点积

定义

在二维平面直角坐标系中，设a⃗ =(x1,y1),b⃗ =(x2,y2)a→=(x1,y1),b→=(x2,y2)\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)，则a⃗ ⋅b⃗ =|a⃗ ||b⃗ |cosθa→⋅b→=|a→||b→|cos⁡θ\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec b|\cos\theta，其中θθ\theta为这两个向量的夹角。坐标表示为：a⃗ ⋅b⃗ =x1y1+x2y2a→⋅b→=x1y1+x2y2\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1y_1+x_2y_2。

当然有多维向量也有点积，此时的定义用坐标表示：a⃗ ⋅b⃗ =x1y1+x2y2+⋯+xnyna→⋅b→=x1y1+x2y2+⋯+xnyn\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n

应用

当a⃗ ⋅b⃗ =0a→⋅b→=0\vec a\cdot \vec b=0时，a⃗ ⊥b⃗ a→⊥b→\vec a\bot\vec b。可以判断两条直线是否垂直。

同时，根据定义式，在知道两个以同一点为一个端点的线段长度时可以计算其夹角。

其它的暂时不知道。。。

代码实现

搞一个struct重载一下就好了。。。

//#include<cmath>
struct node{double x,y;
}
double operator * (const node &a,const node &b){return a.x*b.x+a.y*b.y;
}
double len(node a){//长度return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y);
}
double _angle(node a,node b){//角度return acos(a*b/len(a)/len(b));//arccos，弧度制
}

叉积

定义

在二维平面直角坐标系中，设a⃗ =(x1,y1),b⃗ =(x2,y2)a→=(x1,y1),b→=(x2,y2)\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)，则a⃗ ×b⃗ =|a⃗ ||b⃗ |sinθa→×b→=|a→||b→|sin⁡θ\vec{a}\times\vec{b}=|\vec{a}||\vec b|\sin\theta，其中θθ\theta为这两个向量的夹角。坐标表示为：a⃗ ⋅b⃗ =x1y2−x2y1a→⋅b→=x1y2−x2y1\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1y_2-x_2y_1。

而在空间中，a⃗ ×b⃗ a→×b→\vec a\times \vec b的结果为一个向量。设a⃗ =(x1,y1,z1),b⃗ =(x2,y2,z2)a→=(x1,y1,z1),b→=(x2,y2,z2)\vec{a}=(x_1,y_1,z_1),\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)，则a⃗ ×b⃗ =c⃗ , c=(y1z2−y2z1,z1x2−x1z2,x1y2−y1x2)a→×b→=c→,c=(y1z2−y2z1,z1x2−x1z2,x1y2−y1x2)\vec a\times \vec b=\vec c\ ,\ c=(y_1z_2-y_2z_1,z_1x_2-x_1z_2,x_1y_2-y_1x_2)

应用

在二维平面中，叉积可以用来判断点与直线的位置关系。容易从定义式看出，当b⃗ b→\vec b在a⃗ a→\vec a的逆时针（180∘∘^\circ）方向时，a⃗ ×b⃗ <0a→×b→<0\vec{a}\times\vec{b}，反之>0>0>0，在同一直线上时=0=0=0。这是一个特别常用的一个性质。

代码实现

struct node{double x,y;
}
double operator * (const node &a,const node &b){//为了避免与点积混淆可以用^return a.x*b.y-a.y*b.x;
}

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叉积和点积及其应用简介

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