赋范向量空间的连续线性算子

设X和Y是同一个域 K=RorK=C\mathbb{K=R} ~~ or ~~ \mathbb{K=C}K=R or K=C 上的向量空间，0表示他们中的零向量。
映射 A:X→YA:X\to YA:X→Y 对所有 x,y∈X,α∈Kx,y\in X , ~\alpha \in\mathbb{K}x,y∈X, α∈K 有
A(x+y)=A(x)+A(y),A(αx)=αAA(x+y)=A(x)+A(y),A(\alpha x) = \alpha AA(x+y)=A(x)+A(y),A(αx)=αA
则称A为由X到Y的线性算子。
这个线性定义和之前学信号与系统里面的线性也是一模一样，叠加性齐次性啥的

如果 Y=KY=\mathbb{K}Y=K 则称之为线性泛函或者线性型。一般简记A(x) 为 Ax

半线性 如果 K=C\mathbb{K=C}K=C 然后把那个乘法改成 A(αx)=α‾A(x)A(\alpha x) =\overline \alpha A(x)A(αx)=αA(x) ，则A是半线性的。

A的核 如果A是线性算子，称X的子集 KerA:={x∈X;Ax=0}Ker ~~ A:=\{x\in X;Ax = 0\}Ker A:={x∈X;Ax=0} 为A的核。
称X在A作用下的直接像A(X) 是A的值域，记作 Im A，有 ImA:=A(X)={y∈Y;∃x∈X,y=Ax}Im ~~A:= A(X) = \{y\in Y; \exists x \in X , y = Ax \}Im A:=A(X)={y∈Y;∃x∈X,y=Ax}
所以说A的核心就是X里能够在运算后得到0的元素的集合。

初等性质

仅当A的核只有一个0元素的时候，A是单射（很容易理解嘛，不然不就很多个元素都映射到0了么，只能有一个的话，那必然是只有0元素了）
如果线性算子是单射，那么他的逆映射是从Im A到X的线性算子(此处应有同理)

线性算子的特征值和特征子空间

如果 ∃p∈X,p≠0,λ∈K,Ap=λp\exists p\in X,p\not ={0} , \lambda \in \mathbb{K} ,Ap = \lambda p∃p∈X,p=0,λ∈K,Ap=λp
则λ是A的一个特征值，非零向量p是A相对于特征值λ的一个特征向量。
X的子空间 {p∈X;Ap=λp}≠0\{p\in X;Ap=\lambda p\} \not ={0}{p∈X;Ap=λp}=0 是相对于特征值 λ 的特征子空间。

空间 L(X;Y),L(X),X∗\mathcal{L}(X;Y),\mathcal{L}(X) ,X^*L(X;Y),L(X),X∗

设X和Y是同一个域 K\mathbb{K}K 上的两个赋范线性空间，则将域 K\mathbb{K}K 上由所有X到Y的连续线性算子组成的空间记作
L(X;Y)orY=X时L(X)\mathcal{L}(X;Y) ~~ or ~~ Y=X时 \mathcal{L}(X)L(X;Y) or Y=X时L(X)

在 Y=KY = \mathbb{K}Y=K 这特殊情况下，空间 X′:=L(X;K)X':=\mathcal{L}(X;\mathbb{K})X′:=L(X;K) 是X的对偶空间。

连续多重线性映射

乘积空间 X1×X2×X3×⋯×Xk(k≥2,k∈Z)X_1\times X_2\times X_3\times \dotsb \times X_k (k\ge 2,k\in Z)X1×X2×X3×⋯×Xk(k≥2,k∈Z) 是所有形如 (x1,x2,x3,⋯,xk)(x_1,x_2,x_3,\dotsb,x_k)(x1,x2,x3,⋯,xk) 的元素的集合。没错它长得和俺熟悉的向量一毛一样，所以定义好加法和乘法这就是一个 K\mathbb{K}K 上的向量空间了。

