fixed income

听
基本概念
市场发行交易
*估值
资产证券化
*市场风险
信用风险

债券是一个合约indenture，涉及到两方，条款covenants，必须做的affirmative，严禁的negative

发行人：
跨国组织：世界银行，国际货币基金组织IMF，亚洲开发银行，亚投行
国债sovereign governments：美国国债
地方政府发行国债
半政府债券quasi-government entities：Fannie Mae(ABS章)
公司债券

plain vanilla bond：固定的coupon收益

YTM：yield to maturity

FRN浮动利息债券floating-rate notes
coupon rate=reference rate (Libor美国以外美元的利率：每天更新一次)+ spread

dual-currency bonds双币种债券：利息用当地货币，本金用美元付

currency option bonds：本金要美元还是当地货币可选

bond indenture：法律条款
trust deed行为：
collaterals抵押品，资产
credit enhancement：信用提升的方法

bond issuer：
国债：国家财政部发
公司债：
securitized bond：ABS

还钱模式：
国债：税收，印钞
非国债(地方债，州债)：收税，项目现金流，特殊税收(要市政厅投票通过)
公司债：公司日常运作
Securitization：ABS

抵押品和信用提升机制：
有抵押品：降低信用风险secured bond
无抵押品的借债unsecured bond/debentures

常见担保品：金融资产(债券，金条，美元)，实物资产(石油钻井平台，厂房，铁路)，资产抵押证券(抵押贷款)，covered bond

内部提升法：
subordination还钱的优先级不同
overcollateralization抵押品价值超过借的钱
excess spread资产收到的现金流大于要付出的现金流，流入＞流出
waterfall structure：ABS

外部提升法：
surety bond保险公司担保
bank guarantee银行担保
letter of credit信用证：银行的承诺

外部缺点：担保人自身发生违约或信用下降

债券中的合约：对发行人做限制，不会对发行人造成额外负担与限制的
必须完成的：
支付本金利息
支付税
担保品状态要良好
定期出具报告

禁止做的：
不能私自卖出担保品
同一个担保品不能担保多比债务
财务债满足前不能借额外的钱

发行人与发行方式：
考虑发行人，发行地点，采用货币
本国债券：三个条件在同一个国家
外国债券：涉及两个国家
欧洲债券(离岸)：涉及三个国家(监管不严)
记名registered bond：所有人登记在册
不记名bearer bond：谁持有就是谁的，适合想避税的人

全球债券：也是欧洲债券，一个债券在两个国家同时发售

债券的税收：
利息税：纽约州市政债municipal bond：免联邦税和本州州税
价格增值：税收比coupon的低，长期持有比短期税收低
折价的债券：一定收资产增值税
premium bond：多出的部分可以减扣其他部分的税收

plain vanilla bond/bullet bond：定期收利息，到期收本金

amortizing bond：利息本金一起，买房还贷
fully amortizing：到期本金利息都付清
partially amortizing：最后有一笔ballon payment

sinking fund provision：本金在到期日之前的几年分批均匀还，为降低信用风险
accelerate sinking fund provision减少几年的利息或市场利息比当时借款时低
缺陷：再投资风险，低于市场价回购损失的风险

赎回：
还钱或回购债券(取决于二级公开债券市场价)

浮动利息债券FRN：
参考利率：LIBOR，国债收益率
三到半年变一次
没有利率风险
发行人信用从上一个coupon date到下一个没有变化的话，债券价格就始终等于面值(reset之后，市场价值就等于面值)
信用风险高时价格低收益高

cap利率上限
floor利率下限
collar同时有低点和高点

反向浮动债券：
coupon和市场参考利率成反比
用于和浮动对冲，把浮动消除，得固定收益

听2
step-up coupon bond
利息逐年升高
给发行人call option(市场利率大于市场收益)的权利，可以提前赎回终结，提前偿还本金
和市场未来加息同步

deferred coupon bond
延迟支付coupon
有税收的好处

credit-linked coupon和信用挂钩的债券
信用提高coupon下降
经济不好时有保护作用
信用恶化时加速破产

pay-in-kind bond
增加本金支付

equity-linked notesELN
ETL=零息债券+股票的return

index-linked bond保护本金

inflation-linked bond
和通胀指数挂钩，一般是CPI
例，treasury inflation protected securitiesTIPS
通胀涨Par会涨，通货紧缩时Par不会跌
随着Par的变化coupon也相应改变
为何发行：
1.拉丁美洲抗通胀
2.政府决心打击通胀
3.提供投资者长期固定收益

indexed零息债券只对本金做调整
interest-index bonds只对利息做调整
indexed-annuity bonds：fully amortizing利息本金都调整

call provisions：
对发行人有利
call提前赎回：市场利率在降低
deferred call有段时间禁止call，first call date第一天可以call的日期
call price：赎回债券的价格，高于par
call premium：call price和par的价差
first par call date第一天以par赎回的日期
当利率下跌的时候call，风险高价格低收益率高
value callable bond=value of identical noncallable bond-call option value

