Chapter15：积分（Integral）

15.积分
- 15.1 求和符号
- - 15.1.1 一个有用的求和
  - 15.1.2 伸缩求和法
  - - 伸缩级数
- 15.2 位移和面积
- - 15.2.1 三个简单的例子（离散的速度）
  - 15.2.2 一个常规例子
  - 15.2.3 有向面积
  - 15.2.4 连续的速度
  - 15.2.5 黎曼上和、黎曼下和
5.积分
- 5.1 黎曼和求积分
- 5.2 反导数求积分
- 5.3 积分基本定理
- 5.3 定积分
- 5.4 定积分的中值定理
- 5.5 两曲线间面积
- 5.6 对 y 进行积分

此篇为两本书的相关内容，并没有进行整合，可能有重复

15.积分

积分的应用：
1.求不规则图形面积
2.不规则物体的体积
3.变速运动物体的路程
4. ……

15.1 求和符号

15.1.1 一个有用的求和

15.1.2 伸缩求和法

伸缩级数

例1：

例2：

例3：

15.2 位移和面积

15.2.1 三个简单的例子（离散的速度）

三辆车沿笔直公路向前行驶，在每个时间段内速度是常数

第一辆车
路程=位移=v×t=50×2=100路程=位移=v×t=50×2=100 路程=位移=v×t=50×2=100

第二辆车
路程=位移=∑v×t=40×1+60×1=100路程=位移=\sum v×t=40×1+60×1=100 路程=位移=∑v×t=40×1+60×1=100

第三辆车
路程=位移=∑v×t=50×0.25+30×0.75+30×0.5+25×0.5=100路程=位移=\sum v×t=50×0.25+30×0.75+30×0.5+25×0.5=100 路程=位移=∑v×t=50×0.25+30×0.75+30×0.5+25×0.5=100

15.2.2 一个常规例子

路程=位移=∑v×t=v1(t1−t0)+v2(t2−t1)+⋯+vn−1(tn−1−tn−2)+vn(tn−tn−1)路程=位移=\sum v×t=v_1(t_1-t_0)+v_2(t_2-t_1)+\cdots+v_{n-1}(t_{n-1}-t_{n-2})+v_n(t_n-t_{n-1}) 路程=位移=∑v×t=v1(t1−t0)+v2(t2−t1)+⋯+vn−1(tn−1−tn−2)+vn(tn−tn−1)

15.2.3 有向面积

路程=∑vt=40×1+30×2=100路程=\sum vt=40×1+30×2=100 路程=∑vt=40×1+30×2=100
位移=∑vt=40×1+(−30)×2=−20位移=\sum vt=40×1+(-30)×2=-20 位移=∑vt=40×1+(−30)×2=−20

15.2.4 连续的速度

在每个时间段内速度不是常数

在小时间段内，速度有微小变化，但我们假设速度没变。在时间段 [p,q][p,q][p,q] 内选择某一时刻 ccc 的速度作为样本速度。
假设所选择的的样本速度为该时间段 [p,q][p,q][p,q] 内的实际速度

重复以上划分过程
用长方形条的面积来逼近曲线下的面积（路程或位移）

尽管在这些分区中使用很多小区间，但如果其中某个分区很大，对估算结果会有很大影响

最大区间的定义

最大区间 mesh 趋于 0，划分数目会越来越多（最大区间缩小时，其他区间也同时缩小）

15.2.5 黎曼上和、黎曼下和

黎曼上和

黎曼下和

5.积分

5.1 黎曼和求积分

黎曼和与积分的关系

当子区间宽度 b−an\frac{b-a}{n}nb−a 无限小时（即 n→∞n\rightarrow \inftyn→∞ 时），黎曼和就无限逼近于真实面积

5.2 反导数求积分

5.3 积分基本定理

5.3 定积分

定积分满足的法则

5.4 定积分的中值定理

蓝色区域面积刚好等于区间内某个 ccc 的函数值乘区间长度 b−ab-ab−a
f(c)(b−a)=∫abf(x)dxf(c)(b-a)=\int_a^bf(x)dx f(c)(b−a)=∫abf(x)dx

5.5 两曲线间面积

5.6 对 y 进行积分

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