P4690 [Ynoi2016] 镜中的昆虫

区间赋值区间数颜色， n ≤ 1 0 5 n \leq 10^5 n≤105，值域 [ 1 , 1 0 9 ] [1,10^9] [1,109]，要求线性空间。

sol

首先考虑经典数颜色套路，设 p r e i pre_i prei 表示上一个与 a i a_i ai 相同的数的位置。

对于区间赋值操作，我们发现性质： ∀ i ∈ ( l , r ] , p r e i ← i − 1 \forall i\in(l,r],pre_i ←i-1 ∀i∈(l,r],prei←i−1，对于 i = l i=l i=l 或区间外的情况特判即可。

考虑使用 ODT 维护 p r e pre pre 的修改，一个 ODT 维护序列，一个 ODT 数组维护颜色位置，均摊修改次数为 O ( n ) \mathcal O(n) O(n)（增加节点总数 O ( n ) \mathcal O(n) O(n)，删除节点总数 O ( n ) \mathcal O(n) O(n)），时间复杂度 O ( n log ⁡ n ) \mathcal O(n\log n) O(nlogn)。

那么问题转化为带修求 ∑ i = l r [ p r e i < l ] \sum\limits_{i=l}^{r}[pre_i<l] i=l∑r[prei<l]，考虑到要求线性空间，故使用三维 cdq，时间复杂度 O ( n log ⁡ 2 n ) \mathcal O(n \log^2 n) O(nlog2n)。

时间复杂度 O ( n log ⁡ 2 n ) \mathcal O(n \log ^2 n) O(nlog2n)，空间复杂度 O ( n ) \mathcal O(n) O(n)。

