大家好！欢迎回到动态规划的世界！

这一节的题目绝大部分都是选择的Leetcode中的hard（当然也有少部分的medium）。主要是挑选了一些之前看过的高频题。这些题目没有什么通用的解法，每一个题都需要仔细的去建模和考量，才能够写出对应的状态转移方程。读者可以尝试自己先思考，也可以通过解析摸一摸困难的动态规划题，可能会有哪些难点。

那么我们开始吧。

动态规划（下）

好的，接下来我们就用大量实际的真题，来看一下究竟如何解决动态规划类的问题。

Problem 2: Leetcode 416

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

一个例子是，如果nums = [1,5,11,5]，那么答案是true，因为可以分为1, 5, 5和11两组。

这里要控制的参数有两个：元素和，和数组长度。所以可以考虑一个二维数组dp[i][j]。现在的问题可能就是，应该如何考虑的状态转移方程？

可以这么想，前个数，要达到和为，可能之前有哪些情况？首先很明显的是，数多的情况，肯定由数少的情况发展而来。所以大概率，个数的情况，肯定由等情况发展而来了。

所以思考一下，假如现在你有个数，并且元素和为（相当于dp[m][n]）。它如何由个数的情况变过来？首先你多了这一个数，你自然可以把它放在两个组中的任何一个。那么一定程度上，你可以认为，这个问题划归为了

在前个数中，选择若干个放在一组，是否有可能和为。

因为放在一个组认为是“选择”的话，那么放在另一个组就相当于“不选择”，正好对应了两种情况。这个本质上的思路就是0-1背包问题。

这样的话，dp[i][j]的含义就不难想了。不失一般性我们设是数组长度，而是元素和，那么大体来看，我们应该要输出true or false，那么不妨假设，dp[i][j]表示“前个数，选择若干个，是否有可能和为“？这个时候，如果我们认为数组长度是，而元素和为，那么要求的结果就是dp[m][target]，这里的target是数组和的一半（想想为什么？），也就是说，如果数组和是奇数，或者最大的数已经超过一半，直接返回false就好，这个要想到，但容易被忽略。

我们知道了最后的结果，那么如何转移呢？上面已经说了，相当于有“选择”和“不选择”的两种方案。假如说前个数已经决定好，那么实际上第个数如果选择，对应的状态就倒退回了dp[m-1][n - nums[m]]，这里的nums[m]表示第个数的值。如果不选择，对应的状态就倒退回了dp[m-1][n]。这两个情况有一个是true，结果就应该是true，所以相当于取或运算的关系。

分析到这里，似乎没什么问题。但是要注意，n - nums[m]是有可能为负的。从题目含义上来分析，相当于说，如果你要求的数字和还没有超过第个数，那么自然不可能去“选择”，因此这种情况下，状态只能倒退回dp[m-1][n]。

所以总结一下，状态转移方程为

无后效性这个不难观察，这个我们不多说了。最后，我们看看边界情况。

1. 不选择任何正整数，那么和为0，这是一定可以做到的。所以dp[i][0] = true。

2. 只有一个正整数可以选，对应的是dp[1][nums[1]] = true。

好的，最后我们来把核心的代码粘贴过来。

# Ignored the boundary casesfor (int i = 1; i <= n; i++) {dp[i][0] = true;
}
dp[1][nums[1]] = true;
for (int i = 2; i <= n; i++) {int num = nums[i];for (int j = 1; j <= target; j++) {if (j >= num) {dp[i][j] = dp[i - 1][j] | dp[i - 1][j - num];} else {dp[i][j] = dp[i - 1][j];}}
}
return dp[n][target];

好的，这个题算分析的比较细了。之后的题目中，我们会适当减少对大流程的思考，而重点关注题目的一些技巧。

Problem 3: Leetcode 1458

给你两个数组 nums1 和 nums2 。

请你返回 nums1 和 nums2 中两个长度相同的 非空 子序列的最大点积。

数组的非空子序列是通过删除原数组中某些元素（可能一个也不删除）后剩余数字组成的序列，但不能改变数字间相对顺序。比方说，[2,3,5] 是 [1,2,3,4,5] 的一个子序列而 [1,5,3] 不是。

