逻辑回归及美团逻辑回归总结

什么是逻辑回归？

Logistic回归与多重线性回归实际上有很多相同之处，最大的区别就在于它们的因变量不同，其他的基本都差不多。正是因为如此，这两种回归可以归于同一个家族，即广义线性模型（generalizedlinear model）。

这一家族中的模型形式基本上都差不多，不同的就是因变量不同。

如果是连续的，就是多重线性回归；
如果是二项分布，就是Logistic回归；
如果是Poisson分布，就是Poisson回归；
如果是负二项分布，就是负二项回归。

Logistic回归的因变量可以是二分类的，也可以是多分类的，但是二分类的更为常用，也更加容易解释。所以实际中最常用的就是二分类的Logistic回归。

Logistic回归的主要用途：

寻找危险因素：寻找某一疾病的危险因素等；
预测：根据模型，预测在不同的自变量情况下，发生某病或某种情况的概率有多大；
判别：实际上跟预测有些类似，也是根据模型，判断某人属于某病或属于某种情况的概率有多大，也就是看一下这个人有多大的可能性是属于某病。

Logistic回归主要在流行病学中应用较多，比较常用的情形是探索某疾病的危险因素，根据危险因素预测某疾病发生的概率，等等。例如，想探讨胃癌发生的危险因素，可以选择两组人群，一组是胃癌组，一组是非胃癌组，两组人群肯定有不同的体征和生活方式等。这里的因变量就是是否胃癌，即“是”或“否”，自变量就可以包括很多了，例如年龄、性别、饮食习惯、幽门螺杆菌感染等。自变量既可以是连续的，也可以是分类的。

常规步骤

Regression问题的常规步骤为：

寻找h函数（即hypothesis）；
构造J函数（损失函数）；
想办法使得J函数最小并求得回归参数（θ）

构造预测函数h

Logistic回归虽然名字里带“回归”，但是它实际上是一种分类方法，主要用于两分类问题（即输出只有两种，分别代表两个类别），所以利用了Logistic函数（或称为Sigmoid函数），函数形式为：

Sigmoid 函数在有个很漂亮的“S”形，如下图所示（引自维基百科）：

下面左图是一个线性的决策边界，右图是非线性的决策边界。

对于线性边界的情况，边界形式如下：

构造预测函数为：

函数的值有特殊的含义，它表示结果取1的概率，因此对于输入x分类结果为类别1和类别0的概率分别为：

构造损失函数J

Cost函数和J函数如下，它们是基于最大似然估计推导得到的。

下面详细说明推导的过程：

（1）式综合起来可以写成：

取似然函数为：

对数似然函数为：

最大似然估计就是求使取最大值时的θ，其实这里可以使用梯度上升法求解，求得的θ就是要求的最佳参数。但是，在Andrew Ng的课程中将取为下式，即：

因为乘了一个负的系数-1/m，所以取最小值时的θ为要求的最佳参数。

梯度下降法求的最小值

θ更新过程：

θ更新过程可以写成：

向量化Vectorization

Vectorization是使用矩阵计算来代替for循环，以简化计算过程，提高效率。

如上式，Σ(...)是一个求和的过程，显然需要一个for语句循环m次，所以根本没有完全的实现vectorization。

下面介绍向量化的过程：

约定训练数据的矩阵形式如下，x的每一行为一条训练样本，而每一列为不同的特称取值：

g(A)的参数A为一列向量，所以实现g函数时要支持列向量作为参数，并返回列向量。由上式可知可由一次计算求得。

θ更新过程可以改为：

综上所述，Vectorization后θ更新的步骤如下：

（1）求；

（2）求；

（3）求。

正则化Regularization

过拟合问题

对于线性回归或逻辑回归的损失函数构成的模型，可能会有些权重很大，有些权重很小，导致过拟合（就是过分拟合了训练数据），使得模型的复杂度提高，泛化能力较差（对未知数据的预测能力）。