分类：
美式期权：first call date之后的任何时候都可以call
欧式期权：必须在规定的日期才能call
百慕大期权：在first par call date之后的特定日期

call对投资人不利：
提前赎回未来利息拿不到
再投资损失
make-whole call provision：未来coupon现值加总lump-sum payment
对于发行人成本降低
没有必要设置call price
利率下跌时没有价格上限(如果没有这个条款，call price就是最高价)

putable bond对投资人有利
利率上升时投资人把bond提前卖回给发行人拿到本金
价格高利息低
value of putable bonds=value of an identical nonputable bonds+put option value

一次性的put/多次的put

liquidity problem：
企业没钱还债，现金流短缺
市场卖不出东西
(putable本应在利率高的时候行权，到但在企业危机时行权会加速破产)

可转债：
对投资人有利
价值不会跌倒零，最低为value of straight bond
对发行人，降低利息费用，降低债务(债转股)
conversion price：转换到股票的价格(面值除)
conversion ratio：转换到股票的股份数

conversion ratio = par value /conversion price

conversion value = current share 当前股价* conversion ratio

conversion premium: price 和value 的差价

above parity : conversion value > convertible bond’s price 此时转股

below parity : < 此时不转股

权证：

可转债中可以转为股票的权力，对投资人有利bondholder

给投资人权利以固定的价格购买公司的股票，但有到期日(要交割)

不是内嵌的权利，是附属的权利

CoCos

contingent convertible bonds根据情况定的一种可转债，自动转

股价低于required level时，自动转为普通股，增加公司equity，降低公司负债和公司违约风险

强制转换，对bondholder可能会出现不利，因为卖出此种债券的时候要提供更高的收益率。

R53 债券的发行、交易、融资

三大评级机构：

Moody

标准普尔standard & poor’s(S&P)

Fitch

3B- 以上的为投资级investment grade，以下的为投机级non-investment grade

根据发行的国家分类：

发达市场：OECD成员国33个(美加墨、南美智利、澳大利亚新西兰、日韩土耳其以色列、东欧波兰匈牙利捷克斯洛伐克斯洛文尼亚爱沙尼亚、南欧PIGS、北欧挪威丹麦芬兰瑞典冰岛、中欧德国瑞士卢森堡奥地利、西欧英法比利时荷兰爱尔兰)（哥斯达黎加、立陶宛、俄罗斯）－人均GDP

新兴市场：收益率比发达国家高(巴西、南非、印度尼西亚、尼日利亚、埃及)

前沿国家frontier：(缅甸、柬埔寨)

其他类：

抗通胀的债券

免税的债券

LIBOR 对美国以外的美元定的利率

最短一天，最长不超过一年

浮动债券的参考利率

银行间借贷是没有担保的

不是实际市场利率，是16家银行报价报出来的

固定收益指数：

把一系列类似的债券/证券放在一起，看平均/总体表现

Barclays

JP.Morgan

FTSE

投资人：

中央银行

机构投资人

零售投资人

固定收益比股票更加diverse更加难理解

机构投资人喜欢直接买债券，散户投资人喜欢买债券的基金(余额宝)

一级市场：

公开发行：到证券监管机构注册，投行发售

包销underwritten offering,可能是几家一起组成财团

如果投行价格定的过高，就会undersubscribed需求不足；过低会oversubscribed对发行人不利，融资不够

代销best efforts offering

shelf registration:

