引言

本着“凡我不能创造的，我就不能理解”的思想，本系列文章会基于纯Python以及NumPy从零创建自己的深度学习框架，该框架类似PyTorch能实现自动求导。

要深入理解深度学习，从零开始创建的经验非常重要，从自己可以理解的角度出发，尽量不适用外部完备的框架前提下，实现我们想要的模型。本系列文章的宗旨就是通过这样的过程，让大家切实掌握深度学习底层实现，而不是仅做一个调包侠。
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本文介绍自动求导的基础知识——计算图。

计算图

我们知道，反向传播是模型训练的途径。而反向传播是基于求导的，有没有想过像Keras和PyTorch这种工具是如何做到自动求导的。答案就是计算图，只要掌握了计算图的知识，我们就能自己开发一个自动求导工具。

计算图是一种描述函数的工具，可以可视化为有向图结构。其中节点为Tensor(向量/张量)，有向边为操作。

在深度学习中比较常见的例子是类似
y=f(g(h(x)))u=h(x)v=g(u)y=f(v)y = f (g(h(x))) \\ u = h(x) \quad v= g(u) \quad y=f(v) y=f(g(h(x)))u=h(x)v=g(u)y=f(v)

x可以看成是输入，y可以看成是输出，中间经过了3次变换。

有时我们的函数有多个参数(比如乘法就有两个参数)，假设我们要计算e=(a+b)∗(b+1)e = (a+b) * (b+1)e=(a+b)∗(b+1)，它的计算图如下：

这里令c=a+b;d=b+1c = a+ b; \quad d = b + 1c=a+b;d=b+1，为了完整性，也画出了常量111。

有了这个计算图，我们就就可以很容易的计算出eee的值。比如令a=2,b=1a=2,b=1a=2,b=1

当然，我们这么辛苦的画出这个图，主要不是为了沿着箭头方向进行计算的。而是为了求导，也就是计算梯度。

计算图上的梯度

回顾一下链式法则

我们重点来看下多路径的链式法则，即上面说的全导数。

我们要计算e=(a+b)∗(b+1)e = (a+b) * (b+1)e=(a+b)∗(b+1)中∂e/∂b\partial e/ \partial b∂e/∂b。

c=a+b;d=b+1c = a+ b; \quad d = b + 1c=a+b;d=b+1。

类似上图中的ttt，bbb也影响了两个因子。因此有
∂e∂b=∂e∂c⋅∂c∂b+∂e∂d⋅∂d∂b\frac{\partial e}{\partial b} = \frac{\partial e}{\partial c} \cdot \frac{\partial c}{\partial b} + \frac{\partial e}{\partial d} \cdot \frac{\partial d}{\partial b} ∂b∂e=∂c∂e⋅∂b∂c+∂d∂e⋅∂b∂d
要计算偏导数，我们先把每个箭头的偏导数计算出来。

我们先填入计算出来的式子：

根据e=c∗dc=a+bd=b+1e = c * d \quad c = a+ b \quad d = b+ 1e=c∗dc=a+bd=b+1以及求导公式不难得到上面的结果。

此时，要计算∂e/∂b\partial e/ \partial b∂e/∂b，只需要找出所有从bbb到eee到路径，然后把相同路径上的值相乘，不同路径上的值相加(连线相乘，分线相加)。

就可以得到：∂e/∂b=1∗(b+1)+1∗(a+b)\partial e/ \partial b = 1*(b+1) + 1*(a+b)∂e/∂b=1∗(b+1)+1∗(a+b)

此时，代入a=2,b=1a=2,b=1a=2,b=1。

先计算出b+1=2b+1=2b+1=2，再计算a+b=3a+b=3a+b=3，所以∂e/∂b=1∗2+1∗3=5\partial e/ \partial b = 1*2 + 1 *3=5∂e/∂b=1∗2+1∗3=5

反向模式

如果要同时计算eee对aaa和bbb的偏导数，我们需要反向模式(Reverse mode)来同时计算它们。

反向就是从顶点开始，这里从eee开始，也从梯度等于111开始。

从顶点到bbb，通过有两条路径，如山古同橙色箭头所示。达到ccc时的梯度为1∗2=21 * 2 =21∗2=2；到达ddd时的梯度为1∗3=31 * 3=31∗3=3。

ccc和ddd到bbb的梯度都是111。根据相同路径相乘，不同路径相加。到bbb到梯度为2+3=52+3=52+3=5。

此时，计算eee到aaa的就简单了，我们已经知道了eee到ccc到梯度为222，由于eee到aaa只有一条路径，因此直接相乘得∂e/∂a=2∗1=2\partial e / \partial a =2 * 1=2∂e/∂a=2∗1=2。

如果你的函数只有一个输出，由需要同时计算大量的不同值的偏导数时，用反向模式就比较快。

而这恰恰非常适合于我们计算损失函数的梯度，因为损失函数的输出就是一个标量。

总结

我们已经了解了计算图的基础知识，下篇文章就来看一下常见操作的计算图。

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计算图上的梯度

反向模式

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