本文属于「离散数学」系列文章之一。这一系列着重于离散数学的学习和应用。由于内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏离散数学系列文章汇总目录一文以作备忘。此外，在本系列学习文章中，为了透彻理解数学知识，本人参考了诸多博客、教程、文档、书籍等资料。以下是本文的不完全参考目录，在后续学习中还会逐渐补充：

（国外经典教材）离散数学及其应用第七版 Discrete Mathematics and Its Applications 7th ，作者是 Kenneth H.Rosen ，袁崇义译，机械工业出版社

离散数学第二版，武波等编著，西安电子科技大学出版社，2006年

离散数学第三版，方世昌等编著，西安电子科技大学出版社，2013年

（经典参考书及其题解）离散数学/离散数学——理论•分析•题解，左孝凌、李为鉴、刘永才编著，上海科学技术文献出版社

离散数学习题集：数理逻辑与集合论分册，耿素云；图论分册，耿素云；抽象代数分册，张立昂。北京大学出版社

文章目录

4. 布尔代数
- 4.1 布尔格、布尔代数的定义和证明
- 4.2 常见布尔代数示例

4. 布尔代数

4.1 布尔格、布尔代数的定义和证明

定义4.1.1 设 ⟨B,≼⟩\lang B, \preccurlyeq \rang⟨B,≼⟩ 是一个格，如果 ⟨B,≼⟩\lang B, \preccurlyeq \rang⟨B,≼⟩ 即是有补格，又是分配格，则称 ⟨B,≼⟩\lang B,\preccurlyeq \rang⟨B,≼⟩ 是布尔格。

由于在布尔格 ⟨B,≼⟩\lang B, \preccurlyeq \rang⟨B,≼⟩ 中，每个元素 aaa 都有唯一的一个补元 a‾\overline aa ，因此可在 BBB 上定义一个一元运算——补运算。这样，布尔格 ⟨B,≼⟩\lang B, \preccurlyeq\rang⟨B,≼⟩ 所导出 induce 的代数格可看做是具有两个二元运算 ∨,∧\lor, \land∨,∧ 和一个一元运算 ˉ\ \bar{ }\ {} ˉ 的代数结构，记做 ⟨B,∨,∧,ˉ⟩\lang B, \lor, \land , \bar{ } \ \rang⟨B,∨,∧,ˉ ⟩ ，称为布尔代数 Boolean Algebra 。

定理4.1.1 设 ⟨B,∨,∧,ˉ⟩\lang B, \lor, \land , \bar{ } \ \rang⟨B,∨,∧,ˉ ⟩ 是由布尔格 ⟨B,≼⟩\lang B, \preccurlyeq \rang⟨B,≼⟩ 导出的布尔代数，对于任意 a,b∈Ba , b \in Ba,b∈B ，则有：
（1）（对合律）(a‾)‾=a\overline { (\overline a)} = a(a)=a
（2）（德摩根律）a∨b‾=a‾∧b‾\overline { a \lor b } = \overline {a} \land \overline {b}a∨b=a∧b ，a∧b‾=a‾∨b‾\overline {a \land b} = \overline {a} \lor \overline {b}a∧b=a∨b
证明：
（1）因为 a∨a‾=1,a∧a‾=0a\lor \overline a = 1, a\land \overline a = 0a∨a=1,a∧a=0 ，所以 (a‾)‾=a\overline { (\overline a)} = a(a)=a 。

下面列举布尔代数的一些重要性质，并进一步讨论布尔代数的判断条件。设 ⟨B,∨,∧,ˉ⟩\lang B, \lor, \land , \bar{ } \ \rang⟨B,∨,∧,ˉ ⟩ 是由布尔格 ⟨B,≼⟩\lang B, \preccurlyeq \rang⟨B,≼⟩ 导出的布尔代数，其中全上界是 111 ，全下界是 000 ，对于任意 a,b,c∈Ba , b, c \in Ba,b,c∈B ，则有：
（1）对合律
（2）等幂律
（3）交换律
（4）结合律
（5）分配律
（6）德摩根律
（7）吸收律
（8）零律
（9）同一律
（10）排中律
（11）矛盾律

4.2 常见布尔代数示例

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【离散数学】代数系统第六章格与布尔代数(4) 布尔代数

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4. 布尔代数

4.1 布尔格、布尔代数的定义和证明

4.2 常见布尔代数示例

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