一次性注册总发行额，分批/多次发行，总发行额不超过注册额

对公司有要求：well-established信用较好

拍卖的方式：

国债，投行报发行利率，越低越赢得拍卖

美国是single-price auction

加拿大是multiple-price auction

私募发行private placement：

大机构之间私下谈的方式

更加个性化的策略或更严格的条款

流动性相对差

二级市场：

交易所交易：较少

场外交易OTC over the counter：大量；dealer

交易结算：

corporate bonds:T+3今天交易，三天后拿到钱

government bonds:T+1

货币市场：T＋0

国债／主权债：

政府发行，以税收作为担保还钱

信用评级高并且没有违约的风险

用本国或外国货币发行，本国货币信用评级更高

on-the-run bonds:刚发行的债券，交易活跃

T-Bills：不超过一年，零息债券

T-Notes:2，3，5，10年

T-Bonds:20，30年

地方债：

国家下一级政府发行的national level

信用也比较高，但比国债低

本金和利息是用当地政府的税收来还或者项目的现金流

半政府债券：

Fannie Mae

Freddie Mae

跨政府组织发行的债券supranational bonds

信用高，流动性好

公司债：

银行贷款：

双边的bilateral loan：一家银行借款

多边的syndicated loan：几家银行一起，组成财团

短期票据commercial paper：

270天左右，无担保，低利率(高信用公司发行的)

免注册，直接发售directly placed

二级市场小，流动性差

rolled over老债结束时发新债，用新借的钱还老债

信用风险低，发行数目大

rollover risk：backup lines of credit:足够的流动性

美国和离岸Eurocommercial papaer区别：

currency：美元；任何货币

到期日：小于270天(美国规定超过270天要注册)；364天

交易结算：T＋0；T＋2

公司债：

短期：小于5年

中期：5-12年

长期：大于12年

有多个到期日，到了这个日期还一部分本金

term maturity structure：一个到期日，所有债券在同一天到期

sinking fund：避免过高的信用风险

中期票据Medium－term notesMTNs

9个月到100年

个人债券：retail deposits

支票帐户checking accounts：没有利息

储蓄账户saving accounts：流动性好

货币市场基金：兼具流动性好和有利息

中央银行：

最大的债券买卖者

联邦基准利率：与公开市场操作和货币供需有密切关系

银行间：

无担保的贷款，1天到1年，利息到期支付

dry up干涸

certificate of deposit CD

为吸引存款(由于美规定了存款利率的上限)

negotiable CD:可提前承兑的

non-negotiable CD:不可提前取出的，有withdrawal penalty

repurchase agreement

repo agreement：一个机构卖掉一个证券并且承诺过一阵再买回来

典当的作用，时间从1天－180天，时间越长利息越高，但是时间长流动性不好

开盘一小时的某一个点利息最高

上海回购R－001，十万起；做证券公司的角色五十万起，bond国债做担保高频交易

深圳回购1000元起

repurchase price：比之前卖的价格高，二者差价是利息

repo的价格不受美联储管制，是市场行为

抵押品在破产时很有用

隔夜回购overnight repo：能反映最新的市场的价格

超过一天叫term repo

repo rate ：

时间越短repo rate越低

抵押品信用越好repo rate越低

抵押品在借出人手中repo rate越低

抵押品少见珍贵 repo rate越低

其他融资渠道的利息高 repo rate越低

repo margin ／ haircut

抵押品的市场价和借出的钱的差价

借钱时间短的时候 haircut低

抵押品的质量高 haircut低

借钱人的信用好 haircut低

抵押品需求量高的时候 haircut低

reverse repo agreement

R54 固定收益定价

未来现金流折现

预测未来现金流

确定折现率

计算PV并相加（bond都是未来推现在）

garbage in garbage out

零息债券：

半年折现

P0=Par／［（1+YTM／2）的2T次方］

YTM yield to maturity

持有到期的收益率I／Y，市场的折现率，内部投资回报率

约束条件：

持有到期

现金流要足额支付，不能出现违约

coupon要根据原YTM再投资

（买债券看YTM哪一个高）

债券价格和收益率的关系

Price和YTM是成反比的

YTM＝coupon rate时，price＝par

Y>c,discount

Y<c,premium

债券上升是越升越快，但下跌是越跌越慢

收益率发生变化时，价格的上升百分比高于价格的下跌的百分比

pull to par价格到期日回归par

时间的变化和收益率YTM的变化都会引起价格的变化

先计算时间的变化再计算YTM的变化

spot rate：

从当前开始的即期利率

每笔现金流使用的市场折现率

YTM是spot rate 的平均值

accrued interest 累积利息

债券的交易价和报价不同

市场价clean price＋应得利息＝交易价

Full price=Clean price + Accrued Interest

谁持有一天债券谁就获得一天的利息

AI＝coupon*t/T

AI：交易在两个coupon date之间由seller可以获得的利息

clean price／flat price：PV

Full price／dirty price＝clean price＋AI

（没有考虑时间价值，实际给出的价格应该小于AI）

actual/actual method:

