【博弈论】博弈论入门笔记（四类基础博弈结论+SG函数）

1.巴什博奕（Bash Game）：

只有一堆n个物品，两个人轮流轮流从中取物，每次最少取一个，最多取m个，最后取光的人获胜。（谁拿了最后一个谁赢）

结论：

1.if(n%(m+1) != 0) ,则先手必赢
2.if(n%(m+1) == 0),则后手必赢

也就是给对手留下m+1个物品，这样的话，对手则处于必败态。

2.威佐夫博奕（Wythoff Game）：

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

结论：

1.(int)((bk-ak) * （1+√5）/2) != ak，先手必赢
2.(int)((bk-ak) * （1+√5）/2) == ak，后手必赢

POJ 1067

Code：


#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a,b;
int main(){while(scanf("%d %d",&a,&b) != EOF){if(a >b) swap(a,b); if((int)((b-a) * (sqrt(5.0)+1)/2) == a){//注意此处sqrt()函数，将5.0改为5在POJ会有编译错误，因为函数原型中没有sqrt（int）cout<<"0\n";     //    后手赢                }elsecout<<"1\n";  // 先手赢}return 0;

3. 尼姆博弈：

有n堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

计算机算法里面有一种叫做异或的运算，我们用符号XOR表示这种运算。其运算规则为：如果a、b两个值不相同，则异或结果为1。如果a、b两个值相同，异或结果为0。

以（1，2，3）的异或运算：

1 =二进制01
2 =二进制10
3 =二进制11 （+）
———————
0 =二进制00 （注意不进位）

对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。

任何奇异局势（a，b，c）都有a XOR b XOR c =0。

到此：

1.a1 XOR a2 XOR a3 …XOR an != 0 必胜态
2.a1 XOR a2 XOR a3 …XOR an == 0 必败态

性质：

1.必败态只能转移到必胜态
2.必胜态总能转移到某个必败态

POJ2234

Code：


#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <algorithm>
#define MAX
using namespace std;
int main(){int m,x;int arr[25];while(scanf("%d",&m) != EOF){x = 0;for(int i = 0 ;  i <m ;i++){cin>>arr[i];x^=arr[i];}if(x == 0)cout<<"No\n";//必输态 else{cout<<"Yes\n";}}return 0;
}

4.斐波那契博弈：

有一堆个数为n的石子，游戏双方轮流取石子，满足：

1)先手不能在第一次把所有的石子取完；

2)之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。

约定取走最后一个石子的人为赢家。

结论：当n为Fibonacci数的时候，必败。

f[i]：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……

哈工大新生同步赛（小乐乐吃糖豆）：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/302/G


#include <iostream>
#include <cstdio>using namespace std;int fib[50];
int main(){fib[0]=1;fib[1]=2;for(int i=2;i<45;i++)fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n){int i=0;for(i=0;i<45;i++)if(fib[i]==n)break;if(i<45)cout<<"Big\n";elsecout<<"Small\n";}return 0;

5.SG函数

SG 定理就是：SG(G)=SG(G1) ^ SG(G2) ^ … ^ SG(Gn)。也就是说，原游戏的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。

SG(G1) ^ SG(G2) ^ … ^ SG(Gn)>0的话先手赢，否则后手赢

解题模型：

1.把原游戏分解成多个独立的子游戏，则原游戏的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。

  即SG(G)=SG(G1)^SG(G2)^...^Sg(Gn)。

2.分别考虑每一个子游戏，计算其SG值。

 SG值的计算方法：（重点）a.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1)（Bash game）。b.可选步数为任意步，SG(x) = x（Nim game）。c.可选步数为一系列不连续的数，用模板计算。

打表模板：


int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];//f[] - 可改变当前状态 的方式   S[] - 当前状态的后继状态集合
//打表
void getSG(int n) {int i,j;memset(SG,0,sizeof(SG));for(i = 1; i <= n; i++) { memset(S,0,sizeof(S));for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)S[SG[i-f[j]]] = 1;            //S[]数组来保存当前状态的后继状态集合for(j = 0;; j++) if(!S[j]) {//模拟mex运算SG[i] = j;break;}}
}

HDOJ 1048

Code：


#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>using namespace std;
const int maxn=1007;int f[maxn],sg[maxn],s[maxn],x;void getsg(int n){for(int i = 1; i <= n; i++) {memset(s,0,sizeof(s));// for(int j = 0; j <= 45 && i-f[j] >= 0; j++) {s[sg[i-f[j]]] = 1;}for(int j = 0 ; j <= 1000; j++) {if(!s[j]) {sg[i] = j;break;}}}
}int main(){f[0]=1;f[1]=1;for(int i=2;i<=45;i++){f[i]=f[i-1]+f[i-2];}getsg(1001);int n,m,p;while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&p)&&(m||n||p)){if(sg[n]^sg[m]^sg[p]) cout<<"Fibo\n";else cout<<"Nacci\n";}return 0;
}

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