modI(ab)≡I(a)+I(b)(mod φ(n))φ(n))φ(n))

证明

当gcd(a,n)=gcd(b,n)=1gcd(a,n)=gcd(b,n)=1gcd(a,n)=gcd(b,n)=1时，同时存在gcd(ab,n)=1gcd(ab,n)=1gcd(ab,n)=1，根据定义，有:
gI(ab)≡ab(modg^{I(ab)}≡ab(modgI(ab)≡ab(mod n)n)n)
由于ab≡gI(a)gI(b)(modab≡g^{I(a)}g^{I(b)}(modab≡gI(a)gI(b)(mod n)n)n)
最终可以得到：gI(ab)≡gI(a)gI(b)(modg^{I(ab)}≡g^{I(a)}g^{I(b)}(modgI(ab)≡gI(a)gI(b)(mod n)n)n)

在结合之前介绍阶时用到的
定理三：gcd(a,n)==1gcd(a,n)==1gcd(a,n)==1,ax≡ay(moda^x ≡a^y(modax≡ay(mod n)n)n)的充要条件为x≡y(modx ≡y(modx≡y(mod ordna)ord_na)ordna)
由于ggg为nnn的原根，那么ordnaord_naordna就等于φ(n)φ(n)φ(n)

最后得到了：I(a)≡I(a)+I(b)(modI(a)≡I(a)+I(b) (modI(a)≡I(a)+I(b)(mod φ(n))φ(n))φ(n))

推论一：I(ak)≡kI(a)(modI(a^k)≡kI(a) (modI(ak)≡kI(a)(mod φ(n))φ(n))φ(n))

推论二：I(∏i=1kai)≡∑i=1kI(ai)(modI(\prod_{i=1}^ka^i )≡\sum_{i=1}^kI(a^i) (modI(∏i=1kai)≡∑i=1kI(ai)(mod φ(n))φ(n))φ(n))

3.当gcd(a,n)=1gcd(a,n)=1gcd(a,n)=1，且有两个原根g1,g2g_1,g_2g1,g2时,indg1a≡indg1g2∗indg2a(modind_{g_1}a≡ind_{g_1}{g_2}*ind_{g_2}a(modindg1a≡indg1g2∗indg2a(mod φ(n))φ(n))φ(n))

证明

由两个原根，首先可以得到两个式子：
(1)g1indg1a≡a(mod(1)g_1^{ind_{g_1}a}≡a (mod(1)g1indg1a≡a(mod n)n)n)
(2)g2indg2a≡a(mod(2)g_2^{ind_{g_2}a}≡a (mod(2)g2indg2a≡a(mod n)n)n)

当然，g2g_2g2同样满足gcd(g2,a)=1gcd(g_2,a)=1gcd(g2,a)=1，所以同时存在式子：
(3)g1indg1g2≡g2(mod(3)g_1^{ind_{g_1}g_2}≡g_2 (mod(3)g1indg1g2≡g2(mod n)n)n)

将式子（2）、（3）结合，
得：(g1indg1g2)indg2a≡a(mod{(g_1^{ind_{g_1}g_2})}^{ind_{g_2}a}≡a (mod(g1indg1g2)indg2a≡a(mod n)n)n)
再与（1）结合，
得：g1indg1g2indg2a≡g1indg1a(modg_1^{ind_{g_1}g_2ind_{g_2}a}≡g_1^{ind_{g_1}a} (modg1indg1g2indg2a≡g1indg1a(mod n)n)n)

再次使用前介绍阶时用到的
定理三：gcd(a,n)==1gcd(a,n)==1gcd(a,n)==1,ax≡ay(moda^x ≡a^y(modax≡ay(mod n)n)n)的充要条件为x≡y(modx ≡y(modx≡y(mod ordna)ord_na)ordna)
由于ggg为nnn的原根，那么ordnaord_naordna就等于φ(n)φ(n)φ(n)

此时就得到了：indg1a≡indg1g2∗indg2a(modind_{g_1}a≡ind_{g_1}{g_2}*ind_{g_2}a(modindg1a≡indg1g2∗indg2a(mod φ(n))φ(n))φ(n))

三、简单应用·解方程3x5≡1（mod3x^5≡1（mod3x5≡1（mod 23)23)23)

可以用数论之阶与原根中的方法求出23的最小原根5

再求出对应的指标表：指数由0到φ(n)−1φ(n)-1φ(n)−1

指数	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
模23的结果	1	5	2	10	4	20	8	17	16	11	9	22	18	21	13	19	3	15	6	7	12	14