第一个actual是两个交易日隔几天就是几天，日历天数，包括节假日工作日和周末

第二个actual是一年实际有几天就是几天365或366

30/360 method：一个月30天一年360天

matrix pricing：

对YTM的一个预测

线性插值法linear interpolation

收益率的计算

复利都是平方和根号的

effective yield：年化的复利，一年的复利的投资回报率

YTM一年付息一次是复利，半年付息一次是单利和复利的结合

effective yield＝（1＋YTM／m）的m次方－1 ，大于YTM

BEY bond equivalent yield债券等价收益率

半年的复利＊2

=［（1+YTM）的1/2次方－1］＊2

半年付息一次的YTM＝BEY

BEY－>EAR:

(1+BEY/2)的平方－1

手机图。。

算收益率的一些传统

street convention yield：stated coupon payment dates
true yield：actual coupon payment dates根据实际付息日
true要比street的往后，true要比street的稍微低一些
current yield：一年的coupon/当前债券价格

YTC/YTP
对于callable /putable bond：yield to call
yield to first call
yield to worst：call中最低的

option-adjust yield(折现率，年化投资回报率，spot rate的平均数)
风险(σ随时间趋近零，所以不用σ表示风险)
收益表示风险
YTM=Rf+credit risk+liquidity risk+call risk
YTM=Rf+credit risk+liquidity risk- put risk
call: option-adjust yield＜YTM
put: option-adjust yield＞YTM

floating-rate notes浮动利息债券
不担心利率波动带来的影响
coupon rate=reference rate+quoted margin
参考利率是在每一个期初决定的，零时刻决定价格，利息期末付。
如果信用质量降低，margin就要高于开始报出的margin，如果信用变好，就要＜期初报出的margin
参考利率随行就市，margin可人定

discount yield：(美)
零息债券报一个打折率，这个折扣率是年化的
DR=(FV-PV)/FV 低估投资回报率
rate of return=(FV-PV)/PV
已知FV倒算PV
一年360或者365天

add-on yield(美国以外)
已知PV算FV
同投资回报率
一年365天

yield curve：
收益率曲线，不同时间的利率的关系
国债就是无风险收益率曲线
也叫spot curve
还有YTM做竖轴

par bond yield curve：

LIBOR的替代品

令par为100，求coupon

forward rate：

发生于未来，结束于更未来

（1＋s2）的平方＝(1+s1)(1+f1-2)

在未来某一天发生的借款／存款的利率

2y1y：开始于两年后，时长是一年

用forward rate 对债券估值

yield spread：
G-spread：债券的收益率减去国债的收益率，被减数是一个政府债券
I-spread：被减数是一个swap
Z-spread：分母差值法，分母加一个spread，精确度比G-spread高
有风险的收益率=benchmark yield+spread
benchmark是国家的宏观经济造成的
spread是反应公司特定的风险，反应微观
OAS：option-adjusted spread
把权剔除掉后的spread，Z-spread-option
callable:ZS>OAS
putable:ZS<OAS

spot yield收益率曲线向上走，ZS＞GS
spot yield变陡，ZS和GS两者差异变大

收益来源：
coupon和本金
coupon的再投资
到期前卖出价钱的G/L
年化收益率：FV=PV(1+R)的T次方
考虑利率风险：coupon都是要及时拿到钱的，不能有违约
coupon的再投资率用的都是YTM
年化投资回报率：par+期末coupon和coupon再投资收益=期初投资*(1+R)的t次方

结论：
两种类型的利率风险
coupon再投资风险：未来coupon投资回报率不确定，零息债券没有此风险，coupon高的比此风险最高，时间长风险越高
价格风险：市场收益率变动后价格会变动，y的变化引起价格的变化
两个风险的关系：
市场利率上升：再投资收入上升，再投资风险下降，价格风险上升
maturity短的时候：再投资风险小，价格风险大，再投资风险＜价格风险
maturity长的时候：再投资风险大，价格风险小，再投资风险＞价格风险