下面左图即为欠拟合，中图为合适的拟合，右图为过拟合。

问题的主因

过拟合问题往往源自过多的特征。

解决方法

1）减少特征数量（减少特征会失去一些信息，即使特征选的很好）

可用人工选择要保留的特征；
模型选择算法；

2）正则化（特征较多时比较有效）

保留所有特征，但减少θ的大小

正则化方法

正则化是结构风险最小化策略的实现，是在经验风险上加一个正则化项或惩罚项。正则化项一般是模型复杂度的单调递增函数，模型越复杂，正则化项就越大。

从房价预测问题开始，这次采用的是多项式回归。左图是适当拟合，右图是过拟合。

直观来看，如果我们想解决这个例子中的过拟合问题，最好能将的影响消除，也就是让。假设我们对进行惩罚，并且令其很小，一个简单的办法就是给原有的Cost函数加上两个略大惩罚项，例如：

这样在最小化Cost函数的时候，。

正则项可以取不同的形式，在回归问题中取平方损失，就是参数的L2范数，也可以取L1范数。取平方损失时，模型的损失函数变为：

lambda是正则项系数：

如果它的值很大，说明对模型的复杂度惩罚大，对拟合数据的损失惩罚小，这样它就不会过分拟合数据，在训练数据上的偏差较大，在未知数据上的方差较小，但是可能出现欠拟合的现象；
如果它的值很小，说明比较注重对训练数据的拟合，在训练数据上的偏差会小，但是可能会导致过拟合。

正则化后的梯度下降算法θ的更新变为：

正则化后的线性回归的Normal Equation的公式为：

其他优化算法

Conjugate gradient method(共轭梯度法)
Quasi-Newton method(拟牛顿法)
BFGS method
L-BFGS(Limited-memory BFGS)

后二者由拟牛顿法引申出来，与梯度下降算法相比，这些算法的优点是：

第一，不需要手动的选择步长；
第二，通常比梯度下降算法快；

但是缺点是更复杂。

多类分类问题

对于多类分类问题，可以将其看做成二类分类问题：保留其中的一类，剩下的作为另一类。

对于每一个类 i 训练一个逻辑回归模型的分类器，并且预测y = i时的概率；对于一个新的输入变量x, 分别对每一个类进行预测，取概率最大的那个类作为分类结果：

参考链接

http://blog.csdn.net/dongtingzhizi/article/details/15962797

Coursera公开课笔记: 斯坦福大学机器学习第六课“逻辑回归(Logistic Regression)”

Coursera公开课笔记: 斯坦福大学机器学习第七课“正则化(Regularization)”

问题

实际工作中，我们可能会遇到如下问题：

预测一个用户是否点击特定的商品
判断用户的性别
预测用户是否会购买给定的品类
判断一条评论是正面的还是负面的

这些都可以看做是分类问题，更准确地，都可以看做是二分类问题。同时，这些问题本身对美团也有很重要的价值，能够帮助我们更好的了解我们的用户，服务我们的用户。要解决这些问题，通常会用到一些已有的分类算法，比如逻辑回归，或者支持向量机。它们都属于有监督的学习，因此在使用这些算法之前，必须要先收集一批标注好的数据作为训练集。有些标注可以从log中拿到（用户的点击，购买），有些可以从用户填写的信息中获得（性别），也有一些可能需要人工标注（评论情感极性）。另一方面，知道了一个用户或者一条评论的标签后，我们还需要知道用什么样的特征去描述我们的数据，对用户来说，可以从用户的浏览记录和购买记录中获取相应的统计特征，而对于评论来说，最直接的则是文本特征。这样拿到数据的特征和标签后，就得到一组训练数据：

D=(x1,y1),(x2,y2)...(xN,yN)

其中 xi 是一个 m 维的向量，xi=[xi1,xi2,...,xim] ，y 在 {0, 1} 中取值。（本文用{1，0}表示正例和负例，后文沿用此定义。）

我们的问题可以简化为，如何找到这样一个决策函数y∗=f(x)，它在未知数据集上能有足够好的表现。至于如何衡量一个二分类模型的好坏，我们可以用分类错误率这样的指标：Err=1N∑1[y∗=y] 。也可以用准确率，召回率，AUC等指标来衡量。

值得一提的是，模型效果往往和所用特征密切相关。特征工程在任何一个实用的机器学习系统中都是必不可少的，机器学习InAction系列已有一篇文章中对此做了详细的介绍，本文不再详细展开。

