Floyd —Warshall（最短路及其他用法详解）

一、多元最短路求法

多元都求出来了，单源的肯定也能求。
思想是动态规划的思想：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点X到B。所以，我们假设Dis(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点X，我们易写出状态转移方程Dis(AB) =min（Dis(AX) + Dis(XB) ，Dis(AB)）这样一来，当我们遍历完所有节点X，Dis(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。

memset（Dis，0x3f,sizeof(Dis);
//初始化，这里采用0x3f而非0x7f，是当两个0x7f7f7f7f相加符号变号成为一个无穷小量。
void floyd(int N）
{int i,j,k;for(k=0;k<N;k++){for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N;j++){if(Dis[i][k]+Dis[k][j]<Dis[i][j]){Dis[i][j]=Dis[i][k]+Dis[k][j];}}}}
}

这里一定要把K写到外边，需要先更新K前面的点在更新K后的点才有意义。

结合代码并参照上图所示我们来模拟执行下这样才能加深理解：
第一关键步骤：当k执行到x，i=v,j=u时，计算出v到u的最短路径要通过x，此时v、u联通了。
第二关键步骤：当k执行到u，i=v，j=y，此时计算出v到y的最短路径的最短路径为v到u，再到y(此时v到u的最短路径上一步我们已经计算过来，直接利用上步结果)。
第三关键步骤：当k执行到y时，i=v，j=w，此时计算出最短路径为v到y(此时v到y的最短路径长在第二步我们已经计算出来了)，再从y到w。
依次扫描每一点(k)，并以该点作为中介点，计算出通过k点的其他任意两点(i,j)的最短距离，这就是floyd算法的精髓！同时也解释了为什么k点这个中介点要放在最外层循环的原因.

完整代码：

#include<iostream>
#include<stack>
using namespace std;
#define MAX 1000
int Graph[MAX][MAX];
int Dis[MAX][MAX];
#define infinite 1000
int path[MAX][MAX];void floyd(int N)
{int i,j,k;for(k=0;k<N;k++){for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N;j++){if(Dis[i][k]+Dis[k][j]<Dis[i][j]){Dis[i][j]=Dis[i][k]+Dis[k][j];path[i][j]=k;}}}}}void print_path(int N)
{int i,j;for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N;j++){if((i!=j) &&Dis[i][j]!=infinite){cout<<i+1<<"----"<<j+1<<"   distance:"<<Dis[i][j]<<endl;cout<<"path:"<<endl;int k=j;stack <int> ph;do{k=path[i][k];ph.push(k);}while(k!=i);cout<<ph.top()+1;ph.pop();while(!ph.empty()){cout<<"->"<<ph.top()+1;ph.pop();}cout<<"->"<<j+1<<endl;}}}
}void main()
{int N,i,j;cin>>N;for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N;j++){int g;cin>>g;Graph[i][j]=g;Dis[i][j]=g;}}
//初始化路径for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N;j++){path[i][j]=i;}}floyd(N);print_path(N);system("pause");
}

二、连通性

讲Dis[i][j]不连联通时设置为0，联通时设置为1.
则可得状态转移方程
dis[i][j]=dp[i][j]||(dp[i][k]&&dp[k][j]);
跟上面代码除了状态转移方程之外还有初始化不同，这个都初始化为0；
其余都一样。要么ij直接连通，要么ij通过K联通。

void floyd(int N)
{int i,j,k;for(k=0;k<N;k++){for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N;j++){if((dp[i][k]&&dp[k][j])&&!Dis[i][j]){Dis[i][j]=Dis[i][k]+Dis[k][j];path[i][j]=k;}}}}
}

三、求无向图中可以删除一些边，使得任意两点的最短路不改变，求这些边能删除的最大的条数。（最小生成树问题）

首先先在输入边的时候将重边去掉，保留最小的。
然后进行佛洛依德。
如果原来两点的最短距离大于经过第三个点的最短距离的话，那么我们就将这两点的最短距离
替换成经过第三条边的最短距离，当循环节结束后通过对比两点之间的距离变化，即可知哪些边将被删去。但是~~~当两点之间本来没有边的情况下，我们肯定是经过第三个点所到达的。那么就没有替换原来的边，这种情况的话，就直接continue；

四、无向图最小环

若用dis[i][j]表示ij之间的最小值，则由i j 加线外一点k的环值为dis[i][j]+length[i][k]+length[k][j];
枚举中间点k，在用其更新最短路前，先找最小环，令1<=i<j<k，即k点必定不在i,j的最短路上，则这个环中至少有三个点，可得状态转移方程 ans=min(ans,dis[i][j]+length[i][k]+length[k][j]);

