线代笔记：一个排列中的任意两个元素对换，该排列的奇偶性发生改变

已证：排列进行相邻对换时，该排列的奇偶性发生改变

设一个有 nnn 个数的排列为 a1,a2,a3…an−1,ana_{1},a_{2},a_{3}…a_{n-1},a_{n}a1,a2,a3…an−1,an ，假设其中两个元素要进行位置对换，其中一个的位置为 xxx ,一个位置为 yyy ，所以他们的距离（即两个元素之间间隔的元素个数）为 m=∣x−y∣−1m=|x-y|-1m=∣x−y∣−1 。

假设 x<yx<yx<y 。首先，将在 xxx 上的元素向右移动 mmm 步，可以到达 yyy 的前面，即此时排列为 …ax,ay……a_{x},a_{y}……ax,ay… ，再将 yyy 上的元素向左移动 m+1m+1m+1 步，到达 xxx 位置。此时两个元素完成位置对换，共进行了 2m+12m+12m+1 次相邻对换， 2m+12m+12m+1 必定为奇数，所以排列的奇偶性发生变化。

假设 x>yx>yx>y 。首先，将在 yyy 上的元素向右移动 mmm 步，可以到达 xxx 的前面，即此时排列为 …ay,ax……a_{y},a_{x}……ay,ax… ，再将 xxx 上的元素向左移动 m+1m+1m+1 步，到达 yyy 位置。此时两个元素完成位置对换，共进行了 2m+12m+12m+1 次相邻对换， 2m+12m+12m+1 必定为奇数，所以排列的奇偶性发生变化。

证明完毕。

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