R55 ABS资产抵押债券
银行面临风险：等太久，不还钱，提前还。。
SPV收购银行贷款，然后在零时刻以发售债券的方式卖掉
资产证券化：把资产移到一个特殊目的的法律实体SPV，SPV又通过资产进行抵押，用资产产生的现金流支付本金和利息。
MBS房屋抵押贷款，ABS包含MBS
凡是能够产生现金流的资产都可以做资产证券化，打包卖掉

通过MBS方式做房贷的原因：
借款人和投资人的墙被拆了
投资人可以根据自己的偏好，购买不同的风险等级不同return的ABS债券
借款人的成本降低了
银行可以增加自己手中可贷出的现金，通过加快现金回笼的方式增加现金的流动性
原本不能交易的资产可以交易了，增加了流动性

发起人ORIGINATOR：
银行，汽车公司等

SPV special purpose vehicle：

servicer服务提供商：
律师，信托公司，投行，承销商，评级公司，保险公司，抵押品

prepayment risk：
现金流不确定
买房人会最大限度利用市场利率对他的优势
市场利息低时倾向早还钱
延后还钱是因为市场利率高而想投资不想还钱

subordination：
没有降低风险，将风险进行分割

credit spread：
风险收益率-benchmark的收益率
spread反应风险和投资者为了承担风险而收到的额外的收益

SPV：是独立公司
在法律上拥有资产
把不好的资产移到SPV，转嫁风险
把最好的资产放到SPV，为降低贷款利息融资成本
唯一的债主：ABS投资人
SPV作用：
破产隔离，公司破产不影响SPV

房屋抵押贷款：
房子即是担保品又是摇钱树
foreclosure：出现违约，银行没收房子并且卖掉
term of mortgage：还清贷款的时间

房屋贷款的利率：
fixed rate：美
adjustable rate：中国，ARM浮动利率
initial period fixed rate：一开始固定利息后来变为浮动
convertible：两者可转

interest-only mortgage：
前几年只还利息，后来在再本金利息一起还
最后有一个balloon payment

prepayment：特指房屋(按揭amortizing)的提前还钱
可随意还，但是call要在合同中明确规定日期和还多少

prepayment penalty:在几年内提前还会有罚金，过了几年之后就可以提前还

目的是给lender做一个补偿

recourse loan:违约银行卖掉房屋还有钱未还清的情况下，银行还可以继续索赔，这个缺口叫shortfall

non-recourse loan:不能追偿(美常见)

住宅型的房屋抵押贷款RMBS：

美联邦政府建立的SPV

半政府机构：Fannie Mae, Freddie Mac在美政府资助下建立的私营企业

两房组成的agency发行的RMBS信用好

non-agency RMBS:私营机构也会发行RMBS

Agency RMBS:

Ginnnie Mae:美联邦企业，美政府信用作担保，退伍军人抵押贷款买房

两房是普通人民贷款买房

美政府和非政府MBS的区别：

政府GSE RMBS government sponsored entity：满足标准的

non-agency RMBS: 要用一些信用提升的机制，没有严格的限制，违约率高

mortgage pass-through securities MPS:

转手证券

通过房屋贷款的持有人进行创立的，把share或participation certificate进行销售的

一个pool中包含几千个投资人

房屋是抵押品，被证券化

cash flow：

流进的现金流是mortgage的还款，右边的现金流是债券持有人的payment包含本金和利息

左边的现金流大于右边的，差价为留存利润和付服务费等其他费用

pass－ through rate：

右边付出的债券的coupon rate

MPS的coupon rate，要小于左边流进钱的利息，才能赚取excess spread差价

左边房屋的平均利息Weighted average coupon rate WAC 和平均到期时间weighted average maturity WAM

通过资产做加权平均

conforming mortgage:

达到标准的，agency RMBS采用的

non-conforming mortgage:

未达到标准的，商业银行采用的，房屋还款人的评分没有达标

一般是private issued私营银行发行的

prepayment rate的衡量：

月化提前还款率single monthly mortality SMM

＝prepayment多付的钱／月初欠的本金－本月应付的本金支付

年化提前还款率conditional prepayment rate CPR

（1-SMM）的12次方＝1-CPR ，prepayment是越还钱越少所以用减号

PSA public securities association:

benchmark:PSA=100,即CPR为6％，数字越大说明还的越快

weighted average life：

pool里面房子的平均到期时间：和prepayment成反比

平均多久pool 中的房子全部还清

average life 取决于prepayment的速度

prepayment上升时average life 下降

contraction risk：
利率下跌的时候，每个月会多还，整个债券时间缩短
银行再投资风险

extension risk：
市场利率高的时候，不还钱，prepayment变低

CMO解决prepayment risk：
subordination是防信用风险的
每个等级tranches债券都分两个部分本金和利息部门
sequential-pay：先满足各等级的利息部分，多余的在满足优先级高的本金部分
优先级高的受contraction影响，优先级低的受extension影响
CF->MPS->CMO

