【2019南京ICPC网络赛 D】Robots【DAG上的随机游走】

题意：

给出一个有向无环图，从 111 号点向 nnn 号点前进。每次等概率地转移到后继节点，也有可能留在当前节点。定义每一天的花费是当前走过的天数，即第 iii 天的花费是 iii，求从起点走到终点的总花费。(2≤n≤105,1≤m≤2∗105)(2\leq n\leq 10^5,1\leq m\leq 2*10^5)(2≤n≤105,1≤m≤2∗105)

思路：

令 day[i]day[i]day[i] 表示从第 iii 个点到达第 nnn 个点的期望天数，cost[i]cost[i]cost[i] 表示从第 iii 个点到达第 nnn 个点的期望花费，deg[i]deg[i]deg[i] 表示第 iii 个点的出度。

day[i]=∑j∈deg[i]day[j]deg[i]+1+day[i]deg[i]+1+1day[i]=∑j∈deg[i]day[j]deg[i]+deg[i]+1deg[i]day[i] = \sum\limits_{j\in deg[i]}\frac{day[j]}{deg[i]+1}\ +\ \frac{day[i]}{deg[i]+1} \ +\ 1 \\ \\ day[i] = \sum\limits_{j\in deg[i]}\frac{day[j]}{deg[i]}\ +\ \frac{deg[i]+1}{deg[i]} \\ day[i]=j∈deg[i]∑deg[i]+1day[j] + deg[i]+1day[i] + 1day[i]=j∈deg[i]∑deg[i]day[j] + deg[i]deg[i]+1

然后再来求取 cost[i]cost[i]cost[i]。
cost[i]=∑j∈deg[i]cost[j]deg[i]+1+cost[i]deg[i]+1+day[i]cost[i]=∑j∈deg[i]cost[j]deg[i]+deg[i]∗(deg[i]+1)deg[i]cost[i] = \sum\limits_{j\in deg[i]}\frac{cost[j]}{deg[i]+1}\ +\ \frac{cost[i]}{deg[i]+1} \ +\ day[i] \\ \\ cost[i] = \sum\limits_{j\in deg[i]}\frac{cost[j]}{deg[i]}\ +\ \frac{deg[i]*(deg[i]+1)}{deg[i]} \\ cost[i]=j∈deg[i]∑deg[i]+1cost[j] + deg[i]+1cost[i] + day[i]cost[i]=j∈deg[i]∑deg[i]cost[j] + deg[i]deg[i]∗(deg[i]+1)

为什么求 cost[i]cost[i]cost[i] 的最后要加上一个 day[i]day[i]day[i]，因为当前之后还有 day[i]−1day[i]-1day[i]−1 天，每天的期望要加上一个 111，即当前走的这一步。因此 day[i]−1+1=day[i]day[i]-1+1=day[i]day[i]−1+1=day[i]。

接下来就是把边反向跑拓扑序转移即可。

总结：

概率 dpdpdp 题目，主要难点在于考虑清所有的情况，精准地列出式子。

有时最终的式子也有可能由多个式子组成，需要求出多个变量，需要对问题进行一定的拆分。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a);
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define per(i,a,b) for(int i = a; i >= b; i--)
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N = 4e5+100;
const int M = 5e5+100;
const db EPS = 1e-9;
using namespace std;void dbg() {cout << "\n";}
template<typename T, typename... A> void dbg(T a, A... x) {cout << a << ' '; dbg(x...);}
#define logs(x...) {cout << #x << " -> "; dbg(x);}int n,m,tot,head[N],deg[N],base[N];
db day[N],cost[N];
struct Node{int to,next;
}e[M];void add(int x,int y){e[++tot].to = y, e[tot].next = head[x], head[x] = tot;
}void init(){tot = 1;rep(i,0,n){head[i] = deg[i] = 0;day[i] = cost[i] = 0;}
}void solve(){queue<int> q;while(q.size()) q.pop();rep(i,1,n) base[i] = deg[i];rep(i,1,n)if(!deg[i]) q.push(i);while(q.size()){int x = q.front(); q.pop();if(base[x] != 0){day[x] += (db)(base[x]+1)/(db)base[x];cost[x] += ((db)day[x]*(db)(base[x]+1))/(db)base[x];}for(int i = head[x]; i; i = e[i].next){int y = e[i].to;deg[y]--;day[y] += (db)day[x]/(db)base[y];cost[y] += (db)cost[x]/(db)base[y];if(!deg[y]) q.push(y);}}printf("%.2f\n",cost[1]);
}int main()
{int _; scanf("%d",&_);while(_--){scanf("%d%d",&n,&m);init();rep(i,1,m){int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);deg[u]++; add(v,u);}solve();}return 0;
}

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