我们称映射 A:X1×X2×X3×⋯×Xk→YA: X_1\times X_2\times X_3\times \dotsb \times X_k \to YA:X1×X2×X3×⋯×Xk→Y 是由 X1×X2×X3×⋯×XkX_1\times X_2\times X_3\times \dotsb \times X_kX1×X2×X3×⋯×Xk 到 Y 的多重映射或k线性映射。
当k=2或k=3时候也可以叫双线性或三线性。如果 Y=KY = \mathbb{K}Y=K 也可以称为多重线性泛函或多线性型。

这里有个关键点是这个多重映射和 X1×X2×X3×⋯×XkX_1\times X_2\times X_3\times \dotsb \times X_kX1×X2×X3×⋯×Xk 到 Y 的线性映射是不一样的（书上不提估计我就以为一样了。）
区别可以由下面的例子看出
以k=2距离
线性映射应有 A((x1,x2)+(y1,y2))=A(x1,x2)+A(y1,y2),A(α(x1,x2))=αA(x1,x2)A((x_1,x_2)+(y_1,y_2)) = A(x_1,x_2)+A(y_1,y_2),A(\alpha(x_1,x_2))=\alpha A(x_1,x_2)A((x1,x2)+(y1,y2))=A(x1,x2)+A(y1,y2),A(α(x1,x2))=αA(x1,x2)

而双线性映射满足的应该是
A((x1,x2)+(y1,y2))=A(x1,x2)+A(y1,y2)+A(x1,y2)+A(x2,y1),A(α(x1,x2))=α2A(x1,x2)A((x_1,x_2)+(y_1,y_2)) = A(x_1,x_2)+A(y_1,y_2)+A(x_1,y_2) + A(x_2,y_1),A(\alpha(x_1,x_2))=\alpha^2 A(x_1,x_2)A((x1,x2)+(y1,y2))=A(x1,x2)+A(y1,y2)+A(x1,y2)+A(x2,y1),A(α(x1,x2))=α2A(x1,x2)
区别还蛮大的。
所有的X1×X2×X3×⋯×XkX_1\times X_2\times X_3\times \dotsb \times X_kX1×X2×X3×⋯×Xk 到 Y 的多重线性映射组合也是 K\mathbb{K}K 上的一个向量空间。

对称和交错：

置换：集合的置换是从集合映至自身的双射。比如 {1,2,3} 和 {2,1,3}

Gk\mathcal{G}_kGk 表示由集合 {1,2,3,4,…,k} 的置换全体组成的集合，那么 X×X×X×⋯×XX\times X\times X\times \dotsb \times XX×X×X×⋯×X 到 Y 的多重线性映射对一切 xl∈Xlx_l\in X_lxl∈Xl 和所有的 σ∈Gk\sigma\in \mathcal{G}_kσ∈Gk 有
A(xσ(1),xσ(2),⋯,xσ(k))=A(x1,x2,⋯,xk)A(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\dotsb,x_{\sigma(k)}) = A(x_1,x_2,\dotsb,x_k)A(xσ(1),xσ(2),⋯,xσ(k))=A(x1,x2,⋯,xk)
那么A是对称的

从这个式子看，对称的意思应该就是A()括号里面的参数可以瞎换位置不影响结果嘛，在这些乘积的集合都是相同的X的情况下。

如果
A(xσ(1),xσ(2),⋯,xσ(k))=ϵ(σ)A(x1,x2,⋯,xk)A(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\dotsb,x_{\sigma(k)}) = \epsilon(\sigma)A(x_1,x_2,\dotsb,x_k)A(xσ(1),xσ(2),⋯,xσ(k))=ϵ(σ)A(x1,x2,⋯,xk)
其中 ϵ(σ)\epsilon(\sigma)ϵ(σ) 是σ\sigmaσ 的符号(只能是±1)，则称A是交错的。

这个和刚才的区别就是前面加了符号。也就是说交互位置只改变正负号。

这个特性和矩阵的行列式好像啊！！！！！！

所以书后也说，系数在 K\mathbb{K}K 上的 k*k的矩阵的行列式，作为矩阵列向量的函数，就是一个 X=KkX= \mathbb{K}^kX=Kk 的交错多重泛函的例子。

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