页码数字统计问题（数字统计问题）

问题描述
算法思路与实现代码
- 方法一：暴力遍历法
- 代码1
- 方法二：拆数计算法
- 代码2
代码测试
算法复杂度分析

问题描述

一本书的页码从自然数1开始顺序编码直到自然数n。书的页码按照通常的习惯编码，每个页码都不含有多余的前导数字0。现在给出表示书的总页码的自然数n，计算书的全部页码中分别用到多少次数字0,1,2,3,…, 9。(或者计算说0-9数字出现了多少次)。

例如，给出一个数n=12，则出现的数有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。这些数中0-9分别出现的次数为：（由上到下分别表示0-9出现的次数，后文程序结果都采用这样的格式）

题目源于：王晓东.《计算机算法设计与分析》.第5版习题1-1

算法思路与实现代码

方法一：暴力遍历法

思路：设置一个长度为10的数组作为0-9每个数出现次数的计数器，将页码从1~n遍历一遍，提取每一个数的每一位，根据每一位数的值给对应数字计数器加1，最后在循环结束后通过计数器内的结果确定每个数字的出现次数。

代码1

#include<stdio.h>
int main(){int arr[10]={0};//存储0-9各个数的出现次数，初始化为零int n; scanf("%d",&n);//输入nfor(int i=1;i<=n;i++){//拆分每一个数的每一位int num[10]={0};//存每次数的每一位的值 int len=0; //这个数的位数 int m = i;while(m/10){//采用除10取余的方式，从个位开始获取每一位的值num[len++] = m%10;m = m/10;}num[len++] = m;for(int j=0;j<len;j++){//对应计数器+1arr[ num[j] ]++;}}for(int i=0;i<10;i++){//打印结果printf("%d\n",arr[i]);}
return 0;
}

方法二：拆数计算法

思路：统计0-9每个数，分别在每一位上的出现次数。即对于一个总位数为len的数n，依次计算其第一位（个位），第二位（十位），第三位…，第len位上，0-9每个数出现的次数，再统计每次的计算结果。

每一位上各个数字出现的次数与四个条件有关：这一位上的数的值V(Value)，这一位数前面一串数的值F(Front），这一位数后面一串数的值R(Rear)，这一位数的位置P。以n=12345的第三位（百位）为例，这一位上0-9各个数出现的个数分别与：V=3,F=12,R=45,P=3.有关。
对于输入数n，其任意位都有VFRP（对于最高位，取F=0；对于第一位，取R=0），考虑其任意一位，有如下四种规则：
① 0 − 9 各数在该为的出现次数至少为： F × 1 0 P − 1 ② 对于 0 − 9 中大于 V 的数，出现次数不必额外增加。 ③ 对于 0 − 9 中等于 V 的数，出现次数与还 R 有关，需加上： R + 1 （ 0 到 x ，共有 x + 1 个数） ④ 对于 1 − 9 中小于 V 的数，需加上： 1 0 P − 1 \begin{aligned} ①&0-9各数在该为的出现次数至少为：F×10^{P-1}\\ ②&对于0-9中大于V的数，出现次数不必额外增加。\\ ③&对于0-9中等于V的数，出现次数与还R有关，需加上：R + 1（0到x，共有x+1个数）\\ ④&对于1-9中小于V的数，需加上：10^{P-1} \end{aligned} ①②③④0−9各数在该为的出现次数至少为：F×10P−1对于0−9中大于V的数，出现次数不必额外增加。对于0−9中等于V的数，出现次数与还R有关，需加上：R+1（0到x，共有x+1个数）对于1−9中小于V的数，需加上：10P−1
第四点中不包括0，是因为0不可出现在首位，即没有0，024，0324等数，例如当n=123,考虑P=2（十位），在已考虑①的前提下，考虑④，显然当1<2，1出现的次数需要额外加10（因为有10,11,12,…,20的过程）；而对于0<2，0出现的次数不能加10（因为没有00,01,02,…,10的过程，只有1,2,3,4…,10，在这个过程十位没有出现0）。

所以只需要得到n每一位上的VFRP，再设置一个长度为10的数组作为0-9每个数出现次数的计数器，循环计算并统计各个位上每个数的出现次数，最后通过计数器内的结果确定每个数字的出现次数。

代码2

#include<stdio.h>
int main(){int arr[10]={0};//保存每一个数出现次数的计数器数组 int pow10[10]={1};  //每一位的权值，即10^(P-1)for(int i=1;i<10;i++)pow10[i]=10*pow10[i-1];int n; scanf("%d",&n); //输入nint num[3][10]={0};//[0]存每一位的值V//[1]存每一位前面一串数的值F//[2]存每一位后面一串数的值R int len=0; //记录位数 Pwhile(n/10){ // 拆分n的每一位，获取VFRnum[0][len] = n%10;num[2][len+1] += n%10*pow10[len] + num[2][len];n = n/10;num[1][len++]=n;}num[0][len++] = n;int i = 0; for(i=0;i<len;i++){ for(int j=0;j<10;j++){arr[j] += num[1][i]*pow10[i]; //对于0-9中等于V的数，出现次数与还R有关，需加上：R + 1if(j==num[0][i]){arr[j] += num[2][i] + 1;}// 对于1-9中小于V的数，需加上：10^(P-1)else if(j<num[0][i] && j!=0){ arr[j] += pow10[i];}}}for(int i=0;i<10;i++)printf("%d\n",arr[i]);
return 0;
}

代码测试

测试用例1：12345

测试用例2：45678

算法复杂度分析

方法一：
此算法一共包括三个核心循环，最外层大循环1 ~ n 需要循环n次。大循环内有两个小循环顺序执行，一个循环是提取每个数的每一位，循环次数由每次被提取数的位数决定，而被提取数的最大位数不大于 log ⁡ 10 n \log_{10} n log10n；第二个循环是根据提取的每一位，给对应计数器+1，循环次数也由被提取数的位数决定，即不大于 log ⁡ 10 n \log_{10} n log10n，所以程序总的时间复杂度为O ( 2 log ⁡ 10 n ⋅ n 2\log_{10} n · n 2log10n⋅n)，即O ( n ⋅ log ⁡ 10 n n·\log_{10}n n⋅log10n)。

方法二：
此算法一共包括三个核心循环，第一个循环拆分n的每一位，并求各种值，一共循环 log ⁡ 10 n \log_{10} n log10n次；第二个循环逐位计算每一位上出现各种数的次数，共循环 log ⁡ 10 n \log_{10} n log10n次，其内嵌套着第三个循环，计算从0-9各个数的具体出现次数，共循环10次。所以程序总的时间复杂度为O（ log ⁡ 10 n + 10 log ⁡ 10 n \log_{10} n + 10\log_{10} n log10n+10log10n ），即O（ log ⁡ 10 n \log_{10} n log10n）。

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