模型

sigmoid 函数

在介绍逻辑回归模型之前，我们先引入sigmoid函数，其数学形式是：

g(x)=11+e−x

对应的函数曲线如下图所示：

从上图可以看到sigmoid函数是一个s形的曲线，它的取值在[0, 1]之间，在远离0的地方函数的值会很快接近0/1。这个性质使我们能够以概率的方式来解释（后边延伸部分会简单讨论为什么用该函数做概率建模是合理的)。

决策函数

一个机器学习的模型，实际上是把决策函数限定在某一组条件下，这组限定条件就决定了模型的假设空间。当然，我们还希望这组限定条件简单而合理。而逻辑回归模型所做的假设是：

P(y=1|x;θ)=g(θTx)=11+e−θT∗x

这里的 g(h) 是上边提到的 sigmoid 函数，相应的决策函数为：

y∗=1,ifP(y=1|x)>0.5

选择0.5作为阈值是一个一般的做法，实际应用时特定的情况可以选择不同阈值，如果对正例的判别准确性要求高，可以选择阈值大一些，对正例的召回要求高，则可以选择阈值小一些。

参数求解

模型的数学形式确定后，剩下就是如何去求解模型中的参数。统计学中常用的一种方法是最大似然估计，即找到一组参数，使得在这组参数下，我们的数据的似然度（概率）越大。在逻辑回归模型中，似然度可表示为：

L(θ)=P(D|θ)=∏P(y|x;θ)=∏g(θTx)y(1−g(θTx))1−y

取对数可以得到对数似然度：

l(θ)=∑ylogg(θTx)+(1−y)log(1−g(θTx))

另一方面，在机器学习领域，我们更经常遇到的是损失函数的概念，其衡量的是模型预测错误的程度。常用的损失函数有0-1损失，log损失，hinge损失等。其中log损失在单个数据点上的定义为−ylogp(y|x)−(1−y)log1−p(y|x)

如果取整个数据集上的平均log损失，我们可以得到

J(θ)=−1Nl(θ)

即在逻辑回归模型中，我们最大化似然函数和最小化log损失函数实际上是等价的。对于该优化问题，存在多种求解方法，这里以梯度下降的为例说明。梯度下降(Gradient Descent)又叫作最速梯度下降，是一种迭代求解的方法，通过在每一步选取使目标函数变化最快的一个方向调整参数的值来逼近最优值。基本步骤如下：

选择下降方向（梯度方向，∇J(θ)）
选择步长，更新参数 θi=θi−1−αi∇J(θi−1)
重复以上两步直到满足终止条件

其中损失函数的梯度计算方法为：

∂J∂θ=−1n∑i(yi−y∗i)xi+λθ

沿梯度负方向选择一个较小的步长可以保证损失函数是减小的，另一方面，逻辑回归的损失函数是凸函数（加入正则项后是严格凸函数），可以保证我们找到的局部最优值同时是全局最优。此外，常用的凸优化的方法都可以用于求解该问题。例如共轭梯度下降，牛顿法，LBFGS等。

分类边界

知道如何求解参数后，我们来看一下模型得到的最后结果是什么样的。很容易可以从sigmoid函数看出，当θTx>0 时，y=1，否则 y=0。θTx=0 是模型隐含的分类平面（在高维空间中，我们说是超平面）。所以说逻辑回归本质上是一个线性模型，但是，这不意味着只有线性可分的数据能通过LR求解，实际上，我们可以通过特征变换的方式把低维空间转换到高维空间，而在低维空间不可分的数据，到高维空间中线性可分的几率会高一些。下面两个图的对比说明了线性分类曲线和非线性分类曲线（通过特征映射）。

左图是一个线性可分的数据集，右图在原始空间中线性不可分，但是在特征转换 [x1,x2]=>[x1,x2,x21,x22,x1x2] 后的空间是线性可分的，对应的原始空间中分类边界为一条类椭圆曲线。

正则化

当模型的参数过多时，很容易遇到过拟合的问题。这时就需要有一种方法来控制模型的复杂度，典型的做法在优化目标中加入正则项，通过惩罚过大的参数来防止过拟合：

J(θ)=−1N∑ylogg(θTx)+(1−y)log(1−g(θTx))+λ∥w∥p

一般情况下，取p=1或p=2，分别对应L1，L2正则化，两者的区别可以从下图中看出来，L1正则化（左图）倾向于使参数变为0，因此能产生稀疏解。

实际应用时，由于我们数据的维度可能非常高，L1正则化因为能产生稀疏解，使用的更为广泛一些。

延伸

生成模型和判别模型

逻辑回归是一种判别模型，表现为直接对条件概率P(y|x)建模，而不关心背后的数据分布P(x,y)。而高斯贝叶斯模型（Gaussian Naive Bayes）是一种生成模型，先对数据的联合分布建模，再通过贝叶斯公式来计算样本属于各个类别的后验概率，即：

p(y|x)=P(x|y)P(y)∑P(x|y)P(y)