比方说，nums1 = [2,1,-2,5], nums2 = [3,0,-6]，那么答案是18。因为可以从 nums1 中得到子序列 [2,-2] ，从 nums2 中得到子序列 [3,-6] 。它们的点积为18（你没忘记点积怎么计算，对吧？）。

这一个题的思路也比较直接。考虑dp[i][j]表示“nums1的前个元素，和nums2的前个元素，所能够构成的最大的内积“。所以又到了要考虑状态转移的时候了，很明显，数是一个一个堆起来的，内积也是一个一个对应乘积再求和的。所以可以考虑两个数组中的分别的最后一个元素。

很明显，这还是一个选择或者不选择的问题。两个元素一共可以有四种搭配，其实分别讨论一下就可以知道。

1. 内积序列中选择nums1[i], nums2[j]，那么这个时候除了要加上nums1[i]*nums2[j]，还需要加上dp[i-1][j-1]，相当于回退到了之前的情况。

2. 只选择nums1[i]，那么这个时候，其实对应的情况是dp[i][j-1]，因为不考虑nums2[j]，所以第二个数组考虑前个元素，和考虑前个元素，其实是没区别的。

3. 只选择nums2[j]，对应dp[i-1][j]。

4. 1. 两个都不考虑，对应dp[i-1][j-1]。

总结一下，我们的状态转移方程就是

无后效性也是不难想到的（至少大部分题都不用担心这一点，有特例但是不多）。至于边界条件，只需要给定一个dp[1][1]作为初始解就可以了。

好的，我们放出核心代码。

for (int i = 1; i <= m; ++i) {for (int j = 1; j <= n; ++j) {int xij = nums1[i] * nums2[j];dp[i][j] = xij;if (i > 0) {dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j]);}if (j > 0) {dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - 1]);}if (i > 0 && j > 0) {dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + xij);}}
}

最后只需要输出dp[m][n]就可以了，这里的分别对应两个数组的长度。

Problem 4: Leetcode 115

给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。

字符串的一个 子序列 是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列，而 "AEC" 不是）

题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。

一个简单的案例是，假如s = "rabbbit", t = "rabbit"，那么一共其实有3种可能，大家容易发现，就是你这3个字母b选一个去掉就可以。

这个题就更抽象一点了，但是归根到底其实还是一种递推思想。即思考原序列和子序列在不断推进的时候，状态会发生什么样的变化。

官方题解中，设dp[i][j]表示的子序列中，出现的个数。这里的就表示从第个字符到最后一个的这一段，是一种从后到前的推断。但实际上这个题完全也可以从前到后来分析，过程上没有太大的差别。

还是一样，我们考虑是否选择s[i]和t[j]，这种序列类的题目，很多都是这个思路，从前往后看，或从后往前看，目的就是，观察构成的新的原序列和子序列，是否是符合题目要求的。这就需要观察是否有s[i] == t[j]。

如果满足，那么你可以选择让t[j]对应上s[i]，那么这个时候的方案数就取决于dp[i+1][j+1]。但也可以说让t[j]并不对应上s[i]，那么这就对应了dp[i+1][j]。所以这两种情况加在一起，就对应了dp[i][j]。

如果这个条件不满足，那自然不可能选择这两个位置上的字符，因为这样就无法构成子序列的关系了。所以这样的话只有一种情况，就是dp[i+1][j]。

总结一下，我们的状态转移方程就是

由于这个我们是从后向前枚举的，所以观察初始状态的时候，应该是观察dp[i][n+1]的情况，这里是子序列的长度。由于这个时候，相当于子序列是空序列（想想为什么？），所以应该答案就是1，也就是说。

好的，我们来看看核心代码吧。

for (int i = 1; i <= m+1; i++) {dp[i][n+1] = 1;
}
for (int i = m; i >= 1; i--) {char sChar = s[i];for (int j = n; j >= 1; j--) {char tChar = t[j];if (sChar == tChar) {dp[i][j] = dp[i + 1][j + 1] + dp[i + 1][j];} else {dp[i][j] = dp[i + 1][j];}}
}

最后的结果就是dp[1][1]。

不过这里有一个优化点，就是使用滚动数组。大家可以发现一个事情，就是第一个下标不管由哪一个状态变过来，上一个状态的第一个下标都是。这就意味着其实你没有必要去存储这个维度，因此实际你只需要一个参数就可以了。这样的代码相信也不难改，我们交给读者。

