01 Sinc函数

一、背景介绍

有一个函数，名字叫Sinc函数，也被称为抽样函数， Sinc函数定义为sin(x) 除以x。函数图像是一个左右对称的偶函数，呈现漂亮的震荡衰减的趋势。 Sinc函数对应的原函数，是一个超越函数，无法使用初等函数在经过有限个步骤进行表示。但是计算该函数的面积，也就是求Sinc函数的定积分，这个值是存在的，它等于π。如何方便求取这个定积分呢？这里介绍三种方法，第一种利用Feynman积分技巧。第二种方法利用复变函数围线积分定理。第三种方法是利用傅里叶变换对偶定理。下面让我们分别看一下这三种方法的求解特点。

二、Feynman方法

在这篇CSDN博文上，给出了三种求解方法。首先让我们看一下Feynman积分方法。对于Sinc函数的积分，根据函数的对称性，它等于两倍的半边积分。因此只需要求得0到正无穷的积分，乘以二便得到Sinc函数的面积。这一步是关键，定义一个参数函数H(t)，在积分内增加一个指数项，它使得积分值与参数t有关系。下面对于定义的函数H(t)求关于t的导数，这是Feynman技巧的关键。可以看到H(0)就是所求Sinc函数的面积。通过对参数t求导，可以看到积分中就消掉了比较令人讨厌的分母x。最终剩下不带分母的表达式的积分。如果大家对于拉普拉斯变换比较熟悉的话，可以看到这个积分值应该是关于sin(x)的拉普拉斯变化。下面应用两次分部积分，可以求解。对于具体的分部积分过程，这里就不在详细讨论了。这里给出最终的积分结果。大家可以对比一下，这与sin(x)的拉普拉斯变换的结果是一致的。由此，可以得到H(t)的原函数。是反正切换函数，加上常量C。

下面为了求取最终的积分值，需要确定常量C的数值。这里根据H(t)的边界条件进行求解。令t趋向于正无穷，可以知道H(t)的积分值等于0。那么由此，分析H(t)表达式。反正切在正无穷处取值为二分之一π。由此可以得到C的取值为二分之一π。这是H(t)的最终表达式。取t等于0，H(0)便是Sinc函数半边的积分数值。 H(0)等于二分之一π。由此可以得到Sinc函数的积分值， Sinc函数的面积等于π。

在求解H’(t)的积分时，除了分部积分，还可以利用欧拉公式将sin(x)替换成复指数的形式。利用复指数形式完成定积分更加方便。

三、复变函数围线积分

下面我们讨论利用复变函数的围线积分来求取Sinc函数的积分。首先定义复变函数f(z)。可以看到在原点处改函数有唯一的一个一阶极点。除此之外整个复平面都是解析的。下面在上半复平面定义一个积分路径，在原点处有一个很小的上半圆绕过原点，所以在积分路径中实际上复变函数f(z)不包含任何极点。积分路径包括四段路径，一个是从-R积分到负的小r。另一个是沿着小圆边缘顺时针积分。第三个是从小r积分到大R。最后一段是沿着大圆逆时针方向积分。除了两个半圆积分，两端实轴上的积分，当大R趋向于无穷大，小r趋向于0时，这两段积分值就是Sinc函数的面积。而在大圆上的积分，当半径趋向于无穷大时，积分值为0。小圆上的积分，当小r趋向于0时，积分值等于负π。由于围线内不包含任何极点，总的围线积分值等于0。所以在实轴上两段的积分值就等于π。在这个推导过程中，设计围线积分路径是一个关键。在两个圆弧上的积分对应着复变函数分析中的两个定理。这里也就不进行讨论了。最终，可以得到Sinc函数的定积分等于π。

四、傅里叶变换

最后讨论一下利用傅里叶变换求取Sinc函数的面积。这里需要应用到Sinc函数的傅里叶变换的结果，是一个矩形函数。这个结果可以根据傅里叶变换的对偶特性来获得。对于矩形信号，它对应着的傅里叶变换是Sinc函数。然后再根据傅里叶变化的定义，信号的面积等于对应频谱在0点的取值。由此可以得到Sinc函数的积分等于π。根据傅里叶变换获得Sinc函数的面积比较简洁。

※ 总结 ※

本文讨论了Sinc函数的定积分求取的三种方法，可以看到利用傅里叶变换的结果求解最为容易。

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