需求

最近帮老师制作一个点名软件，需求是这样的：

1.每两个或一个人组队（除非出现总人数为奇数的情况，否则不会单人组队，也就是说最多一个单人队），作为小组研究一个课题
2.每次上课让一个人讲ppt，另一个人回答问题，选择是随机的
3.从下面不上台的人中选出三个来提问，选择也是随机的

预期

1.必须保证上台的人不会出现在提问的三个人之中
2.当所有组上台之后，应该避免出现有人没回答过问题
3.一个人不应该回答过多问题

解决方案

方案一：轮数控制

实现方式

首先在全是双人组队的情况下，点名次数的数学期望应该是1.5次，即使有单人组队也应该差距不大（。。样本不会太小，毕竟至少一个班）。轮数控制的思想就是，我先将所有人都点一遍之后再点第二遍，每次点名的时候都会检测是否进入了第二轮。根据这个简单的算法，我们应该在第二轮没有完全结束的时候，所有小组的汇报就结束了。

优点

1.确实保证了每人的回答次数，每个人至少都能回答一次，也最多两次
2.设计简单，每一轮中将没有点到的人放入一个集合中直接进行随机抽取即可，开始前先判断当前轮数

缺点

这个算法。。其实也不能称之为算法了，就是这个思想的弊端在于，一个人当前轮被点中之后应该是不会再被点了，这个点名软件的提神效果对其就失效了（手动滑稽）。这个弊端很严重。

方案二：抽屉原理与概率控制

实现方式v1.0

我想保证每个人的回答次数都至少为一次，根据抽屉原理，以33组为例，有66人，就会有99次点名机会，那么分配完66次点名机会保证每人一次，还有33次点名机会，这里我们就可以选择让点名两次的人不会再次被点中，于是最后的分布应该是这样的：33个人被点了一次，33个人被点了两次。
想到这里，我们是不是就可以这样设计了呢？

1.所有可以被点的人都是随机抽取的
2.被点了两次的无法被再次中
3.当被点两次的人数达到33时，被点一次的人就无法被点中

可能存在的BUG

想想上面确实是一个不错的算法，用抽屉原理直接变成了一个简单的数学问题，而且确实达到了分布均匀并且每个人都能回答问题的要求。但是这个算法确实存在一个比较致命的bug，也是完全随机抽取带来的弊端。当最后一组存在一个人回答问题的数量为零时，这个算法就直接出现了BUG，由于上台的人无法被选中，这就导致了没有人能够被点中！！虽然从概率来说，这种情况的概率不大，但是可以说是不可忽视的，因为一旦出现就会导致系统崩溃。我们应该要找到一个更完善的算法。

实现方式v2.0

于是我就想到了，可以使用概率论的方法，使得P(33人被点一次，33人被点两次) >= 0.99，这样我们就可以认为几乎可以做到均匀分布了。于是我可以这样限制：

1.回答次数为0的优先级应该明显高于回答次数为1的，即P（回答0次被抽中） 远大于 P(回答1次被抽中)
2.回答次数达到2的直接取消回答的可能性，即P(回答2次被抽中) = 0

设计思路：

1.设抽中0次的权重 W(回答0次被抽中) = α
2.设抽中1次的权重 W(回答1次被抽中) = λα
3.设抽中2次的权重 W(回答2次被抽中) = 0

解释和想法

这里我就设计W(抽中1次后被抽中)是W(抽中0次后被抽中)的λ倍。根据常识我们就可以预测到，只要λ取得足够小，那最后的结果也会不断接近我们的预期，现在问题的关键是取多少。这不是一个简单的概率问题，因为随着点名次数的增加，概率是不断变化的，简单的概率计算并不能解决问题（还不是概率论学的菜。。）。但是可以肯定的是，如果我将λ取的非常小，结果是可以符合预期的。。想出这个想法的原因也是因为这样的话对于编程来说，实现思路很简单。。我现在就恨不得将λ取成一万分之一 ！！

实现方式v3.0

第一个方法过于随机存在缺陷，第二个方式可以实现，但是从数学上难以证明λ的取值。因此我在想能不能换一种思路实现第二种算法，这时我就想到了最简单的二项分布（0-1分布） 。可以设一个λ范围为0-1，做99次0到1的随机取值α，小于λ就从回答0次的人中点，大于λ就从回答1次的人中点，计算α最后小于λ的次数大于66的概率，即保证最后能够所有人都被点到过。

如果最后出现第一种的极端情况，即最后那个人没回答过问题，也不会出现逻辑上的BUG。我们现在要做的就是取一个λ，使得99次点名之后，66个人都至少点过一次，我们要保证这个概率很大，至少大于等于0.99吧。。

数学问题化

回答0次被抽中的可能性为p，回答1次被抽中的概率为1-p。随机变量X表示回答0次被抽中，取值为0到99，满足二项分布 。要求随机变量X大于等于66的概率足够大。
下面由等式与不等式来表示：

P(回答0次被抽中) = p；
P(回答1次被抽中) = 1- p；
P(X>=66) >= 0.99；

由题意可知，我们的期望E(X)>=66，所以设P(X=k)为最大值，k的取值必定是大于66的，那P(X=0)到P(X=65)的值应该是递增的，我们可以对等式进行缩放：

P(X≥66)=1-P(X≤65)
≥1-65P(X=65)-P(X=0)
≥0.99

这里我将p=9/10代入满足概率大于0.99 。

因此，取λ为0.9，完成上述算法即可完成最终设计。

随便扯扯

没怎么接触过算法，就把这个问题用数学问题解决了一下，不知道各路大神有没有更牛逼的方案让我这个菜鸟学习一下。。
项目github地址

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