Problem 5: Leetcode 1143

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

比方说如果text1 = "abcde", text2 = "ace" ，答案就是3，因为最长的就是"ace"。

这个题其实就是最长公共子序列（Largest Common Subsequence，LCS）的问题，是一个面试一定要会的题目。思路和之前的题目完全一样，就是在序列不断推进的时候，观察状态如何做的转移。

现在还是一样，假设dp[i][j]，表示**“原序列（包括，下同），新序列，对应的公共子序列的最长长度**“。那么很明显，只有s[i] == t[j]才有可能考虑说对公共子序列的长度有增益，这个时候对应的结果是dp[i-1][j-1] + 1（多说两句，你当然也可以选择说，这两个字符都不选择，倒退到dp[i-1][j-1]这种情况。但很明显，这个结果不可能比之前那个大，所以没必要考虑这种可能性了）。否则的话，就只能取dp[i-1][j], dp[i][j-1]这两种情况中，较大的那个了。

所以状态转移方程为

边界情况其实不用多说，毕竟一开始的情况，数值肯定是0。所以核心代码如下

for (int i = 1; i <= m; i++) {char c1 = text1[i - 1];for (int j = 1; j <= n; j++) {char c2 = text2[j - 1];if (c1 == c2) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;} else {dp[i][j] = fmax(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);}}
}

最后的答案就是dp[m][n]。这个题就当复习了。

Problem 6: Leetcode 312

有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

比方说如果nums = [3, 1, 5, 8]，那么答案就是167。但这个167怎么变过来的，我就不写了，你们看看原出处就好……

这一个题的思路其实不看确实想不到，但是考虑到它实在是hard中的一个高频题，我们把它当成了例子。

首先要注意的是，戳气球和它的反问题：放气球，其实是相同的。大家可以分一个气球在中间和在两边的情况来看（比方说放中间，下标为，那就得到nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 这么多硬币）。所以这个问题中，我们考虑放气球的方式似乎更好，可以从0开始不断的分布状态到最后的结果。不过这里其实你不这么做也可以，这只是单纯为了方便……

OK，那么这样的话，其实我们就不难思考了，设dp[i][j]表示“从第到第个气球，不包括第个。可以得到的最多的硬币数“，那么假如说我们要计算dp[i][j]，应该怎么考虑？事实上就是考虑说，第一次是在哪里放的气球？假如说在坐标下放的，那么这个时候，除去你得到的那个硬币数以外，还需要加上之前的状态已经得到过的硬币。这里就是dp[i][mid]和dp[mid][j]。所以实际上，把这个坐标枚举一遍，就可以得到答案。

因此状态转移方程为

好的，我们来看看代码

int solve(int left, int right) {if (left >= right - 1) {return 0;}if (rec[left][right] != -1) {return rec[left][right];}for (int i = left + 1; i < right; i++) {int sum = val[left] * val[i] * val[right];sum += solve(left, i) + solve(i, right);rec[left][right] = fmax(rec[left][right], sum);}return rec[left][right];
}int maxCoins(int* nums, int numsSize) {memset(rec, -1, sizeof(rec));val[0] = val[numsSize + 1] = 1;for (int i = 1; i <= numsSize; i++) {val[i] = nums[i - 1];}return solve(0, numsSize + 1);
}

可以看出，这个时候我们返回的解就是dp[0][n + 1]，这里的就是气球的个数。

这个题可能有一个比较难想的点在于，这个为什么要定义为“第一次放入的气球的位置”。一个自然的想法当然是我们考虑“上一次”到“这一次”的状态，但这样问题也很明显，就是你放气球之后，同一个区间范围，同一组气球，却有了不同的下标。这种情况状态转移方程就写不出来了。而如果这么定义，无论你上一次放哪里，其实我都不影响我这个额外增益的计算。而最关键的点在于，这么设计之后，你依然可以枚举出所有的情况（毕竟你第一次在这个范围内放的气球的位置，也不可能超过对吧？），所以枚举完成之后，一定是可以找到最优解的。

还有一个细节是，我为什么要设置为区间为开区间，闭区间可不可以？左开右闭可不可以？当然也是可以的，一切以方便为主。但是要注意的是，其他的情况对应的状态转移方程会略有不同，这个我们交给读者思考。