由于gcd(3x5,23)=gcd(1,23)=1gcd(3x^5,23)=gcd(1,23)=1gcd(3x5,23)=gcd(1,23)=1,所以3x5、13x^5、13x5、1有指标，
记作：ind5(3x5)ind_5{(3x^5)}ind5(3x5)和ind51ind_5{1}ind51

可以得到：ind5(3x5)≡ind51(modind_5{(3x^5)} ≡ind_5{1}(modind5(3x5)≡ind51(mod 22)22)22)
使用性质二
可以得到：ind5(3)+5ind5(x)≡ind51(modind_5{(3)}+5 ind_5{(x)}≡ind_5{1}(modind5(3)+5ind5(x)≡ind51(mod 22)22)22)
5ind5(x)≡−16(mod5 ind_5{(x)}≡-16(mod5ind5(x)≡−16(mod 22)22)22)
5ind5(x)≡50(mod5 ind_5{(x)}≡50(mod5ind5(x)≡50(mod 22)22)22)
再使用消去律，
得到：ind5(x)≡10(modind_5{(x)}≡10(modind5(x)≡10(mod 22)22)22)
就是说:x≡5ind5(x)(modx≡5^{ind_5{(x)}}(modx≡5ind5(x)(mod 23)23)23)≡510(mod≡5^{10}(mod≡510(mod 23)≡9(mod23)≡9(mod23)≡9(mod 23)23)23)
查表可知

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数论之指标介绍及其应用（基于阶与原根的应用）

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一、定义

内容

二、性质

1.a≡b(moda≡b (moda≡b(mod n)⇐⇒I(a)≡I(b)(modn)\Leftarrow \Rightarrow I(a)≡I(b)(modn)⇐⇒I(a)≡I(b)(mod φ(n))φ(n))φ(n))

2.I(ab)≡I(a)+I(b)(modI(ab)≡I(a)+I(b) (modI(ab)≡I(a)+I(b)(mod φ(n))φ(n))φ(n))

证明

推论一：I(ak)≡kI(a)(modI(a^k)≡kI(a) (modI(ak)≡kI(a)(mod φ(n))φ(n))φ(n))

推论二：I(∏i=1kai)≡∑i=1kI(ai)(modI(\prod_{i=1}^ka^i )≡\sum_{i=1}^kI(a^i) (modI(∏i=1kai)≡∑i=1kI(ai)(mod φ(n))φ(n))φ(n))

3.当gcd(a,n)=1gcd(a,n)=1gcd(a,n)=1，且有两个原根g1,g2g_1,g_2g1,g2时,indg1a≡indg1g2∗indg2a(modind_{g_1}a≡ind_{g_1}{g_2}*ind_{g_2}a(modindg1a≡indg1g2∗indg2a(mod φ(n))φ(n))φ(n))

证明

三、简单应用·解方程3x5≡1（mod3x^5≡1（mod3x5≡1（mod 23)23)23)

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2.I(ab)≡I(a)+I(b)(modI(ab)≡I(a)+I(b) (modI(ab)≡I(a)+I(b)(mod φ(n))φ(n))φ(n))

证明

推论一：I(ak)≡kI(a)(modI(a^k)≡kI(a) (modI(ak)≡kI(a)(mod φ(n))φ(n))φ(n))

推论二：I(∏i=1kai)≡∑i=1kI(ai)(modI(\prod_{i=1}^ka^i )≡\sum_{i=1}^kI(a^i) (modI(∏i=1k​ai)≡∑i=1k​I(ai)(mod φ(n))φ(n))φ(n))

3.当gcd(a,n)=1gcd(a,n)=1gcd(a,n)=1，且有两个原根g1,g2g_1,g_2g1​,g2​时,indg1a≡indg1g2∗indg2a(modind_{g_1}a≡ind_{g_1}{g_2}*ind_{g_2}a(modindg1​​a≡indg1​​g2​∗indg2​​a(mod φ(n))φ(n))φ(n))

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3.当gcd(a,n)=1gcd(a,n)=1gcd(a,n)=1，且有两个原根g1,g2g_1,g_2g1,g2时,indg1a≡indg1g2∗indg2a(modind_{g_1}a≡ind_{g_1}{g_2}*ind_{g_2}a(modindg1a≡indg1g2∗indg2a(mod φ(n))φ(n))φ(n))