PAC planned amortization class
PAC该什么时候到期就什么时候
support会提前到期，先还support的本金或延后到期，同时承担两个风险，保护是有限的(本金充满时)

non-agency MBS
信用风险为主要风险
普通银行发行
优级的债prime：房屋贷款人信用比较好
次级债subprime：房屋人信用不好

信用提升：
内部法：
senior subordinated
利益转移机制 credit enhancement for senior tranches
reserve funds：
cash reserve fund
excess spread mount
overcollectual
外部法：
第三方金融机构担保
保险公司

商住房CMBS：
办公楼，医院，停车场，仓库
一般违约都是non-recourse，拍卖多少钱就还多少钱
loan-to-value ratio：越低越好
debt-to-service-coverageDSC：收入除以债，越高越好
对商住房有call protection，对call的防范
prepayment lockout一定时期不能call
yield maintenance charge：罚金
defeasance：把罚金拿出做一个共同基金，出现prepayment钱归银行

balloon：
workout period：违约想extend宽限一段时间

信用卡贷款：
non-amorting loan还本金没有固定时期，数值不确定

汽车贷款：
同房屋
房屋的prepayment和市场利率挂钩
汽车的prepayment不一定

信用卡还贷：
pool里的资产是不断调整的
lockout period锁定期过了pool中的卡只出不进

CDO collateralized debt obligation：
CBO bond ; CLO loan
CDO中，经理会积极的买入和卖出debt，为产生更多的现金流，更积极更活跃的操作

而在ABS中，抵押品的现金流用来支付bondholder的现金流，没有对抵押品做积极管理

CDO经理为了寻求比普通债券更高的收益

一般是一个ABS＋CXO组合

senior、mezzanine、equity自留

200bps-2%

横向是tranch的cash flow，传统的ABS

纵向是swap的cash flow

R56 对债券风险的度量

当利率发生变化引起的价格P的变化

利率风险：

市场利率对coupon再投资的影响

价格风险

Duration:YTM变化引起的价格变化，敏感度

D=(p2-p1)/[p1(Y2-Y1)]—Modified Duration

债券持有多久才能实现YTM的收益率

Macaulay Duration

到期时间越久敏感度越强

时间的加权平均，算PV再算权重，年

越大越敏感

MD = Macl D/(1+YTM)

Effective Duration:

ED=(V- + V+)/(2V0*delta y)

V-是收益率下降后形成的价格，收益率下降价格更高

V+是收益率上升后形成的价格，收益率上升价格更低

Mac Duration是现金流到期时间的加权平均

前期现金流越多，Mac D就越小，零息债券的D最大

除到期时间外影响D 的因素：

到期时间越长D越大

coupon越低D越高

收益率越低D越大：YTM越小斜率越大D越大

D of Callable bond:

利率高的时候和D相等

利率低的时候< D

D of putable bond:

利率低的时候和D相等

利率高的时候< D

10 basis point: 0.1%

portfolio D:

每个债券D的加权平均

weight 是债券在总资产价值中占的比重

收益率对每个bond的变化不均等

Money D／dollar D：

D*债券的价格

当收益率变动100%时的价格变动，单位元

PVBP：price value of a basis point

YTM变动一个点时0.01%债券价格的变化，单位元

PVBP=V- -V+/2=D*P*0.0001

convexity弯曲度：

价格和收益率曲线的弯曲度

圆下半部分，convexity>0

圆上半部分，convexity<0

delta p=- D*P* delta y + 1/2 * C *P * (delta y的平方)

Effective Convexity:

= (V- + V+ -2V0)/[(delta C的平方)*V0]

callable bond的弯曲度:

当收益率小于某个值时 convexity<0， negative convexity

收益率下跌的时候很容易被call 出现negative convexity

putable bond 在收益率高的时候，convexity更大

volatility波动率

若想债券波动大，那么D要大或delta y要大

短期债券收益率波动大

长期债券delta y小

短期债券的波动比长期债券大

时间越长，delta y越小；时间越长，D越大

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