通常假设P(x|y)是高斯分布，P(y)是多项式分布，相应的参数都可以通过最大似然估计得到。如果我们考虑二分类问题，通过简单的变化可以得到：

logP(y=1|x)P(y=0|x)=logP(x|y=1)P(x|y=0)+logP(y=1)P(y=0) =−(x−μ1)22σ21+(x−μ0)22σ20 +θ0

如果 σ1=σ0，二次项会抵消，我们得到一个简单的线性关系：

logP(y=1|x)P(y=0|x)=θTx

由上式进一步可以得到：

P(y=1|x)=eθTx1+eθTx=11+e−θTx

可以看到，这个概率和逻辑回归中的形式是一样的。这种情况下GNB 和 LR 会学习到同一个模型。实际上，在更一般的假设（P(x|y)的分布属于指数分布族）下，我们都可以得到类似的结论。

多分类（softmax)

如果y不是在[0,1]中取值，而是在K个类别中取值，这时问题就变为一个多分类问题。有两种方式可以出处理该类问题：一种是我们对每个类别训练一个二元分类器（One-vs-all），当K个类别不是互斥的时候，比如用户会购买哪种品类，这种方法是合适的。如果K个类别是互斥的，即 y=i 的时候意味着 y 不能取其他的值，比如用户的年龄段，这种情况下 Softmax 回归更合适一些。Softmax 回归是直接对逻辑回归在多分类的推广，相应的模型也可以叫做多元逻辑回归（Multinomial Logistic Regression）。模型通过 softmax 函数来对概率建模，具体形式如下：

P(y=i|x,θ)=eθTix∑KjeθTjx

而决策函数为：y∗=argmaxiP(y=i|x,θ)

对应的损失函数为：

J(θ)=−1N∑iN∑jK1[yi=j]logeθTix∑eθTkx

类似的，我们也可以通过梯度下降或其他高阶方法来求解该问题，这里不再赘述。

应用

本文开始部分提到了几个在实际中遇到的问题，这里以预测用户对品类的购买偏好为例，介绍一下美团是如何用逻辑回归解决工作中问题的。该问题可以转换为预测用户在未来某个时间段是否会购买某个品类，如果把会购买标记为1，不会购买标记为0，就转换为一个二分类问题。我们用到的特征包括用户在美团的浏览，购买等历史信息，见下表

类别	特征
用户	购买频次，浏览频次，时间，地理位置 ...
品类	销量，购买用户，浏览用户 ...
交叉	购买频次，浏览频次，购买间隔 ...

其中提取的特征的时间跨度为30天，标签为2天。生成的训练数据大约在7000万量级（美团一个月有过行为的用户），我们人工把相似的小品类聚合起来，最后有18个较为典型的品类集合。如果用户在给定的时间内购买某一品类集合，就作为正例。哟了训练数据后，使用Spark版的LR算法对每个品类训练一个二分类模型，迭代次数设为100次的话模型训练需要40分钟左右，平均每个模型2分钟，测试集上的AUC也大多在0.8以上。训练好的模型会保存下来，用于预测在各个品类上的购买概率。预测的结果则会用于推荐等场景。

由于不同品类之间正负例分布不同，有些品类正负例分布很不均衡，我们还尝试了不同的采样方法，最终目标是提高下单率等线上指标。经过一些参数调优，品类偏好特征为推荐和排序带来了超过1%的下单率提升。

此外，由于LR模型的简单高效，易于实现，可以为后续模型优化提供一个不错的baseline，我们在排序等服务中也使用了LR模型。

总结

逻辑回归的数学模型和求解都相对比较简洁，实现相对简单。通过对特征做离散化和其他映射，逻辑回归也可以处理非线性问题，是一个非常强大的分类器。因此在实际应用中，当我们能够拿到许多低层次的特征时，可以考虑使用逻辑回归来解决我们的问题。