带反射和折射的Fresnel函数

参考文献：Reflections and Refractions in Ray Tracing - Stanford Graphics

一、考虑反射和折射的Fresnel公式

反射部分的计算公式为：
R(θi)=R⊥(θi)+R∥(θi)2R(\theta_i)=\frac{R_\perp(\theta_i)+R_\parallel(\theta_i)}{2}R(θi)=2R⊥(θi)+R∥(θi)
其中，
R⊥(θi)=(η1cos⁡θi−η2cos⁡θtη1cos⁡θi+η2cos⁡θt)2R_\perp(\theta_i)=(\frac{\eta_1\cos \theta_i-\eta_2 \cos \theta_t}{\eta_1\cos \theta_i+\eta_2 \cos \theta_t})^2R⊥(θi)=(η1cosθi+η2cosθtη1cosθi−η2cosθt)2
R∥(θi)=(η2cos⁡θi−η1cos⁡θtη2cos⁡θi+η1cos⁡θt)2R_\parallel(\theta_i)=(\frac{\eta_2\cos \theta_i-\eta_1 \cos \theta_t}{\eta_2\cos \theta_i+\eta_1 \cos \theta_t})^2R∥(θi)=(η2cosθi+η1cosθtη2cosθi−η1cosθt)2
cos⁡θt=1−sin⁡2θt\cos \theta_t=\sqrt{1-\sin^2 \theta_t }cosθt=1−sin2θt
折射部分的计算公式为：
T(θi)=1−R(θi)T(\theta_i)=1-R(\theta_i)T(θi)=1−R(θi)

当考虑全反射情况时，完整的计算公式为：
RSchlick2(θi)={R⊥(θi)+R∥(θi)2⇔notTIR1⇔TIRR_{Schlick2}(\theta_i)= \begin{cases} & \frac{R_\perp(\theta_i)+R_\parallel(\theta_i)}{2} \Leftrightarrow not \ TIR \\ & 1 \Leftrightarrow TIR \end{cases} RSchlick2(θi)={2R⊥(θi)+R∥(θi)⇔not TIR1⇔TIR

二、Fresnel公式的近似

PBR中，常见的Schlick Fresnel近似公式为：
RSchlick(θi)=R0+(1−R0)(1−cos⁡θi)5R_{Schlick}(\theta_i)=R_0+(1-R_0)(1-\cos{\theta_i})^5RSchlick(θi)=R0+(1−R0)(1−cosθi)5
其中
R0=(η1−η2η1+η2)2R_0=(\frac{\eta_1-\eta_2}{\eta_1+\eta_2})^2R0=(η1+η2η1−η2)2

而当考虑到折射和全反射时，近似公式应为：
RSchlick2(θi)={R0+(1−R0)(1−cos⁡θi)5⇔η1≤η2R0+(1−R0)(1−cos⁡θt)5⇔(η1>η2)∧notTIR1⇔(η1>η2)∧TIRR_{Schlick2}(\theta_i)=\begin{cases} & R_0+(1-R_0)(1-\cos{\theta_i})^5 \Leftrightarrow \eta_1 \leq \eta_2 \\ & R_0+(1-R_0)(1-\cos{\theta_t})^5 \Leftrightarrow (\eta_1 > \eta_2) \wedge not\ TIR \\ & 1 \Leftrightarrow (\eta_1 > \eta_2)\wedge \ TIR \end{cases} RSchlick2(θi)=⎩⎪⎨⎪⎧R0+(1−R0)(1−cosθi)5⇔η1≤η2R0+(1−R0)(1−cosθt)5⇔(η1>η2)∧not TIR1⇔(η1>η2)∧ TIR

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