详见代码。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;namespace Fread
{const int SIZE = 1 << 21;char buf[SIZE], *S, *T;inline char getchar(){if (S == T){T = (S = buf) + fread(buf, 1, SIZE, stdin);if (S == T)return '\n';}return *S++;}
}namespace Fwrite
{const int SIZE = 1 << 21;char buf[SIZE], *S = buf, *T = buf + SIZE;inline void flush(){fwrite(buf, 1, S - buf, stdout);S = buf;}inline void putchar(char c){*S++ = c;if (S == T)flush();}struct NTR{~NTR(){flush();}} ztr;
}#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar Fread::getchar
#define putchar Fwrite::putchar
#endifinline int read()
{int x = 0, f = 1;char c = getchar();while(c < '0' || c > '9'){if(c == '-') f = -1;c = getchar();}while(c >= '0' && c <= '9'){x = (x << 3) + (x << 1) + c - 48;c = getchar();}return x * f;
}inline void write(int x)
{if(x < 0) putchar('-'), x = -x;if(x > 9) write(x / 10);putchar(x % 10 + 48);
}const int _ = 2e5 + 10, M = 1e6 + 10;int n, m, tot, a[_], cnt, b[_], ans[_], d[_], pre[_];struct Query
{int opt, l, r, x;
} q[_];struct Node
{int x, y, z, k, d, ans;inline bool operator < (const Node &t) const{return x != t.x ? x < t.x : (y != t.y ? y < t.y : z < t.z);}
} p[M], c[M >> 1];#define pii pair<int, int>
#define pa set<pii>::iteratorstruct Col
{set<pii> cl, v[_];inline void split(int k){pa it = cl.lower_bound({k + 1, 0});int r = it->first - 1;--it;int l = it->first;if(k == r) return;int c = it->second;cl.erase(it);cl.insert({l, c});cl.insert({k + 1, c});v[c].erase({l, r});v[c].insert({l, k});v[c].insert({k + 1, r});}inline void Insert(int l, int r, int c, int t){split(l - 1), split(r);for(pa it = cl.lower_bound({l, 0}); it-> first <= r;){int x = it->first, y = it->second;++it;int z = it->first - 1;cl.erase({x, y});v[y].erase({x, z});if(x == l){int e = (--(v[c].upper_bound({x, 0})))->second;if(pre[x] != e){p[++tot] = {t, x, pre[x], 0, -1, 0};pre[x] = e;p[++tot] = {t, x, pre[x], 0, 1, 0};}}else{if(pre[x] != x - 1){p[++tot] = {t, x, pre[x], 0, -1, 0};pre[x] = x - 1;p[++tot] = {t, x, pre[x], 0, 1, 0};}}x = z + 1;z = (v[y].lower_bound({x, 0}))->first;int e = (--v[y].lower_bound({l, 0}))->second;if(z > r && z <= n && pre[z] != e){p[++tot] = {t, z, pre[z], 0, -1, 0};pre[z] = e;p[++tot] = {t, z, pre[z], 0, 1, 0};}}pa it = v[c].lower_bound({r + 1, 0});int x = it->first;if(x <= n && pre[x] != r){p[++tot] = {t, x, pre[x], 0, -1, 0};pre[x] = r;p[++tot] = {t, x, pre[x], 0, 1, 0};}v[c].insert({l, r});cl.insert({l, c});x = r + 1;if(x <= n){it = cl.lower_bound({x, 0});int y = it->second;int e = (--v[y].lower_bound({x, 0}))->second;if(pre[x] != e){p[++tot] = {t, x, pre[x], 0, -1, 0};pre[x] = e;p[++tot] = {t, x, pre[x], 0, 1, 0};}}}
} col;inline void update(int x, int v)
{++x;while(x < _) d[x] += v, x += x & -x;
}inline int query(int x)
{++x;int res = 0;while(x) res += d[x], x -= x & -x;return res;
}void solve(int l, int r)
{if(l >= r) return;int mid = (l + r) >> 1;solve(l, mid), solve(mid + 1, r);int i = l, j = mid + 1, k = 0;bool flg = (l != 1 || r != tot);while(i <= mid && j <= r)if(p[i].y <= p[j].y){if(p[i].k == 0) update(p[i].z, p[i].d);if(flg) c[k++] = p[i];++i;}else{if(p[j].k == 1) p[j].ans += query(p[j].z);if(flg) c[k++] = p[j];++j;}while(i <= mid){if(p[i].k == 0) update(p[i].z, p[i].d);if(flg) c[k++] = p[i];++i;}while(j <= r){if(p[j].k == 1) p[j].ans += query(p[j].z);if(flg) c[k++] = p[j];++j;}for(int i = l; i <= mid; ++i) if(p[i].k == 0) update(p[i].z, -p[i].d);if(flg) for(int i = 0; i < k; ++i) p[i + l] = c[i];
}signed main()
{n = cnt = read(), m = read();for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = b[i] = read();for(int i = 1; i <= m; ++i){q[i].opt = read(), q[i].l = read(), q[i].r = read();if(q[i].opt == 1) b[++cnt] = q[i].x = read();}sort(b + 1, b + cnt + 1);cnt = unique(b + 1, b + cnt + 1) - b - 1;for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = lower_bound(b + 1, b + cnt + 1, a[i]) - b;for(int i = 1; i <= m; ++i) if(q[i].opt == 1) q[i].x = lower_bound(b + 1, b + cnt + 1, q[i].x) - b;for(int i = 1; i <= cnt; ++i) col.v[i].insert({0, 0});for(int i = 1; i <= n; ++i){pre[i] = (--col.v[a[i]].end())->second;p[++tot] = {0, i, pre[i], 0, 1, 0};col.v[a[i]].insert({i, i});col.cl.insert({i, a[i]});}for(int i = 1; i <= cnt; ++i) col.v[i].insert({n + 1, 0});col.cl.insert({0, 0}), col.cl.insert({n + 1, n + 1});for(int i = 1; i <= m; ++i)if(q[i].opt == 1) col.Insert(q[i].l, q[i].r, q[i].x, i);else p[++tot] = {i, q[i].r, q[i].l - 1, 1, 1, 0}, p[++tot] = {i, q[i].l - 1, q[i].l - 1, 1, -1, 0};sort(p + 1, p + tot + 1);solve(1, tot);for(int i = 1; i <= tot; ++i) if(p[i].k) ans[p[i].x] += p[i].ans * p[i].d;for(int i = 1; i <= m; ++i) if(q[i].opt == 2) write(ans[i]), putchar('\n');return 0;
}

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