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <map>
#include <queue>
#include <algorithm>using namespace std;struct Node {int s[9];//s数组表示包括本端所连的fenceNode() {memset(s,0,sizeof(s));}bool operator < (const Node& a) const {for(int i=0;i<9;++i)if(s[i]<a.s[i])return true;else if(s[i]>a.s[i])return false;return false;
}bool operator ==(const Node& a) const {for(int i=0;i<9;++i)if(s[i]!=a.s[i])return false;return true;
}}fence[205];
int n,s,ls,ns,n1s,n2s,sta,des,cur;
int g[105][105],cnt=0,dis[105][105];
bool vis[105];
map<Node,int> mp;
int floyd() {int ans=0x1f1f1f1f;for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=i;j<=n;++j)dis[i][j]=dis[j][i]=g[i][j];for(int k=1;k<=cnt;++k) {for(int i=1;i<k;++i)//寻找最小环for(int j=i+1;j<k;++j)if(dis[i][j]+g[i][k]+g[k][j]<ans)//由于此处会存在三个INF相加，所以INF设为0x1f1f1f1fans=dis[i][j]+g[i][k]+g[k][j]; for(int i=1;i<=n;++i)//更新最短路for(int j=1;j<=n;++j)if(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
}
return ans;
}
int main() {//freopen("fence6.in","r",stdin);// freopen("fence6.out","w",stdout);memset(g,0x1f,sizeof(g));scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;++i) {//读入边数据，并给每个点标一个数scanf("%d%d%d%d",&s,&ls,&n1s,&n2s);fence[i<<1].s[8]=fence[(i<<1)|1].s[8]=s;while(n1s-->0)scanf("%d",&fence[i<<1].s[n1s]);sort(fence[i<<1].s,fence[i<<1].s+9);if(mp[fence[i<<1]]==0)mp[fence[i<<1]]=++cnt;while(n2s-->0)scanf("%d",&fence[(i<<1)|1].s[n2s]);sort(fence[(i<<1)|1].s,fence[(i<<1)|1].s+9);if(mp[fence[(i<<1)|1]]==0)mp[fence[(i<<1)|1]]=++cnt;sta=mp[fence[i<<1]];des=mp[fence[(i<<1)|1]];g[sta][des]=g[des][sta]=ls;//边信息转成点信息
}
printf("%d\n",floyd());
return 0;
}

五、传递闭包问题

邻接矩阵是显示两点的直接关系，如a直接能到b，就为1。而传递闭包显示的是传递关系，如a不能直接到c，却可以通过a到b到d再到c，因此a到c为1。

另外矩阵A进行自乘即A^{{2}得到的矩阵中，为1的值表示走最多两步可以到达。A}{3}矩阵中为1的值表示，最多走三步可以到达。
简单来说，就是有向图确定先后顺序。

/*
题目：n头牛进行m场比赛，问能确定排名的有多少头牛。解答：构造一个n个点的有向图，如果牛a胜b，那么a->b，如果a->b，b->c，则有a->c，这个用floyd。最后得到该图的传递闭包link的二维数组。最后统计每一个点入度和出度和为n-1的点的个数即可。
*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int MAX=105;
/*
有向图的传递闭包！
注意传递之前一定要初始化！
如果i!=j&&(i,j)不属于E(边的集合) t[i][j]=0;
如果i=j||(i,j)属于E(边的集合)     t[i][j]=1;
*///传递闭包
void Transitive_Closure(int n,bool t[][MAX])
{int i,j,k;for(k=1;k<=n;k++)for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)t[i][j]=t[i][j]|(t[i][k]&t[k][j]);
}
int main()
{int n,i,j,m,st,ed,sum,num;bool t[MAX][MAX];while(scanf("%d%d",&n,&m)){if(n==0&&m==0)return 0;memset(t,false,sizeof(t));for(i=1;i<=n;i++)t[i][i]=true;for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&st,&ed);t[st][ed]=true;}//上面的代码都是初始化Transitive_Closure(n,t);sum=0;for(i=1;i<=n;i++){num=0;for(j=1;j<=n;j++)if(i==j)continue;elsenum+=(t[i][j]||t[j][i]);//统计出度和入度的个数!sum+=(num==n-1);}printf("%d\n",sum);}return 0;
}
/*
5 5
4 3
4 2
3 2
1 2
2 52
*/