Problem 7: Leetcode 72

给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符 删除一个字符 替换一个字符

比方说word1 = "horse", word2 = "ros"，那么对应的答案是3。

这个题也是比较传统的编辑距离(Edit DIstance)的问题，也是hard中的高频题。这个题本身也是涉及NLP领域的一个基本算法。

这个题的难点在于，这里一共有6种操作，但需要经过多思考，把它化为3种情况。这3种情况分别为

给字符串A插入一个字符

给字符串B插入一个字符

给字符串A修改一个字符

剩下的3种，其实都和这三种等价了。比方说给字符串B插入一个字符，其实和给字符串A删除一个字符，作用是相同的。读者可以想想为什么，这本质上还是一个逆变换的思想。

那么好，这样的话，其实就可以设dp[i][j]表示word1的前个和word2的前个对应的编辑距离。那么一个好的消息是，不管是哪一种变换，都只会改变一个元素。所以按照序列问题朴素的思考方式，我们从前到后考虑一下。

如果最近的一次是第一种（给字符串A插入一个字符），那么插入的字符就是第个，这个时候相当于可以回退到dp[i-1][j]。但是因为多了一步操作数，所以结果要加1。

如果是第二种，类似，结果是dp[i][j-1] + 1。如果是第三种，就要看word1[i] = word2[j]是否成立了。如果成立，其实就不需要修改的操作。但不成立，就要修改，所以这一个其实要根据实际情况去看。

总结一下，状态转移方程就是

对于边界条件，这里就是考虑有一个字符串没有字符，另一个有的情况。比方说word1有，word2是空的，那么只需要把word1也删除干净就可以了。这里相当于对应dp[i][0] = i, dp[0][j] = j。

这里多说几句，其实在我们从前到后推理的过程中，其实就已经把所有的字符串的字符的所有可能的插入，删除和修改情况都已经考虑到了。如果对状态转移方程有疑问，就想一下这一点是否make sense就可以了。

好的，我们看一下核心代码。

for (int i = 0; i < n + 1; i++) {dp[i][0] = i;
}
for (int j = 0; j < m + 1; j++) {dp[0][j] = j;
}// 计算所有 DP 值
for (int i = 1; i < n + 1; i++) {for (int j = 1; j < m + 1; j++) {int left = dp[i - 1][j] + 1;int down = dp[i][j - 1] + 1;int left_down = dp[i - 1][j - 1];if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) left_down += 1;dp[i][j] = min(left, min(down, left_down));}
}

这里的最后的返回结果就是dp[n][m]，其中分别对应word1和word2的长度。

Problem 8: Leetcode 1027

给定一个整数数组 A，返回 A 中最长等差子序列的长度。

回想一下，A 的子序列是列表 A[i_1], A[i_2], ..., A[i_k] 其中 0 <= i_1 < i_2 < ... < i_k <= A.length - 1。并且如果 B[i+1] - B[i] ( 0 <= i < B.length - 1) 的值都相同，那么序列 B 是等差的。

比方说如果输入是[3,6,9,12]，那么输出就是4，因为整个大的数组就是最长的等差子数列，长度为4。

这个问题的麻烦点可能在于，你仅仅使用一个参数（就是数的个数）来描述是不够的，因为你的公差不同，你对应的最长等差子数列可能就不一样。所以这里用了第二个参数就是公差。方法也是非常朴素的，最长上升子序列的做法。

现在假设dp[i][diff]表示公差为，考虑前个数，并且以第个数为最后一个数，对应的最长的等差数列的长度（这里我们要求第个数必须在等差数列中，也是为了递推方便，其实也是LIS里的trick）。那么这样的话，只要考虑之前的个数（），然后看从这个状态到的状态，中间应该怎么去变。

这个不难，因为假如说从到，如果我们从“以第个数为最后一个数“，去跳到”以第个数为最后一个数“，那么实际上就相当于，最后的两个数是相邻的两个数。那么必须要求公差为它们俩的差（否则就不是等差数列了）。因此状态转移方程就可以得到为

这里有一个细节，就是**不一定是正数**。所以实际的代码中，会把第二维每一次得到的差去加一个很大的正数。但是很明显，正数加的越大，空间占用越大，所以实际要加多少，取决于题目的条件。比方说如果告诉你，公差不会低于-10000，那么你加10000其实就够了。

