[Ynoi2016]炸脖龙I/Nephren Ruq Insania

Ynoi竟然出了个奈芙莲的题，少见啊

Ynoi竟然有个不卡常的题，更少见了

这道题其实思路非常好想，本质上就是一个暴力，但是要用到拓展欧拉定理，是什么呢？

ac≡{ac,c<ϕ(p)acmodϕ(p)+ϕ(p),c≥ϕ(p)modpa^c\equiv\begin{cases}a^c,c<\phi(p) \\ a^{c\bmod \phi(p)+\phi(p)},c\geq\phi(p)\end{cases} \bmod pac≡{ac,c<ϕ(p)acmodϕ(p)+ϕ(p),c≥ϕ(p)modp

这个东西有什么用呢？做过这道题的就应该很明显了

我们观察ϕ(p)\phi(p)ϕ(p)一定≤n2\leq\frac{n}{2}≤2n，那么也就是说最多经过log⁡p\log plogp次之后，我们的ϕ(ϕ(ϕ(...ϕ(p))))=1\phi(\phi(\phi(...\phi(p))))=1ϕ(ϕ(ϕ(...ϕ(p))))=1，这个时候根据我们上面的拓展欧拉定理，我们就不需要继续算剩下的部分了，因为剩下的部分算完肯定是111

也就是说我们对于每次查询，从xxx暴力往右扫，每次都让p=ϕ(p)p=\phi(p)p=ϕ(p)，那么经过一定次数之后剩下的就不用管了，然后我们再回溯更新这一部分的答案就可以

因为有区间加之类的操作，所以我们用树状数组维护差分，就可以求出每一个位置上的数是多少了

其实这题根这道题也挺像的吧，但是上帝那道题的数据比较水，我们会发现，当我们的c<ϕ(p)c<\phi(p)c<ϕ(p)的时候，我们是不能+ϕ(p)+\phi(p)+ϕ(p)的，这个东西就非常的恶心，我们需要特判一下

特判的方法也比较简单，我们在做快速幂的过程中，每次计算完先不取模，如果发现比ppp大，flag=1flag=1flag=1，然后再取模，做完快速幂之后再判断如果flag=1flag=1flag=1，那么再加上ϕ(p)\phi(p)ϕ(p)

快速幂大概是这个样子的

int Qpow(int base,int ind,int mod){int res=1;flag=false;if(base>=mod)flag=true,base%=mod;while(ind){if(ind&1){res=res*base;if(res>=mod)flag=true,res%=mod;}base=base*base;if(base>=mod)flag=true,base%=mod;ind>>=1;}return res;
}

好长啊

查询的时候其实是不用写dfsdfsdfs的，我们可以直接手动模拟栈，先把要求的部分的模数都预处理出来，然后从右往左算就可以

        else{int now=x;modn[x]=p;p=phi[p];while(p>1&&now<y){modn[++now]=p;p=phi[p];}int res=1;_Rep(i,now,x){res=Qpow(ask(i),res,modn[i]);if(flag)res+=modn[i];}printf("%lld\n",res%modn[x]);}

由于p≤2×107p\leq 2\times10^7p≤2×107，所以我们要线性筛，然后这题空间500MB，放心的开longlong吧。

其他细节没什么了，只要不像我一样线性筛出一堆锅就好

然后是这题的复杂度，我们发现，每次询问我们最多查询log⁡p\log plogp次，每次需要log⁡n\log nlogn的时间，然后算快速幂需要log⁡p\log plogp次的时间，所以这题的总复杂度应该是O(mlog⁡nlog⁡2p)O(m\log n\log^2 p)O(mlognlog2p)

毒瘤的lxl这题仁慈的开了3s时限

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;# define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
# define _Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
# define RepG(i,u) for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)typedef long long ll;const int N=5e5+5;
const int M=2e7+5;template<typename T> void read(T &x){x=0;int f=1;char c=getchar();for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';x*=f;
}# define int long longint n,m;
int a[N],bit[N];
int phi[M],prime[N*10],tot;
int modn[N];
bool isp[M],flag;int lowbit(int o){return o&-o;
}void add(int o,int x){for(;o<=n;o+=lowbit(o))bit[o]+=x;
}int ask(int o){int res=0;for(;o;o-=lowbit(o))res+=bit[o];return res;
}void init()
{phi[1]=1;for(int i=2;i<=2e7;i++){if(isp[i])prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=2e7;j++){isp[i*prime[j]]=false;if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);}}
}int Qpow(int base,int ind,int mod){int res=1;flag=false;if(base>=mod)flag=true,base%=mod;while(ind){if(ind&1){res=res*base;if(res>=mod)flag=true,res%=mod;}base=base*base;if(base>=mod)flag=true,base%=mod;ind>>=1;}return res;
}signed main()
{memset(isp,true,sizeof(isp));read(n),read(m);Rep(i,1,n)read(a[i]);Rep(i,1,n)add(i,a[i]-a[i-1]);init();Rep(i,1,m){int opt,x,y,p;read(opt),read(x),read(y),read(p);if(opt==1){add(x,p);add(y+1,-p);}else{int now=x;modn[x]=p;p=phi[p];while(p>1&&now<y){modn[++now]=p;p=phi[p];}int res=1;_Rep(i,now,x){res=Qpow(ask(i),res,modn[i]);if(flag)res+=modn[i];}printf("%lld\n",res%modn[x]);}}return 0;
}

因为这题是Ynoi，所以来说点没用的

奈芙莲其实戏份挺少的，因为第四卷没有拍嘛

虽然她没有爱尔和珂朵莉的美貌

但是她达成了一件珂朵莉都没有达成的事，抱着威廉睡觉

而且，她是不是也算是在最后一刻绽放呢？

她难道不也是最幸福的女孩子吗？

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