好的，我们来看一下核心代码。

for (int i = 0; i < N; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {auto diff = A[i] - A[j];int offset = 10000;diff += offset;dp[i][diff] = max(dp[i][diff], dp[j][diff] + 1);res = max(dp[i][diff], res);}
}

这里的最终的结果就是代码里的res，和其他题不太一样的是，这里你不知道最长的等差数列的公差是多少，也不知道最后一个元素是哪一个，所以你只能把所有情况都考虑一下，然后取个max了。

Problem 9: Leetcode 1335

你需要制定一份 d 天的工作计划表。工作之间存在依赖，要想执行第 i 项工作，你必须完成全部 j 项工作（ 0 <= j < i）。

你每天 至少 需要完成一项任务。工作计划的总难度是这 d 天每一天的难度之和，而一天的工作难度是当天应该完成工作的最大难度。

给你一个整数数组 jobDifficulty 和一个整数 d，分别代表工作难度和需要计划的天数。第 i 项工作的难度是 jobDifficulty[i]。

返回整个工作计划的 最小难度 。如果无法制定工作计划，则返回 -1 。

比方说如果我们有jobDifficulty = [6,5,4,3,2,1], d = 2，那么实际上，答案就是7。因为你可以先做前5个工作（cost是6），再做最后一个（cost是1）。

这个问题本质上其实也是一个序列决策问题，所以还是只需要看，之前的决策怎么影响之后的决策，或者反过来。

现在我们考虑设dp[i][j]表示“到达第个工作，还需要完成天的任务的时候，所可以达到的最小的难度“（你当然也可以反过来说，考虑“已经完成天“任务，这个没有影响，只是状态转移方程会有些不同）。所以这样的话，我们不难发现的一点是，第个工作之后的几个工作，它对应的工作难度可以计算，并且安排之后，相当于就只差天的任务完成了。所以不难想，假如说我们安排一下完成2个任务（对应第个），那么工作难度就需要增加，并且状态就变成了dp[i + 2][j-1]。类似的，不难想的是，你当然也可以安排一下完成后面的所有任务，这中间的每一个情况，都是一种可能的状态转移，所以状态转移方程就是

这里注意的最大值，这是因为我们有要求每一天必须至少完成一个任务。

那么对于它的边界条件，其实不难想，就是“最后只剩下1天任务要完成”的情况。这个时候，最后的所有的任务其实你都需要做完，那么对应的工作难度就变成了最后几个任务中，难度最大的那个。比方说你还剩下[9, 8, 7]这3个任务，那么答案就是9。

好的，我们给出这个题目的核心代码。

for (let i = LEN - 1, curMax = 0; i >= 0; --i) {jobDifficulty[i] > curMax && (curMax = jobDifficulty[i]);dp[i][1] = curMax;
}for (int i = 2; i <= d; ++i) {for (int j = 0; j <= LEN - i; ++j) {int Max = 0;for (int k = j; k <= LEN - i; ++k) {jobDifficulty[k] > Max && (Max = jobDifficulty[k]);dp[j][i] = min(dp[j][i], dp[k + 1][i - 1] + Max);}}
}

最后只需要返回dp[0][d]就可以了。

小结

这一篇文章算是给这一个系列的难度试一试水。我们列举了一些相对来说比较高频，也比较困难的动态规划系列的题目。这些题目各有各的tricks，但是也并不是完全没有共通点。正如之前所说，刷题一定要抓住算法与数据结构的本质，而不是为了tricks而舍本逐末。而这一节中，我们已经可以看出，经典模型的一些思路和方法在这一篇文章中也有很多被使用。而同时我们也可以看出动态规划的关键步骤。而抓住这些步骤，了解基本模型之后，即使一些tricks相对比较难想到，其实也只需要强记就好，不会因为hard而耽误了medium和easy的通过率。

下一篇文章我们开始介绍其他的知识（具体要写啥，我目前还没有想好233），当然我必须承认动态规划还有相当多的难题没有写在笔记里，这一部分我们也会挑出一部分，放到后面的难题中，因为它们大部分都需要一些思维量，没有这两节的题目那么直接，因此可能会吓到大家hhh，还是循序渐进为好～